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Centro di Massa di corpi rigidi 1 Il corpo rigido è un particolare sistema di punti materiali in cui le distanze, tra due qualunque dei suoi punti, non.

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1 Centro di Massa di corpi rigidi 1 Il corpo rigido è un particolare sistema di punti materiali in cui le distanze, tra due qualunque dei suoi punti, non variano nel tempo. Un corpo rigido non subisce alcuna deformazione anche se sottoposto a sollecitazioni estremamente elevate (conserva la sua forma). I corpi solidi possono, in prima approssimazione, essere considerati rigidi. Il corpo rigido è quindi unastrazione: in natura non ci saranno mai corpi perfettamente rigidi.

2 Determinazione del CM 2 dV Se il corpo è omogeneo: è costante per ogni elementino

3 3 Determinazione del CM Densità lineare Densità superficiale Densità volumetrica

4 4 Se un corpo ha simmetria sferica il centro di massa coincide con il centro geometrico della sfera. Se un corpo ha simmetria cilindrica, ossia la sua massa dipende solo dalla distanza da un certo asse, il suo centro di massa deve giacere sullasse di simmetria. Se la massa di corpo è distribuita in modo simmetrico rispetto ad un piano, il centro di massa deve cadere sul piano. Centro di Massa di corpi rigidi

5 Esempio 5 In figura si vede una piastra quadrata di lamiera uniforme con lato di 6m, dalla quale è stato ritagliato un pezzo quadrato di 2 m di lato con centro nel punto x = 2m,y = 0m Lorigine delle coordinate coincide con il centro della piastra quadrata. Trovare le coordinate x e y del CM. CM Intera piastra (0,0 m) CM 1 da calcolare (x 1,0) di m 1 =(36-4)M/36=8/9M CM 2 (2,0) m 2 =1/9M

6 Moti del corpo rigido 6 1) Traslazione le orientazioni degli assi della terna solidale rimangano costanti (gli assi si muovono mantenendosi paralleli a se stessi) Tutti i punti del corpo rigido subiscono lo stesso spostamento nello stesso intervallo di tempo che è lo stesso di quello subito dal CM Tutti i punti sono fermi rispetto al centro di massa È sufficiente determinare il moto del CM 1) Traslazione le orientazioni degli assi della terna solidale rimangano costanti (gli assi si muovono mantenendosi paralleli a se stessi) Tutti i punti del corpo rigido subiscono lo stesso spostamento nello stesso intervallo di tempo che è lo stesso di quello subito dal CM Tutti i punti sono fermi rispetto al centro di massa È sufficiente determinare il moto del CM 2) Rotazione 3) Rototraslazione

7 2) Moto rotatorio 7 Moto di un corpo rigido si dice puramente rotatorio: se e solo se tutti gli elementi del corpo si muovono lungo una traiettoria circolare. I centri di tutte le circonferenze devono cadere su una stessa retta detta asse di rotazione. Il piano della traiettoria è perpendicolare allasse di rotazione. P Moto di un corpo rigido si dice puramente rotatorio attorno ad un asse se e solo se tutte le linee di riferimento ortogonali allasse descrivono angoli uguali in intervalli di tempo uguali. O Linea di riferimento

8 8 Variabili rotazionali La posizione del corpo è specificata dalla posizione di un suo elemento P. individua la posizione angolare della linea di riferimento 2D Moto 2D di un elemento lungo una circonferenza di raggio r (PA). Verso positivo è scelto quello antiorario rispetto alasse z. P P A 2 rad= 360° 1 rad = 57.3°

9 9 Variabili rotazionali [rad/s] In un moto puramente rotatorio di un corpo rigido: tutti i suoi elementi hanno la stessa. Se P ha una non costante: [rad/s 2 ] In un moto puramente rotatorio di un corpo rigido: tutti i suoi elementi hanno la stessa

10 Relazione tra variabili lineari e angolari 10

11 11 è un vettore di modulo d dt, direzione perpendicolare al piano della circonferenza, il verso della rotazione determina il verso in cui punta il vettore (regola della mano destra). Variabili rotazionali vettoriali Entrambi vettori

12 12 Relazioni Vettoriali Acc. tangenziale Acc. centripeta

13 Dinamica dei moti rotatori 13 Dinamica del punto materiale dipende dalla forza e dal punto in cui viene applicata (momento di F) dipende dalla distribuzione della massa rispetto allasse di rotazione (momento di inerzia) dipende dalla forza e dal punto in cui viene applicata (momento di F) dipende dalla distribuzione della massa rispetto allasse di rotazione (momento di inerzia) Asse di rotazione

14 Rotazioni attorno ad un asse fisso 14 Tutti i punti hanno la stessa ma v diversa. Momento di inerzia rispetto asse z

15 Momento di inerzia 15 La massa è una caratteristica univoca di un corpo. Il momento di inerzia dipende da come è distribuita la massa del corpo rispetto allasse di rotazione. Non è una caratteristica del corpo La massa è una caratteristica univoca di un corpo. Il momento di inerzia dipende da come è distribuita la massa del corpo rispetto allasse di rotazione. Non è una caratteristica del corpo Massa vicino allasse di rotazione… minore inerzia … minore resistenza alla rotazione Massa vicino allasse di rotazione… minore inerzia … minore resistenza alla rotazione massa in media in regioni più lontane dallasse di rotazione maggiore inerzia … maggiore resistenza alla rotazione massa in media in regioni più lontane dallasse di rotazione maggiore inerzia … maggiore resistenza alla rotazione

16 Momento di inerzia dei corpi rigidi 16 Corpo rigido: distribuzione continua di massa, suddivisa in infiniti elementi di massa infinitesima

17 17 Tabella Momenti di inerzia

18 Rotazioni ottorno ad un asse fisso 18

19 19 Simmetria Assiale Due particella di stessa massa che ruotano attorno allasse. Un corpo rigido è simmetrico attorno ad un asse se e solo se per ciascun elemento ne esiste un secondo di ugual massa posto alla stessa distanza dallasse sulla retta ad esso ortogonale passante per il punto occupato dal primo elemento.

20 20 Corpo rigido in rotazione attorno ad un suo asse di simmetria: Ogni corpo per un suo punto passano almeno tre assi (assi principali di inerzia) ortogonali tra loro tale che quando il corpo ruota rispetto ad uno di essi: Corpo rigido in rotazione attorno ad un suo asse di simmetria: Ogni corpo per un suo punto passano almeno tre assi (assi principali di inerzia) ortogonali tra loro tale che quando il corpo ruota rispetto ad uno di essi: Assi principali di inerzia

21 Equazione del moto di rotazione 21 Se Noto I z ed si ottiene la legge oraria.

22 Equazione del moto 22 Moto circolare uniformemente accelerato Fermo o di Moto circolare uniforme

23 Conservazione momento angolare: applicazioni 23 Il momento delle forze esterne rispetto al CM è nullo I + grande I + piccolo I + grande I + piccolo

24 Il Teorema di Huygens Steiner 24 Il momento di inerzia di un corpo rispetto ad un asse qualunque è uguale alla somma del momento di inerzia rispetto ad un asse parallelo al primo ma passante per il centro di massa e di un termine pari al prodotto della massa totale del corpo per la distanza al quadrato tra i due assi. y y x x CM yiyi yiyi xixi xixi O d

25 25 mi i riri riri b y y x x CM a yiyi yiyi xixi xixi O d Il Teorema di Huygens Steiner x i,, y i coordinate di m i nel sistema CM x i,, y i coordinate di m i nel sistema con O I CM d2d2

26 Momento forza di gravità 26 Una sbarra lasciata libera di ruotare attorno ad un asse orizzontale ruota sotto lazione della forza di gravità Su ciascun elementino infinitesimo, di cui è composta la sbarra, agisce la forza di gravità che esercita un momento torcente. Linsieme di tutte le forze che agiscono sulla sbarra può essere sostituito da una sola forza………. Su ciascun elementino infinitesimo, di cui è composta la sbarra, agisce la forza di gravità che esercita un momento torcente. Linsieme di tutte le forze che agiscono sulla sbarra può essere sostituito da una sola forza……….

27 Centro di Massa e baricentro 27..applicata in un punto detto baricentro CM x y O mi i Il momento torcente totale rispetto ad O dovuto alla forza gravitazionale è pari al momento rispetto ad O della forza Mg applicata al CM. Attenzione: baricentro e CM coincidono solo nel caso del campo gravitazionale uniforme, e sono due concetti distinti.

28 Statica dei corpi rigidi con asse fisso 28 Condizione necessaria ( ma non sufficiente) perché un corpo rigido sia fermo è che: laccelerazione del suo centro di massa sia nulla laccelerazione angolare sia nulla rispetto a qualsiasi asse passante per il centro di massa. Le due condizioni non sono sufficienti perché, anche se soddisfatte, il corpo potrebbe: –muoversi con velocità del centro di massa costante (moto rettilineo uniforme) –ruotare con velocità angolare costante attorno ad un asse centrale di inerzia Occorre quindi che il corpo occupi la posizione iniziale con –velocità del centro di massa nulla –velocità angolare nulla rispetto a qualunque asse passante per il centro di massa

29 29 Energia cinetica nel moto rotatorio Corpo rigido che ruota attorno asse fisso Se

30 30 Lavoro nel moto rotatorio Lavoro compiuto da una forza F su un corpo rigido che ruota attorno ad un asse fisso: d r

31 31 3) Moto di rototraslazione: di puro rotolamento CC C v cm r r 2v cm v cm I punti della ruota a contatto con lasfalto sono fermi rispetto allasfalto (non scorrono, non strisciano sullasfalto): rotolamento senza strisciamento (oppure puro rotolamento). C 2v cm v cm A B A A BB Sovrapposizione di un moto di traslazione e di un moto di rotazione attorno ad un asse perpendicolare alla figura e passante per il centro di massa

32 32 Moto di puro rotolamento C 2v cm v cm C 2v cm v cm x> 0 Consideriamo due istanti successivi t 1 e t 2. Lo spostamento subito dal centro della ruota x è pari alla distanza tra i punti di contatto della ruota agli istanti t 1 e t 2. Nello stesso tempo la ruota avrà subito anche uno rotazione e quindi uno spostamento angolare. Se il moto è di puro rotolamento deve esistere una relazione tra questi due spostamenti.. N.B.:Il segno meno dipende solo dal sistema di riferimento usato.

33 Moto rototraslatorio 33 Combiniamo il moto rotatorio attorno asse passante per CM e traslatorio nel piano xy P CM

34 Ruolo della forza di attrito 34 Nel moto di puro rotolamento il punto di contatto della ruota con lasfalto è fermo rispetto allasfalto. Il compito di mantenere fermo rispetto al piano di appoggio il punto (o i punti) di contatto è affidato alla forza di attrito, statica proprio perché il punto di contatto non scivola sulla superficie di appoggio. Senza attrito questo tipo di moto non è realizzabile!! La forza di attrito statico, è limitata superiormente, per cui non sempre è garantito il moto di puro rotolamento: –frenate brusche fatte con lautomobile in cui si bloccano le ruote che scivolano sullasfalto Occorre verificare caso per caso se la forza di attrito statico sia sufficiente per garantire il moto di puro rotolamento

35 Interpretazione del moto di puro rotolamento 35 Pura rotazione attorno ad un asse perpendicolare alla figura passante per i punti di contatto. Lasse di rotazione cambia continuamente (si parla di asse istantaneo di rotazione. Comunque istante per istante il moto di ogni punto della ruota è uguale a quello che avrebbe se la ruota ruotasse attorno ad un asse fisso passante per i punti di contatto.

36 Corpi simmetrici e asimmetrici 36 La sbarra con corpi di massa m è rigidamente connessa con lalbero centrale. Il corpo non è simmetrico rispetto allasse di rotazione e lasse di rotazione non è un asse principale dinerzia: Lalbero ruota a velocità angolare constante. Precede attorno allasse

37 37 Corpi simmetrici e asimmetrici Il momento torcente delle forze esterne è dovuto alle forze che i sostegni esercitano sullalbero: Per mantenere i due punti materiali sulla traiettoria circolare occorre applicare a ciascun punto materiale una forza centripeta. il cui momento è ortogonale a piano individuato da z = 0 z costante

38 38 non hanno nessun altra funzione che quella di far precedere il momento angolare attorno allasse di rotazione non hanno alcuna influenza sulla velocità angolare Ma al tempo sottopongono a sforzi inutili tutta la struttura (lasse di rotazione, i cuscinetti, etc) non hanno nessun altra funzione che quella di far precedere il momento angolare attorno allasse di rotazione non hanno alcuna influenza sulla velocità angolare Ma al tempo sottopongono a sforzi inutili tutta la struttura (lasse di rotazione, i cuscinetti, etc) Si preferisce lavorare in modo che il momento angolare sia parallelo allasse di rotazione (in cui tali forze non sono richieste) Questo si ottiene equilibrando il corpo rigido rispetto allasse di rotazione (equilibrature delle gomme dellautomobile) Si preferisce lavorare in modo che il momento angolare sia parallelo allasse di rotazione (in cui tali forze non sono richieste) Questo si ottiene equilibrando il corpo rigido rispetto allasse di rotazione (equilibrature delle gomme dellautomobile) Poiché

39 La Trottola 39 Consideriamo il moto della trottola in rotazione attorno al suo asse di simmetria. Lasse di rotazione precede ossia si muove attorno allasse verticale. Il momento torcente della forza P: perpendicolare sia allasse di rotazione che ad L modifica la direzione di L, ma non il modulo: O r

40 Equazione del moto 40 Da cui si ricavano le leggio orarie esattamente come prima

41 Trottola: moto di precessione 41 O La velocità angolare di precessione è inversamente proporzionale ad L e quindi alla velocità angolare di rotazione attorno allasse di simmetria


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