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G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Velocità media Abbiamo definito la velocità vettoriale media.

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Presentazione sul tema: "G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Velocità media Abbiamo definito la velocità vettoriale media."— Transcript della presentazione:

1 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Velocità media Abbiamo definito la velocità vettoriale media

2 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Descrizione del moto attraverso la velocità media Supponiamo di far muovere tra t 1 e t 2 il punto materiale con la velocità media appena calcolata Valutiamo la sua posizione allistante t=2s. Conclusione: La descrizione del moto mediante la velocità media è insoddisfacente Le predizioni sono corrette solo agli estremi t 1 e t 2. Posizione al tempo t=2s predetta con la velocità media Posizione vera al tempo t=2s

3 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Determinazione della velocità media in intervalli di tempo sempre più piccoli Riduciamo gli intervalli di tempo in cui calcolare la velocità media –si ottiene una descrizione del moto decisamente migliore Riducendo sempre più gli intervalli di tempo in cui si calcola la velocità media si otterrà una descrizione sempre migliore! Sarebbe opportuno ridurre a zero lampiezza degli intervalli di tempo in cui si calcola la velocità media, così la descrizione del moto sarà perfetta! Ridurre a zero lampiezza degli intervalli di tempo equivale a calcolare la velocità del corpo ad ogni istante: la velocità istantanea

4 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 La velocità istantanea Procediamo nel seguente modo: Consideriamo listante t 1 in cui vogliamo calcolare la velocità La velocità media corrisponderà al coefficiente angolare della retta passante per i punti 1 e 2 del grafico Riduciamo ora lintervallo di tempo t facendolo tendere a zero. Osserviamo che quando t tende a zero, il coefficiente angolare della retta che rappresenta la velocità media in t, tende a diventare quello della retta tangente al grafico allistante t 1. Consideriamo un intervallo di tempo t maggiore di zero. Calcoliamo la velocità media in t Si definisce velocità istantanea allistante t 1 il seguente limite: t 1 + t x(t 1 + t) t x 2 x(t 1 ) t1t1 1

5 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 La velocità istantanea 2 Riassumendo: Nel grafico essa è rappresentata dal coefficiente angolare della retta tangente al grafico allistante t 1. Il limite di: corrisponde anche al valore della derivata rispetto al tempo della funzione x(t) allistante t 1. Abbiamo definito la velocità istantanea come allistante di tempo t 1 : x(t 1 ) t1t1 1 rapporto incrementale

6 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Velocità istantanea ad ogni istante di tempo Ripetendo loperazione di limite per altri istanti di tempo, per esempio t 2 o t 3, possiamo conoscere la velocità istantanea (e quindi la derivata rispetto al tempo della funzione x(t)) a questi istanti di tempo. x(t 1 ) t1t1 x(t 2 ) t2t2 x(t 3 ) t3t3 Se ripetiamo loperazione per tutti gli istanti di tempo dellintervallo di osservazione del moto possiamo ricavare la velocità istantanea in funzione del tempo v x (t) Questa funzione altro non è che la derivata rispetto al tempo della funzione x(t) Positiva --> x crescenti Negativa --> x decrescenti

7 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Velocità scalare istantanea e velocità vettoriale istantanea Anche per la velocità scalare di può definire la velocità istantanea: x massimo x iniziale x finale Ma quando t tende a zero, avremo Si ottiene quindi la seguente relazione La velocità scalare istantanea è uguale al valore assoluto, al modulo, della velocità vettoriale istantanea

8 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Grafico della velocità istantanea Nel moto che stavamo studiando: –La pendenza del grafico orario non è costante –Questo implica che la velocità non è costante –Possiamo costruirci il grafico della velocità: la velocità decresce linearmente con il tempo. –La velocità è maggiore di zero fino a quando il corpo non raggiunge la sua posizione massima: si muove nella direzione positiva dellasse x –Poi diventa negativa: si inverte il moto, il corpo si muove nella direzione negativa dellasse x. –Quando x è massimo la velocità è nulla

9 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Accelerazione media e istantanea Se la velocità di un corpo varia nel tempo, ci possiamo chiedere con che rapidità varia. Si definisce laccelerazione media nellintervallo di tempo tra t 1 e t 2 il seguente rapporto: Come abbiamo fatto per la velocità anche per laccelerazione possiamo passare allaccelerazione istantanea: –Laccelerazione istantanea allistante t 1 è data da: Tenendo conto della definizione di derivata:

10 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Grafico dellaccelerazione istantanea Ripetendo loperazione di limite per tutti gli istanti di tempo, possiamo determinare la funzione accelerazione. Questo equivale a determinare la derivata della funzione velocità. Dato che noi conosciamo la velocità in funzione del tempo Laccelerazione è costante (negativa), come daltra parte ci aspettavamo dal grafico della velocità. possiamo utilizzare questa relazione per determinare laccelerazione in funzione del tempo.

11 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Il segno dellaccelerazione Riguardando la definizione dellaccelerazione media ( ma le stesse considerazioni valgono per laccelerazione istantanea ), si vede che: –a xm maggiore di zero, diretta nella direzione positiva dellasse x: v finale è maggiore di quella iniziale (naturalmente bisogna tenere conto del segno della velocità) –Se la velocità è positiva il valore della velocità aumenta –Se la velocità è negativa il valore della velocità con il segno aumenta, il suo valore assoluto però diminuisce –a xm minore di zero, diretta nella direzione negativa dellasse x: v finale è minore di quella iniziale (naturalmente bisogna tenere conto del segno della velocità) –Se la velocità è positiva il valore della velocità diminuisce –Se la velocità è negativa il valore della velocità con il segno diminuisce, e quindi il suo valore assoluto aumenta. Possiamo concludere: –Se laccelerazione ha lo stesso verso (segno) della velocità, il modulo della velocità aumenta. –se ha verso opposto il modulo della velocità diminuisce.

12 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Conclusioni Conoscendo la legge oraria: x(t) la posizione in funzione del tempo Possiamo calcolarci la velocità: v x (t) la velocità in funzione del tempo E quindi laccelerazione: a x (t) laccelerazione in funzione del tempo Combinando le due espressioni: Laccelerazione è la derivata seconda della funzione x(t) rispetto al tempo

13 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Applica zione Le seguenti equazioni danno la posizione x(t) di una particella in quattro situazioni diverse (in tutte comunque x è in m e t in s e t>0) (1)x=3t(2) x=-4t 2 -2(3) x=2/t 2 (4) x=-2 a)In quale situazione la velocità vettoriale è costante? b)in quale altra v è diretta nel verso negativo dellasse x? a) la velocità vettoriale è costante nella situazione (1) e (4) b)la velocità vettoriale è diretta nella direzione negativa dellasse x nei casi (2) e (3). Infatti:

14 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Applica zione Avete viaggiato sulla Statale 100 da Bari a Taranto per metà tempo a 55 km/h e per il tempo restante a 90 km/h. Al ritorno percorrete metà della distanza a 55 km/h ed il resto della distanza a 90 km/h. Qual è la velocità scalare media allandata e al ritorno? Qual è la velocità vettoriale media complessiva? Tracciate il grafico orario ed indicate le velocità medie Indichiamo con t il tempo impiegato per andare da Bari a Taranto. Le distanze percorse nelle due parti sono: La distanza totale percorsa sarà la somma delle due distanze ed il tempo impiegato è t.

15 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Applica zione cont. Al ritorno diciamo d la distanza totale tra Taranto e Bari. I tempi necessari per percorrere le due metà sono: Il tempo totale impiegato t per tornare da Taranto a Bari sarà la somma dei due tempi. La velocità vettoriale media complessiva è nulla.

16 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Applica zione cont. Tracciate il grafico orario ed indicate le velocità medie t x t t

17 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Applica zione La posizione di un oggetto che si muove in linea retta è data dallespressione x=3t-4t 2 +t 3, ove x è in metri e t in secondi. a)qual è la posizione per t=1,2,3 e 4 s? b)qual è lo spostamento delloggetto nellintervallo di tempo tra t=0 e t=4s? c)qual è la velocità vettoriale media nellintervallo tra t=2s e t=4s? d)qual è la velocità istantanea allistante di tempo t=3s? e)costruire il grafico della funzione e costruire sul grafico alle domande c) e d). a) per risponere alla domanda a) basta sostiuire alla variabile t nellespressione della legge oraria gli istanti di tempo richiesti:

18 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Applica zione cont. b)qual è lo spostamento delloggetto nellintervallo di tempo tra t=0 e t=4s? d) qual è la velocità istantanea allistante di tempo t=3s? c) qual è la velocità vettoriale media nellintervallo tra t=2s e t=4s?

19 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Applica zione cont. e)costruire il grafico della funzione e costruire sul grafico alle domande c) e d).

20 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Il campione del kilogrammo ha la forma di un cilindro di altezza pari al diametro. Si dimostri che a parità di volume e di forma, queste dimensioni forniscono la minima area; ciò consente di minimizzare gli effetti della contaminazione superficiale. Applica zione

21 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Applica zione cont. Abbiamo espresso la superficie del cilindro in funzione del suo volume e del rapporto tra il raggio e laltezza Poiché il volume del cilindro deve rimanere costante, deve contenere sempre la stessa massa, possiamo limitarci a studiare la dipendenza da. La superficie sarà minima quando f( ) sarà minima. Abbiamo visto che nei punti di massimo o di minimo relativo derivata si annulla. Cerchiamo in cui

22 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Applica zione cont. Calcoliamoci la derivata: Imponendo che la derivata sia nulla: Da cui

23 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Applica zione cont.


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