INTENSITA SU UNO SCHERMO IN UNA INTERFERENZA TRA DUE SORGENTI PUNTIFORMI Alberto Martini.

Presentazione sul tema: "INTENSITA SU UNO SCHERMO IN UNA INTERFERENZA TRA DUE SORGENTI PUNTIFORMI Alberto Martini."— Transcript della presentazione:

1 INTENSITA SU UNO SCHERMO IN UNA INTERFERENZA TRA DUE SORGENTI PUNTIFORMI Alberto Martini

2 Vogliamo dimostrare teoricamente la seguente relazione, che descrive lIntensità su uno schermo nel caso di una interferenza tra due sorgenti puntiformi, nella condizione di Fraunhofer (schermo allinfinito) II dsen MAX cos 2

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4 Per prima cosa dimostriamo che: Lenergia trasportata da unonda è proporzionale al quadrato della sua ampiezza I A 2

5 Poiché londa è un moto armonico che si sposta, lenergia che essa trasporta con sé è di tipo elastico:

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7 Per la legge di Hooke si ha: Poiché londa è un moto armonico che si sposta, lenergia che essa trasporta con sé è di tipo elastico:

8 Per il secondo principio della dinamica: Poiché londa è un moto armonico che si sposta, lenergia che essa trasporta con sé è di tipo elastico: Per la legge di Hooke si ha:

9 Per il secondo principio della dinamica: Poiché londa è un moto armonico che si sposta, lenergia che essa trasporta con sé è di tipo elastico: Per la legge di Hooke si ha: Dove a è laccelerazione del moto armonico: x

10 Per il secondo principio della dinamica: Poiché londa è un moto armonico che si sposta, lenergia che essa trasporta con sé è di tipo elastico: Per la legge di Hooke si ha: Dove a è laccelerazione del moto armonico: x

11 Per il secondo principio della dinamica: Poiché londa è un moto armonico che si sposta, lenergia che essa trasporta con sé è di tipo elastico: Per la legge di Hooke si ha: Dove a è laccelerazione del moto armonico: Sostituendo otteniamo: x

12 Per il secondo principio della dinamica: Poiché londa è un moto armonico che si sposta, lenergia che essa trasporta con sé è di tipo elastico: Per la legge di Hooke si ha: Dove a è laccelerazione del moto armonico: Sostituendo otteniamo: x

13 Per il secondo principio della dinamica: Poiché londa è un moto armonico che si sposta, lenergia che essa trasporta con sé è di tipo elastico: Per la legge di Hooke si ha: Dove a è laccelerazione del moto armonico: Sostituendo otteniamo: x

14 Per il secondo principio della dinamica: Poiché londa è un moto armonico che si sposta, lenergia che essa trasporta con sé è di tipo elastico: Per la legge di Hooke si ha: Dove a è laccelerazione del moto armonico: Sostituendo otteniamo: E ancora: x K m x T x 4 2 2

15 Per il secondo principio della dinamica: Poiché londa è un moto armonico che si sposta, lenergia che essa trasporta con sé è di tipo elastico: Per la legge di Hooke si ha: Dove a è laccelerazione del moto armonico: Sostituendo otteniamo: E ancora: K m T 4 2 2 x K m x T x 4 2 2

16 Poiché londa è un moto armonico che si sposta, lenergia che essa trasporta con sé è di tipo elastico: E ancora:

17 Poiché londa è un moto armonico che si sposta, lenergia che essa trasporta con sé è di tipo elastico:

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25 2

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27 Dato che lINTENSITA è il flusso di energia e X rappresenta lampiezza

28 Poiché londa è un moto armonico che si sposta, lenergia che essa trasporta con sé è di tipo elastico: Dato che lINTENSITA è il flusso di energia e X rappresenta lampiezza E poichéè costante

29 Poiché londa è un moto armonico che si sposta, lenergia che essa trasporta con sé è di tipo elastico: Dato che lINTENSITA è il flusso di energia e X rappresenta lampiezza E poichéè costante Essendo

30 Poiché londa è un moto armonico che si sposta, lenergia che essa trasporta con sé è di tipo elastico: Dato che lINTENSITA è il flusso di energia e X rappresenta lampiezza E poichéè costante Essendo Sarà anche:

31 Poiché londa è un moto armonico che si sposta, lenergia che essa trasporta con sé è di tipo elastico: Dato che lINTENSITA è il flusso di energia e X rappresenta lampiezza E poichéè costante Essendo Sarà anche:

32 Poiché londa è un moto armonico che si sposta, lenergia che essa trasporta con sé è di tipo elastico: Dato che lINTENSITA è il flusso di energia e X rappresenta lampiezza E poichéè costante Essendo Sarà anche:

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34 Dunque, se cerchiamo lINTENSITA in un punto dello schermo, basterà che calcoliamo lampiezza dellonda risultante in quel punto

35 Ti ricordi come abbiamo fatto nel caso delle onde stazionarie? (anche lì londa risultante aveva ampiezza punto per punto uguale alla somma delle ampiezze dellonda incidente e di quella riflessa)

36 Dunque, se cerchiamo lINTENSITA in un punto dello schermo, basterà che calcoliamo lampiezza dellonda risultante in quel punto Ti ricordi come abbiamo fatto nel caso delle onde stazionarie?

37 Dunque, se cerchiamo lINTENSITA in un punto dello schermo, basterà che calcoliamo lampiezza dellonda risultante in quel punto Ti ricordi come abbiamo fatto nel caso delle onde stazionarie? Qui dovremmo procedere allo stesso modo, ma fortunatamente siamo in grado di utilizzare una strategia più semplice!

38 Dunque, se cerchiamo lINTENSITA in un punto dello schermo, basterà che calcoliamo lampiezza dellonda risultante in quel punto Ti ricordi come abbiamo fatto nel caso delle onde stazionarie? Qui dovremmo procedere allo stesso modo, ma fortunatamente siamo in grado di utilizzare una strategia più semplice! Basta ricordare la somma dei vettori. Vediamo come:

39 Il principio di sovrapposizione dice che lampiezza dellonda risultante è in ogni punto uguale alla somma algebrica delle ampiezze delle singole onde, ma noi sappiamo anche che questo risultato dipende dalla differenza di fase che hanno le onde in quel punto.

40 P (max)

41 Il principio di sovrapposizione dice che lampiezza dellonda risultante è in ogni punto uguale alla somma algebrica delle ampiezze delle singole onde, ma noi sappiamo anche che questo risultato dipende dalla differenza di fase che hanno le onde in quel punto. P (max) = 0

42 Il principio di sovrapposizione dice che lampiezza dellonda risultante è in ogni punto uguale alla somma algebrica delle ampiezze delle singole onde, ma noi sappiamo anche che questo risultato dipende dalla differenza di fase che hanno le onde in quel punto. P (min)

43 Il principio di sovrapposizione dice che lampiezza dellonda risultante è in ogni punto uguale alla somma algebrica delle ampiezze delle singole onde, ma noi sappiamo anche che questo risultato dipende dalla differenza di fase che hanno le onde in quel punto. P (min) =

44 Il principio di sovrapposizione dice che lampiezza dellonda risultante è in ogni punto uguale alla somma algebrica delle ampiezze delle singole onde, ma noi sappiamo anche che questo risultato dipende dalla differenza di fase che hanno le onde in quel punto. P (min) = angolo

45 Ma anche per i vettori il risultato della somma dipende da unangolo!

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47 Ma anche per i vettori il risultato della somma dipende da unangolo!

48 Ma anche per i vettori il risultato della somma dipende da unangolo!

49 Ma anche per i vettori il risultato della somma dipende da unangolo!

50 Ma anche per i vettori il risultato della somma dipende da unangolo!

51 Ma anche per i vettori il risultato della somma dipende da unangolo!

52 Ma anche per i vettori il risultato della somma dipende da unangolo! Anche per i vettori il valore minimo della somma si ha quando langolo è uguale a

53 Ma anche per i vettori il risultato della somma dipende da unangolo! Anche per i vettori il valore minimo della somma si ha quando langolo è uguale a

54 Ma anche per i vettori il risultato della somma dipende da unangolo! Anche per i vettori il valore minimo della somma si ha quando langolo è uguale a

55 Ma anche per i vettori il risultato della somma dipende da unangolo! Anche per i vettori il valore minimo della somma si ha quando langolo è uguale a ed il valore massimo quando è uguale a 0

56 Trattiamo allora le ampiezze A delle due onde come se fossero vettori di uguale intensità, sostituendo allangolo tra le direzioni dei vettori, la differenza di fase delle onde

57 A A

58 Trattiamo allora le ampiezze A delle due onde come se fossero vettori di uguale intensità, sostituendo allangolo tra le direzioni dei vettori, la differenza di fase delle onde A A

59 Trattiamo allora le ampiezze A delle due onde come se fossero vettori di uguale intensità, sostituendo allangolo tra le direzioni dei vettori, la differenza di fase delle onde A A

60 Trattiamo allora le ampiezze A delle due onde come se fossero vettori di uguale intensità, sostituendo allangolo tra le direzioni dei vettori, la differenza di fase delle onde A A

61 Trattiamo allora le ampiezze A delle due onde come se fossero vettori di uguale intensità, sostituendo allangolo tra le direzioni dei vettori, la differenza di fase delle onde A A AA 0 2 2 2(1 cos

62 Trattiamo allora le ampiezze A delle due onde come se fossero vettori di uguale intensità, sostituendo allangolo tra le direzioni dei vettori, la differenza di fase delle onde A A Poiché, per la trigonometria, è: 12 2 2 cos AA 0 2 2 2(1 cos ()

63 Trattiamo allora le ampiezze A delle due onde come se fossero vettori di uguale intensità, sostituendo allangolo tra le direzioni dei vettori, la differenza di fase delle onde A A Poiché, per la trigonometria, è: AA 0 2 22 22 2 cos AA 0 2 2 2(1 cos 12 2 2 cos ()

64 Trattiamo allora le ampiezze A delle due onde come se fossero vettori di uguale intensità, sostituendo allangolo tra le direzioni dei vettori, la differenza di fase delle onde A A Poiché, per la trigonometria, è: AA 0 2 22 4 2 cos AA 0 2 22 22 2 cos AA 0 2 2 2(1 cos 12 2 2 cos ()

65 Trattiamo allora le ampiezze A delle due onde come se fossero vettori di uguale intensità, sostituendo allangolo tra le direzioni dei vettori, la differenza di fase delle onde A A AA 0 2 22 4 2 cos

66 AA 0 2 22 4 2 cos Trattiamo allora le ampiezze A delle due onde come se fossero vettori di uguale intensità, sostituendo allangolo tra le direzioni dei vettori, la differenza di fase delle onde A A

67 AA 0 2 22 4 2 cos Trattiamo allora le ampiezze A delle due onde come se fossero vettori di uguale intensità, sostituendo allangolo tra le direzioni dei vettori, la differenza di fase delle onde A A

68 AA 0 2 22 4 2 cos Trattiamo allora le ampiezze A delle due onde come se fossero vettori di uguale intensità, sostituendo allangolo tra le direzioni dei vettori, la differenza di fase delle onde A A

69 AA 0 2 22 4 2 cos Trattiamo allora le ampiezze A delle due onde come se fossero vettori di uguale intensità, sostituendo allangolo tra le direzioni dei vettori, la differenza di fase delle onde A A

70 AA 0 2 22 4 2 cos Trattiamo allora le ampiezze A delle due onde come se fossero vettori di uguale intensità, sostituendo allangolo tra le direzioni dei vettori, la differenza di fase delle onde A A

71 AA 0 2 22 4 2 cos Trattiamo allora le ampiezze A delle due onde come se fossero vettori di uguale intensità, sostituendo allangolo tra le direzioni dei vettori, la differenza di fase delle onde A A

72 Trattiamo allora le ampiezze A delle due onde come se fossero vettori di uguale intensità, sostituendo allangolo tra le direzioni dei vettori, la differenza di fase delle onde A A Possiamo scrivere questa relazione: AA 0 2 22 4 2 cos

73 Trattiamo allora le ampiezze A delle due onde come se fossero vettori di uguale intensità, sostituendo allangolo tra le direzioni dei vettori, la differenza di fase delle onde A A Possiamo scrivere questa relazione: AA 0 2 22 4 2 cos

74 Trattiamo allora le ampiezze A delle due onde come se fossero vettori di uguale intensità, sostituendo allangolo tra le direzioni dei vettori, la differenza di fase delle onde A A Possiamo scrivere questa relazione: Questo significa che il rapporto tra una differenza di fase fra due punti qualsiasi e la differenza X tra le loro distanze dallo schermo, è costante ed è uguale al rapporto tra la differenza di fase 2 e la corrispondente differenza tra i cammini percorsi dalle onde, AA 0 2 22 4 2 cos

75 Trattiamo allora le ampiezze A delle due onde come se fossero vettori di uguale intensità, sostituendo allangolo tra le direzioni dei vettori, la differenza di fase delle onde A A Possiamo scrivere questa relazione: AA 0 2 22 4 2 cos

76 Trattiamo allora le ampiezze A delle due onde come se fossero vettori di uguale intensità, sostituendo allangolo tra le direzioni dei vettori, la differenza di fase delle onde A A Possiamo scrivere questa relazione: AA 0 2 22 4 2 cos

77 Trattiamo allora le ampiezze A delle due onde come se fossero vettori di uguale intensità, sostituendo allangolo tra le direzioni dei vettori, la differenza di fase delle onde A A Possiamo scrivere questa relazione: Poiché è: AA 0 2 22 4 2 cos

78 Trattiamo allora le ampiezze A delle due onde come se fossero vettori di uguale intensità, sostituendo allangolo tra le direzioni dei vettori, la differenza di fase delle onde A A Possiamo scrivere questa relazione: Poiché è:

79 Trattiamo allora le ampiezze A delle due onde come se fossero vettori di uguale intensità, sostituendo allangolo tra le direzioni dei vettori, la differenza di fase delle onde A A Possiamo scrivere questa relazione: Poiché è:si ottiene: AA 0 2 22 4 2 cos

80 Trattiamo allora le ampiezze A delle due onde come se fossero vettori di uguale intensità, sostituendo allangolo tra le direzioni dei vettori, la differenza di fase delle onde A A AA 0 2 22 4 2 cos

81 Trattiamo allora le ampiezze A delle due onde come se fossero vettori di uguale intensità, sostituendo allangolo tra le direzioni dei vettori, la differenza di fase delle onde A A AA 0 2 22 4 2 cos

82 Trattiamo allora le ampiezze A delle due onde come se fossero vettori di uguale intensità, sostituendo allangolo tra le direzioni dei vettori, la differenza di fase delle onde A A AA 0 2 22 4 2 cos AA dsen 0 2 22 4 2 2 cos

83 Trattiamo allora le ampiezze A delle due onde come se fossero vettori di uguale intensità, sostituendo allangolo tra le direzioni dei vettori, la differenza di fase delle onde A A AA 0 2 22 4 2 cos AA dsen 0 2 22 4 cos AA dsen 0 2 22 4 2 2 cos

84 AA dsen 0 2 22 4 cos

85 AA dsen 0 2 22 4 cos

86 E siccome è: AA dsen 0 2 22 4 cos

87 E siccome è: Si può scrivere: dato che (2A) è lampiezza massima AA dsen 0 2 22 4 cos II dsen MAX 0 2 cos

88 II dsen MAX 0 2 cos

89 utilizzando la relazione che abbiamo trovato, verifica le condizioni di massimo e di minimo che avevamo dimostrato nella lezione precedente d sen = n d sen = (n-1/2) [ MAX ] [ min] II dsen MAX 0 2 cos

90 Si ha un massimo I 0 =I max quando d sen = n d sen = (n-1/2) [ MAX ] [ min] II dsen MAX 0 2 cos cos 2 1 dsen

91 cos 2 1 dsen quando d sen = n d sen = (n-1/2) [ MAX ] [ min] II dsen MAX 0 2 cos

92 cos 2 1 dsen II dsen MAX 0 2 cos d sen = n d sen = (n-1/2) [ MAX ] [ min] quando cioè:

93 cos 2 1 dsen II dsen MAX 0 2 cos d sen = n d sen = (n-1/2) [ MAX ] [ min] quando cioè:

94 d sen = (n-1/2) [ min] VERIFICA DA SOLO LA CONDIZIONE DI MINIMO II dsen MAX 0 2 cos

95 II dsen MAX 0 2 cos

96 Con questa equazione è possibile calcolare lIntensità in ogni punto dello schermo, conoscendo la lunghezza donda e la distanza tra le due sorgenti d II dsen MAX 0 2 cos

97 Con questa equazione è possibile calcolare lIntensità in ogni punto dello schermo, conoscendo la lunghezza donda e la distanza tra le due sorgenti d Basta sostituire e d e calcolare I 0 per vari valori di II dsen MAX 0 2 cos

98 Con questa equazione è possibile calcolare lIntensità in ogni punto dello schermo, conoscendo la lunghezza donda e la distanza tra le due sorgenti d Basta sostituire e d e calcolare I 0 per vari valori di Si può poi visualizzare il risultato con un grafico di I 0 in funzione di II dsen MAX 0 2 cos

99 0 I0I0

100 0 I0I0

101 0 I0I0 Nota che tutti i massimi hanno uguale ampiezza

102 Possiamo verificare il grafico dellinterferenza utilizzando un foglio elettronico:

103

104 Analizziamo ora a fondo la struttura dellequazione II dsen MAX 0 2 cos

105 E formata da tre parti: II dsen MAX 0 2 cos

106 E formata da tre parti: II dsen MAX 0 2 cos

107 E formata da tre parti: II dsen MAX 0 2 cos

108 E formata da tre parti: C II dsen MAX 0 2 cos

109 E formata da tre parti: C A rappresenta lENERGIA che arriva sullo schermo in un punto P, ad un angolo di visuale P II dsen MAX 0 2 cos

110 E formata da tre parti: C II dsen MAX 0 2 cos

111 E formata da tre parti: C B rappresenta lENERGIA MASSIMA che può arrivare sullo schermo II dsen MAX 0 2 cos

112 E formata da tre parti: C II dsen MAX 0 2 cos

113 E formata da tre parti: C C è un NUMERO che moltiplicato per B dà il valore di A II dsen MAX 0 2 cos

114 E formata da tre parti: C C è un NUMERO che moltiplicato per B dà il valore di A Infatti: se è C = 0 anche I( ) = 0 II MAX0 00 II dsen MAX 0 2 cos

115 E formata da tre parti: C C è un NUMERO che moltiplicato per B dà il valore di A Infatti: se è C = 0 anche I( ) = 0 se è C = 1 si ha I( ) = I max III MAX 0 1 II dsen MAX 0 2 cos II MAX0 00

116 negli altri casi C è un numero compreso tra 0 e 1 e sempre positivo E formata da tre parti: C C è un NUMERO che moltiplicato per B dà il valore di A Infatti: se è C = 0 anche I( ) = 0 se è C = 1 si ha I( ) = I max fine II dsen MAX 0 2 cos III MAX 0 1 II MAX0 00