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Teoria della relatività-2 7 gennaio 2013 Conseguenze cinematiche delle TdL Dilatazione del tempo, muoni atmosferici Contrazione delle lunghezze Grandezze.

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1 Teoria della relatività-2 7 gennaio 2013 Conseguenze cinematiche delle TdL Dilatazione del tempo, muoni atmosferici Contrazione delle lunghezze Grandezze proprie Relativita` della simultaneita` (approccio quantitativo)

2 222 Conseguenze cinematiche Dilatazione del tempo: supponiamo che un orologio a riposo nel sistema S in un punto di coordinata x misuri un intervallo di tempo Per trovare il corrispondente intervallo di tempo T in S, applichiamo leq. di trasformazione del tempo, ricordando che x 2 = x 1 Sottraendo membro a membro

3 333 Dilatazione del tempo Quindi si ha cioè una dilatazione del tempo Questo significa che se misuriamo il tempo caratteristico di un sistema fisico (o biologico) che non sia in quiete nel nostro sistema di riferimento inerziale (SRI), la misura produce un valore maggiore di quella effettuata nel SRI in cui il sistema fisico (o biologico) e` in quiete Ovvero il ritmo del nostro orologio e` maggiore di quello dellorologio nel sistema in moto, fatto che si esprime dicendo che lorologio in moto ritarda A differenza degli orologi di uno stesso SRI, che hanno lo stesso ritmo, orologi in diversi SRI in moto relativo hanno ritmi diversi

4 4 Dilatazione del tempo Consideriamo un orologio in quiete in S, il cui ritmo e` dato dal tempo di andata e ritorno T tra due specchi paralleli distanti h 4 x y S h Nel sistema S, rispetto a cui S e gli specchi si muovono con velocita` v, i due specchi distano h=h e il cammino ottico del raggio luminoso e` ove x e` lo spazio percorso dagli specchi nel tempo in cui il raggio percorre l x h l v S

5 5 Valgono le relazioni Risolvendo per h e quindi T, il ritmo dellorologio misurato nel sistema S, risulta Ma poiche Ne concludiamo che Dilatazione del tempo 5 x h l v S

6 6 Muoni atmosferici I raggi cosmici sono formati da particelle che, provenienti dallo spazio, interagiscono con i nuclei delle molecole daria dellatmosfera, dando origine a sciami di particelle, alcune delle quali raggiungono terra Tra queste cè il muone, una particella instabile di massa pari a 106 MeV e vita media = 2.2 s I muoni vengono prodotti ad unaltezza di circa 15 km da terra, con unenergia media di 4 GeV Qual è la distanza che un muone percorre in media prima di decadere? Siccome a questa energia la velocità del muone è circa c, la risposta sembrerebbe semplicemente 6

7 7 Muoni atmosferici Ma se così fosse, come potremmo osservare muoni a terra? Il punto è che è la vita media nel sistema di riferimento S in cui il muone è a riposo, non nel sistema S in cui si trova losservatore Noi osserviamo una vita media dilatata del fattore e quindi lo spazio percorso dai muoni è Per muoni di 4 GeV di energia il fattore vale circa 40, per cui la vita media nel sistema S risulta e la lunghezza di decadimento è più che sufficiente per raggiungere terra 7

8 888 Conseguenze cinematiche Contrazione delle lunghezze: siano x 1, x 2 le estremità di un regolo disposto lungo x fermo nel sistema S, la cui lunghezza in S vale Per trovare la corrispondente lunghezza L in S, applichiamo leq. di trasformazione di x, x tenendo conto che t 2 = t 1 Sottraendo membro a membro e invertendo

9 999 Contrazione delle lunghezze Quindi si ha cioè una contrazione della lunghezza Ovvero: se misuriamo la lunghezza di un oggetto che non sia in quiete nel nostro sistema di riferimento, la misura produce un valore minore di quella effettuata nel sistema di riferimento in cui loggetto e` in quiete

10 10 Grandezze proprie La lunghezza di un regolo nel sistema in cui è fermo si dice lunghezza propria L 0 La misura di una lunghezza e` sempre minore o uguale alla lunghezza propria LT 0

11 11 Contrazione delle lunghezze (2) Un altro modo di ottenere il risultato si basa sulla dilatazione del tempo Supponiamo di essere solidali al sistema S in moto con velocita` v rispetto al sistema S Sia L 0 la lunghezza propria di un oggetto in quiete in S (cioe` quella misurata in S) Ora, invece di misurare le due estremita` delloggetto in moto allo stesso tempo, le misuriamo nello stesso luogo x in due istanti diversi t 1, t 2 corrispondenti al nostro passaggio davanti alle estremita` delloggetto v (x, t 1 ) S v (x, t 2 ) S

12 12 Contrazione delle lunghezze (2) Noi transitiamo da unestremita` allaltra nellintervallo Ove L e` la lunghezza da determinare e t e` un intervallo di tempo proprio, in quanto misurato con un solo orologio Un osservatore in S, solidale con loggetto, ci vede transitare da unestremita` allaltra in un intervallo di tempo Intervallo non proprio, in quanto misurato con due orologi, uno per ciascuna estremita`

13 13 Contrazione delle lunghezze (2) La relazione tra gli intervalli di tempo nei due sistemi e` E per conseguenza la lunghezza misurata in S vale

14 14 Relatività della simultaneità (2) Riprendiamo la discussione: ricordiamo che (in S) e AB=L e` una lunghezza propria S giudica che per S i due fulmini non siano simultanei ma siano separati temporalmente da un intervallo di tempo che in S vale 14 v S O S OAB v S O S OAB t1t1 t2t2

15 15 Relatività della simultaneità (2) Ove t 1 e` il tempo che la luce impiega (in S) per andare da B=B a O e t 2 quello per andare da A=A a O t 1 e` tale per cui mentre la luce percorre lo spazio BO=ct 1, O si muove a destra di O della quantita` vt 1 ovvero e quindi 15 v S O S OAB t1t1 v S O S OAB t2t2

16 16 Relatività della simultaneità (2) Similmente t 2 e` tale per cui mentre la luce percorre lo spazio AO=ct 2, O si muove a destra di O della quantita` vt 2 ovvero E quindi 16 v S O S OABt2t2

17 17 Relatività della simultaneità (2) Tra i due fulmini intercorre dunque il tempo Questo tempo non e` proprio, in quanto in S gli istanti di tempo vengono registrati da due orologi diversi: ciascuno in corrispondenza della posizione occupata dal punto O rispetto ad S quando O riceve i due segnali 17

18 18 Relatività della simultaneità (2) Come descrive i fatti losservatore in S? Innanzitutto se per S allora S, a causa della contrazione delle lunghezze, concludera` che la lunghezza di AB (propria in S) vale mentre per AB misurera` la lunghezza 18

19 19 Relatività della simultaneità (2) Lintervallo di tempo tra i due fulmini (in S) si puo` calcolare notando che esso e` uguale al tempo impiegato dal regolo in S per spostarsi dalla posizione in cui B=B a quella in cui A=A e quindi 19 v O OA B B A O S OA B B A v t2t2 t1t1 S S S

20 20 Relatività della simultaneità (2) Questo intervallo e` proprio perche gli istanti di tempo in cui i segnali dei fulmini arrivano in O vengono registrati da un solo orologio, quello in O La relazione tra gli intervalli di tempo nei due sistemi deve dunque essere Che, riscrivendo le formule trovate, e` proprio quel che accade 20


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