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LE FUNZIONI Definizione Campo di esistenza e codominio
Cenni relativi alle funzioni, propedeutici allo studio delle coniche LE FUNZIONI Definizione Campo di esistenza e codominio Il grafico di una funzione Funzioni iniettive e suriettive
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DEFINIZIONE DI FUNZIONE
Dati due sottoinsiemi A e B non vuoti di R, una funzione da A a B è una relazione che associa ad ogni numero reale di A uno ed un solo numero reale di B. Linsieme di partenza A è detto DOMINIO quello delle immagini (cioè l’insieme che si ottiene costruendo tutte le immagini degli elementi di A attraverso la funzione f) è sottoinsieme di B ed è chiamato CODOMINIO.
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FUNZIONE: RELAZIONE UNIVOCA
Si tratta di un concetto molto importante: la funzione deve associare ad un elemento dell’insieme di partenza A un solo elemento nell’insieme di arrivo B. Come è possibile stabilire se una relazione è univoca? Supponiamo di avere l’equazione della nostra funzione: la variabile y non dovrà assumere valori differenti per uno stesso valore di x. Esempio: Sostituendo il valore x=5, ottengo che la y potrà essere o uguale a +3 oppure a -3 . L’equazione assegnata non è quella di una funzione. Volendo stabilire se un grafico è quello di una funzione, basta tagliarlo con rette verticali: tali rette devono intersecare il grafico una sola volta.
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Calcola il dominio delle seguenti funzioni
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Il codominio Il codominio è l’insieme dei valori immagine: basta verificare quali valori può assumere la y (variabile dipendente) al variare della x (variabile indipendente) nel CE. Se si ha a disposizione il grafico della funzione, basta “tagliarlo” con delle rette orizzontali. Tutte le intersezioni di tali rette con l’asse delle y forniscono i valori immagine (ovviamente le rette devono essere tutte e solo quelle che intersecano anche il grafico della funzione in esame!). Considera l’esempio della diapositiva seguente:
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Esempio di codominio Y x
Non è intersecato da alcuna retta orizzontale che intersechi anche il grafico: non fa parte del cod. Y x La parte sottolineata in rosso è il condominio (unione di due intervalli illimitati)
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Classificazione delle funzioni
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Il grafico DEFINIZIONE: si definisce grafico di una funzione il sottoinsieme del prodotto cartesiano RXR, formato dalle coppie ordinate di valori (x;y) tali che x appartiene al dominio della funzione e y al codominio. Da un punto di vista operativo, il grafico altro non è che un “disegno” che visualizza l’andamento della funzione (cioè: quali valori assume la y in relazione alla x; che segno ha la y quando la x varia in un determinato intervallo di valori; quando la funzione si annulla, cioè interseca l’asse delle x, etc…). Sarà compito dell’analisi infinitesimale (che studieremo in 5°) fornirti gli strumenti per realizzare grafici approssimativi delle funzioni reali a variabile reale. Per il momento ti serve osservare che il grafico di una funzione non può essere tagliato in più di un punto da rette verticali (concetto di univocità).
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Funzioni iniettive e suriettive
INIETTIVITA’: una funzione da A a B si dice iniettiva se elementi distinti di A hanno immagini distinte in B . SURIETTIVITA’: una funzione da A in B è suriettiva se ogni elemento di B è immagine di almeno un elemento di A. BIIETTIVITA’ : una funzione è biiettiva ( o biunivoca) se è sia iniettiva che suriettiva. OSSERVAZIONE 1: una funzione è sempre suriettiva nel suo codominio.
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QUESTO VALE PER OGNI X SCELTA NEL C.E.
Si tratta di una funzione iniettiva: a x differenti corrispondono y differenti. QUESTO VALE PER OGNI X SCELTA NEL C.E. Si tratta di una funzione iniettiva: a x differenti corrispondono y differenti. QUESTO VALE PER OGNI X SCELTA NEL C.E. Questa funzione non è iniettiva su tutto il suo CE ( e quindi non è iniettiva).Infatti osserva le linee rosse: a due x differenti corrisponde la stessa y) Questa funzione non è iniettiva su tutto il suo CE ( e quindi non è iniettiva).Infatti osserva le linee rosse: a due x differenti corrisponde la stessa y)
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