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Funzioni reali di una variabile reale Classificazione di una funzione Rappresentazio ne di una funzione Proprietà specifiche di alcune funzioni Grafici.

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Presentazione sul tema: "Funzioni reali di una variabile reale Classificazione di una funzione Rappresentazio ne di una funzione Proprietà specifiche di alcune funzioni Grafici."— Transcript della presentazione:

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3 Funzioni reali di una variabile reale Classificazione di una funzione Rappresentazio ne di una funzione Proprietà specifiche di alcune funzioni Grafici notevoli di funzioni elementari Trasformazioni elementari di funzioni Iniettiva Suriettiva biiettiva Tabulare Analitica …… Pari Dispari periodica Traslazioni Contrazioni Rotazioni Simmetrie ……. Classificazione delle funzioni analitiche algebriche trascendenti Razionali Irrazionali Intere fratte logaritmiche esponenziali goniometriche ……

4 LE FUNZIONI LA FUNZIONE LA FUNZIONE ESPONENZIALE E E LOGARITMICA LOGARITMICASTUDIO DEL GRAFICO DI UNA FUNZIONE ESCI

5 La Funzione Esponenziale E Logaritmica La Funzione Esponenziale E Logaritmica

6 Prerequisiti Numeri reali Concetto di funzione Grafici di funzioni Concetti e proprietà fondamentali delle potenze ad esponente reale

7 Obiettivi Saper tracciare il grafico di una funzione esponenziale del tipo y=a f(x) e dedurre le relative proprietà esponendo le opportune considerazioni sulla base a Saper definire la funzione logaritmica e giustificare le relative proprietà Saper tracciare il grafico di una funzione logaritmica e dedurre le opportune considerazioni al variare di a

8 Applicazioni Saper risolvere equazioni e disequazioni esponenziali e logaritmiche per via algebrica e per via grafica, anche con luso di trasformazioni geometriche

9 LA FUNZIONE ESPONENZIALE Dato un numero reale positivo a per qualunque valore di x è definita la funzione f:x a x Tale funzione è detta funzione esponenziale di base a Il suo dominio è linsieme R dei numeri reali Il suo codominio è linsieme R + La sua equazione è : y = a x

10 PROPRIETA DELLA FUNZIONE ESPONENZIALE Distinguiamo due casi: a>1 opp. 0

11 Deduzioni possiamo assegnare qualsiasi valore ad x ottenendo un valore reale di y D=R la potenza cresce al crescere dellesponente: x 1 > x 2 2 x1 > 2 x2 funzione crescente I valori di y sono tutti positivi C=R + I valori di y per x > 0 tendono a diventare grandi quanto si vuole, per x < 0 si avvicinano asintoticamente allasse x a mano a mano che ci si allontana dallorigine lim 2 x = 0 lim 2 x = x - x +

12 0

13 Deduzioni possiamo assegnare qualsiasi valore ad x ottenendo un valore reale di y D=R la potenza decresce al crescere dellesponente: x 1 > x 2 (1/2) x1 < (1/2) x2 funzione decrescente I valori di y sono tutti positivi C=R + I valori di y per x > 0 decrescono indefinitamente, per x < 0 tendono a diventare grandi quanto si vuole lim (1/2) x = 0 lim (1/2) x = x + x -

14 Generalizzazione funzione esponenziale y = a x con a > 1 dominio D= R codominio C=R + la funzione è crescente lim a x = 0 lim a x = + x - x + y 1 0 x funzione esponenziale y = a x con 0

15 Osservazione 1 Osservando i due grafici si può notare che ciascuna curva curva è la simmetrica dellaltra rispetto allasse y, cioè è ottenuta tramite la trasformazione: x -x y y che rappresenta la simmetria rispetto allasse y

16 Definizione di Logaritmo Dati due numeri positivi a e b, con a 1 si chiama logaritmo in base a del numero b lesponente a cui si deve elevare la base per ottenere il numero b x=log a b a x =b Ciò equivale a dire che lequazione a x =b ammette una ed una sola soluzione. Tale soluzione si chiama logaritmo di b in base a.

17 La Funzione Logaritmica Sia x un numero positivo qualunque e a 1 esiste il logaritmo di x rispetto alla base a e ad ogni valore di x corrisponde uno ed un solo valore di log a x, quindi: y = log a x con a > 0 e a 1 si chiama funzione logaritmica di base a

18 PROPRIETA DELLA FUNZIONE Logaritmica PROPRIETA DELLA FUNZIONE Logaritmica Distinguiamo due casi: a>1 opp. 0

19 Deduzioni Possiamo assegnare alla variabile x solo valori positivi D=R + Il valore del logaritmo cresce al crescere dellargomento x : x 1 > x 2 log 2 x 1 > log 2 x 2 funzione crescente y può assumere qualsiasi valore reale C=R I valori di y per x > 1 tendono a diventare grandi quanto si vuole, mentre per valori di x <1 i valori di y risultano negativi e la curva si accosta asintoticamente allasse y quando x tende a 0 lim log 2 x = - lim log 2 x =+ x 0 + x +

20 0

21 Deduzioni Possiamo assegnare alla variabile x solo valori positivi D=R+ il valore del logaritmo decresce al crescere dellargomento: x 1 > x 2 log 1/2 x 1 < log 1/2 x 2 funzione decrescente y può assumere qualsiasi valore reale C=R I valori di y per x > 1 decrescono indefinitamente, mentre per valori di x <1 i valori di y risultano positivi e la curva si accosta asintoticamente allasse y quando x tende a 0 lim log 1/2 x = - lim log 1/2 x = + x + x 0 +

22 Generalizzazione funzione logaritmica y = log a x con a > 1 dominio D= R + codominio C=R la funzione è crescente lim log a x = - lim log a x = + x 0 x + y 0 1 x funzione logaritmica y = log a x con 0

23 Le funzioni

24 Prerequisiti Teoria degli insiemi Relazioni Insiemi numerici N, Z, Q, R Rappresentazioni grafiche nel piano cartesiano

25 Obiettivi Definire la funzione. Conoscere le rappresentazioni di una funzione. Classificare le funzioni.

26 Contenuti Definizione di funzione. Rappresentazione di una funzione. Funzioni iniettive, suriettive, biiettive. Funzione inversa. Funzione matematica.

27 Definizione Dati due insiemi A e B non vuoti e non necessariamente distinti, si definisce funzione qualsiasi relazione di A in B che ad ogni elemento di A fa corrispondere uno ed uno solo elemento di B. f : A B x y (x, y) f

28 Dominio, codominio e immagine Dominio: insieme A Codominio: insieme B Immagine: insieme formato dagli elementi di B che sono i corrispondenti di elementi di A

29 LA RELAZIONE NON È UNA FUNZIONE…. quando ci sono elementi A a cui non corrispondono elementi di B oppure quando ci sono elementi A a cui corrispondono più di un elemento di B

30 Rappresentazione grafica di una funzione

31 Deduzione Poichè la funzione è una relazione; la relazione è un sottoinsieme del prodotto cartesiano si deduce che: la funzione si rappresenta come i prodotti cartesiani.

32 ….. Rappresentazione tabulare (o per elencazione) Rappresentazione sagittale (o diagramma a frecce) Rappresentazione mediante diagramma cartesiano

33 La classificazione delle funzioni

34 Funzioni iniettive Una funzione si dice iniettiva quando ad elementi distinti fa corrispondere immagini diverse. f : A B f (x 1 ) f(x 2 ) x 1 x 2

35 Come riconoscere le funzioni iniettive dal grafico: Ogni elemento del codominio è al più immagine di un elemento di A.

36 Ad ogni elemento del codominio arriva al massimo una freccia A B Grafico di funzioni iniettive

37 Funzioni suriettive Una funzione f : A B si dice suriettiva quando ogni elemento di B è immagine di almeno un elemento di A f : A B y B f : A B y B x A x A è suriettiva (x, y) f è suriettiva (x, y) f

38 Ad ogni elemento del codominio arriva almeno una freccia A B Grafico di funzioni suriettive

39 Funzioni biiettive Si dice biiettiva una funzione f: A B che è sia iniettiva che suriettiva. f : A B x 1 x 2 f (x 1 ) f(x 2 ) È biiettiva y B x A (x, y) f

40 Da ogni elemento di A parte una freccia In ogni elemento di B arriva una freccia Grafico di funzioni biiettive A B

41 Perché sono importanti le funzioni biiettive? Perché sono invertibili

42 Funzione inversa Data una funzione iniettiva f: A B si dice funzione inversa la funzione f -1 : B A tale che se f(x) = y allora f -1 (y) = x e viseversa se f -1 (y) = x allora f(x) = y

43 La funzione matematica … è una funzione f : A B in cui A e B sono insiemi numerici esiste una formula generale, del tipo y = f(x), che permette di calcolare limmagine di ogni elemento del dominio

44 LE FUNZIONI STUDIO DEL GRAFICO Clic per proseguire

45 Lo studio di una funzione è un procedimento che coinvolge concetti elevati, conoscenze fortemente correlate. Non si tratta di imparare un meccanismo, ma di seguire una procedura di estrema razionalità, che consiste nel migliorare progressivamente le informazioni, finché abbiamo acquisito tutto quello che occorre per dominarne il comportamento e tracciarne il grafico. Per risolvere tale problema è molto importante avere un continuo controllo sulle informazioni che man mano si acquisiscono. Clic per proseguire Indietro

46 Nello studio di una funzione y = f(x) conviene procedere secondo il seguente schema: determinare linsieme di esistenza della funzione. EsempiEsempi calcolare le coordinate degli eventuali punti dintersezione con gli assi cartesiani. EsempioEsempio scrivere lequazione degli eventuali asintoti orizzontali, verticali ed obliqui. Esempio Esempio Trovare gli eventuali punti di massimo e minimo relativo e di flesso. Esempio Esempio Tracciare landamento del grafico della funzione. Esempio Esempio Clic per proseguireIndietro

47 Una funzione razionale intera è definita per qualsiasi valore della x. Esempio. La funzione: è definita per qualsiasi valore attribuito allincognita. Pertanto il suo grafico si troverà in tutto il piano cartesiano. IndietroClic per proseguire

48 Una funzione razionale fratta non è definita per i valori della x che annullano il denominatore. Esempio. La funzione: Clic per proseguire Indietro è definita per tutti i valori della x diversi da 1. Pertanto il suo grafico si troverà in tutto il piano cartesiano escluso x=1.

49 Una funzione irrazionale quadratica è definita per i valori della x che rendono il radicando non negativo. Esempio. La funzione: è definita per valori della x esterni allintervallo (0;2) e pertanto non ci sarà grafico in tale intervallo. Infatti IndietroClic per proseguire

50 Linsieme di definizione di una funzione trascendente va stabilito caso per caso. Esempio. La funzione: è definita per i valori positivi della x e quindi il suo grafico si troverà nel primo e quarto quadrante Indietro Clic per proseguire Torna al menu

51 Per trovare le coordinate dei punti dintersezione con gli assi cartesiani di una funzione occorre porre y = 0 (punti dintersezione con lasse x) e quindi x = 0 (punti dintersezione con lasse y). Per esempio, data la funzione: ponendo y = 0 nellequazione si ottiene x 2 -1 = 0 e quindi x = ± 1. Pertanto il grafico passa per A(-1; 0) e B(1;0). Ponendo invece x = 0 si ottiene y = -1 e quindi il grafico passa per C(0; -1) IndietroClic per proseguire Torna al menu

52 Clic per proseguireIndietro Per trovare leventuale asintoto orizzontale di una funzione bisogna calcolare il limite per x che tende ad infinito della funzione. Se tale limite vale il numero finito k lasintoto orizzontale sarà y = k. Nel caso in cui tale limite risulta infinito, non esiste asintoto orizzontale e le funzione diverge. Per esempio non ammette asintoto orizzontale la seguente funzione perché il limite suddetto è infinito.

53 IndietroClic per proseguire Per trovare gli eventuali asintoti verticali bisogna calcolare il limite per x che tende ad ognuno di quei valori (supponiamo che sia h) per i quali la funzione non è definita. Se tale limite risulta infinito, la retta x = h è un asintoto verticale. Nellesempio precedente la funzione ammette la retta x = 1 come asintoto verticale essendo il limite di tale funzione infinito. Per trovare gli eventuali asintoti obliqui del tipo y = mx + q bisogna calcolare il limite per x che tende ad infinito di f(x)/x (tale numero nel caso in cui risulta finito rappresenta m) e il limite per x che tende ad infinito di f(x) – mx (tale numero nel caso in cui risulta finito rappresenta q). Nel nostro caso la funzione ammette come asintoto obliquo la retta y = x – 1. Infatti i suddetti limiti risultano m = 1 e q = -1. Torna al menu

54 Per calcolare i punti di massimo e minimo relativo di una funzione bisogna studiare il segno della derivata prima, ricordandosi che quando essa risulta positiva (negativa) la funzione è crescente (decrescente). Per calcolare i punti di flesso bisogna studiare il segno della derivata seconda, ricordandosi che quando essa risulta positiva (negativa) la funzione è concava (convessa). N.B. Per brevità non ci occupiamo delle funzioni non derivabili. Data la funzione: calcoliamo la derivata prima: e ne studiamo il segno: X = -1 X = +1 pertanto per x = -1 cè un punto di massimo relativo e per x = 1 un punto di minimo relativo IndietroClic per proseguire F(x)

55 IndietroClic per proseguire Di conseguenza y(-1) = 2 e y(1) = -2. Quindi la funzione ha un massimo relativo nel punto A(-1;-2) e un minimo relativo nel punto B(1;-2). Calcoliamo quindi la derivata seconda della funzione e ne studiamo il segno: Pertanto la funzione è concava per x>0 e convessa per x<0. Di conseguenza y(0) = 0 e quindi la funzione ha un flesso nel punto C(0;0), cioè nellorigine Il grafico evidenzia i punti di massimo e minimo relativo e il punto di flesso. Torna al menu

56 IndietroClic per proseguire Come esempio finale trattiamo lo studio completo di una funzione algebrica razionale fratta. Sia data la funzione: 1.La funzione è definita per x 1 2.Se x = 0 allora y = 0 e viceversa. Quindi lunico punto dintersezione della funzione con gli assi cartesiani è lorigine O(0;0). 3.La funzione non ha asintoti orizzontali perché il limite per x che tende ad infinito è infinito. La funzione ammette come asintoto verticale la retta di equazione x = 1 perché il limite per x che tende ad 1 della funzione è più infinito sia da destra che da sinistra. La funzione ammette come asintoto obliquo la retta di equazione y = x + 2 perché il limite per x che tende ad infinito di f(x)/x è 1 e il limite per x che tende ad infinito di f(x) – mx è 2.

57 IndietroClic per proseguire 4.Studiamo il segno della derivata prima, che può essere calcolata con facili passaggi algebrici: Pertanto (sempre attraverso facili passaggi algebrici), la curva presenta un flesso nellorigine e un minimo nel punto (3;27/4). La derivata seconda: Non annullandosi al di fuori dellorigine, ci indica che la funzione non presenta altri flessi IL grafico della funzione è rappresentato nella successiva diapositiva.

58 Indietro

59 ANNO 2002 COMPONENTI DEL PROGETTO: Prof.ssa Anna Maria Luppino Prof.ssa Rosella Macchioni Prof. Nino Manerchia Prof.ssa Antonella Paolillo


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