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Elementi di Matematica Insiemi relazioni funzioni prof. Paolo Peranzoni.

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1 Elementi di Matematica Insiemi relazioni funzioni prof. Paolo Peranzoni

2 Insiemi Il concetto di insieme, a questo livello, viene trattato in forma intuitiva: viene chiamato insieme una qualunque raccolta di oggetti (concreti o astratti), purché si sappia con precisione chi ne fa parte e chi no un insieme può essere individuato in modo estensivo (dando lelenco dei suoi elementi) o intensivo (dichiarando le proprietà degli stessi)

3 Esempi di insiemi Linsieme degli studenti presenti in questaula (definizione intensiva) Linsieme che contiene Brontolo, Cucciolo, Dotto, Eolo, Gongolo, Mammolo, Pisolo (definizione estensiva dei sette nani) Linsieme degli esercizi facili di matematica (non è un insieme, perché non è possibile stabilire in modo univoco quali esercizi vi appartengano!)

4 Come rappresentare gli insiemi Gli insiemi si possono rappresentare in modo simbolico, sia in forma intensiva che estensiva: A = {Brontolo, Cucciolo, Dotto, Eolo, Gongolo, Mammolo, Pisolo} è una rappresentazione estensiva dellinsieme dei sette nani B = {x|x N, 3 x 7} è linsieme dei numeri naturali (ossia gli interi positivi) compresi fra 3 e 7, estremi inclusi (contiene cioè 3, 4, 5, 6 e 7) Ma si possono rappresentare anche in forma grafica, attraverso i diagrammi di Eulero-Venn

5 I diagrammi di Eulero-Venn Un diagramma di Eulero-Venn (o semplicemente diagramma di Venn) è la rappresentazione grafica di un insieme che consiste nel racchiuderne gli elementi allinterno di una linea chiusa non intrecciata.EuleroVenn

6 Concetti fondamentali 1 Fondamentale è il concetto di appartenenza di un elemento ad un insieme Il simbolo corrispondente è Esempio: Anna BAMBINI (con riferimento alla figura precedente)

7 Concetti fondamentali 2 Ben diverso è il concetto di inclusione di un insieme in un altro insieme: I simboli corrispondenti sono e Si dice che un insieme è incluso in un altro (o che è un suo sottoinsieme) se tutti gli elementi del primo appartengono anche al secondo Esempio: {Brontolo, Eolo, Mammolo} {Brontolo, Cucciolo, Dotto, Eolo, Gongolo, Mammolo, Pisolo}

8 Inclusione Si può avere linclusione in senso stretto: A B se non tutti gli elementi di B appartengono ad A (come nellesempio precedente) In tal caso A viene detto sottoinsieme proprio di B Oppure si può avere linclusione in senso lato: A B se è possibile che tutti gli elementi di B appartengano anche ad A Se A coincide con B si dice che è un suo sottoinsieme improprio

9 Esempi Esiste anche la relativa negazione: B C (B non è un sottoinsieme di C) Nella figura accanto, B A (B è un sottoinsieme improprio di A) Invece, C B (B è un sottoinsieme proprio di A)

10 Operazioni Sugli insiemi si definiscono varie operazioni; le più comuni sono lunione e lintersezione: Lunione di due insiemi A e B si indica con A B ed è linsieme che ha come elementi tutti quelli di A ed anche tutti quelli di B (senza contare due volte gli elementi comuni)

11 Intersezione Lintersezione di due insiemi A e B si indica invece con A B ed è linsieme che ha come elementi quelli che appartengono sia ad A sia a B Nel prossimo esempio, consideriamo gli insiemi A = {a, b, c, d, e} e B = {a, e, i, o, u} Notiamo che nessuno dei due è sottoinsieme dellaltro (A B e B A)

12 Esempio Come si può notare, lintersezione corrisponde alla parte comune ai due insiemi, mentre lunione allintera area più scura

13 Linsieme vuoto Se calcoliamo lintersezione fra due insiemi disgiunti (ossia che non hanno elementi comuni), otteniamo linsieme vuoto Il simbolo per indicarlo è Ø Esempi: {1, 2, 3} {4, 5, 6} = Ø {x|x N, 3 x 7} {x|x N, 9 x 12} = Ø

14 Gli insiemi numerici Gli insiemi più interessanti per la matematica sono quelli numerici I più utilizzati sono Insieme dei numeri naturali N Insieme dei numeri interi Z Insieme dei numeri razionali Q Insieme dei numeri reali R

15 Funzioni Si chiama funzione fra due insiemi A e B qualunque corrispondenza che, ad ogni elemento di A faccia corrispondere uno ed un solo elemento di B Ad esempio, la corrispondenza che a ciascuna persona presente in questaula associa la lettera iniziale del suo cognome è una funzione linsieme A, in questo caso, è linsieme delle persone presenti linsieme B è linsieme delle lettere dellalfabeto

16 Funzioni e diagrammi Nella figura accanto, la funzione f associa a ciascun elemento dellinsieme A = {a, b, c, d} uno ed un solo elemento dellinsieme B = {e, f, g} e precisamente: a e, b f c f, d g

17 Dominio e codominio Linsieme A (insieme di partenza) viene chiamato dominio della funzione Linsieme B (insieme di arrivo) viene chiamato codominio della funzione

18 Immagini Si dirà che e è limmagine di a, f di b e di c, g di d h non è immagine di nessun elemento di A Linsieme {e, f, g} B è detto insieme delle immagini o insieme immagine di A Qualcuno chiama codominio linsieme immagine, anziché linsieme B

19 Proprietà delle funzioni Una funzione si dice suriettiva quando ogni elemento dellinsieme B è associato ad almeno un elemento di A Questo equivale a dire che linsieme delle immagini coincide con B Per aiutare la memoria, possiamo pensare che la funzione f copre, va sopra a B si usa anche dire che, in questo caso, f è una funzione di A su B

20 Esempio La funzione vista tre diapositive addietro è suriettiva Quella successiva, invece, non lo è

21 Funzioni iniettive Una funzione si dice iniettiva quando ogni elemento dellinsieme B è associato tuttal più ad un elemento di A Questo equivale a dire che su ogni elemento di B non può arrivare più di una freccia In altre parole, un elemento di B o è immagine di un solo elemento di A oppure non lo è di nessuno

22 Esempio La funzione rappresentata qui di fianco è iniettiva Questa, invece, non lo è

23 Funzioni biiettive Una funzione si dice biiettiva quando è al tempo stesso suriettiva ed iniettiva In tal caso essa viene chiamata anche corrispondenza biunivoca Una funzione biiettiva non solo associa ad ogni elemento di A uno ed un solo elemento di B (come ogni funzione), ma anche ad ogni elemento di B uno ed un solo di A Le funzioni biiettive vengono dette anche corrispondenze uno a uno

24 Esempio La funzione rappresentata qui di fianco è biiettiva Questa, invece, non lo è

25 Funzioni algebriche Quando dominio e codominio sono insiemi numerici, le funzioni vengono dette solitamente algebriche Le funzioni algebriche sono in genere espresse da una equazione: y = 2x esprime la funzione che ad ogni numero (reale) x associa il suo doppio y y = x 2 esprime la funzione che ad ogni numero (reale) x associa il suo quadrato y

26 Funzioni elementari Le funzioni più semplici usate in algebra sono dette funzioni elementari Alcune le vedremo in seguito; qui vediamo solo le funzioni lineari: y = ax + b (dove a e b sono numeri reali qualsiasi) è la più generale funzione lineare in una variabile Laggettivo lineare significa, in matematica, di primo grado


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