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INSIEMI INSIEME= gruppo di oggetti di tipo qualsiasi detti elementi dellinsieme. Un insieme è definito quando viene dato un criterio non ambiguo che permette.

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1 INSIEMI INSIEME= gruppo di oggetti di tipo qualsiasi detti elementi dellinsieme. Un insieme è definito quando viene dato un criterio non ambiguo che permette di stabilire se loggetto appartiene o no allinsieme

2 Simbologia Gli insiemi sono indicati con lettere maiuscole, eventualmente munite di indici: A, B, X, Y, A 1, A 2, B 1 … gli elementi degli insiemi con lettere minuscole, eventualmente munite di indici: a, b, x, a 1, a 2, y 1 …

3 Rappresentazione di un insieme Un insieme A si può rappresentare: elencando tutti gli elementi che appartengono all'insieme Esempio: A = {a, b, c, d} Indicando la proprietà caratteristica degli elementi dell'insieme Esempio: A = {x : x è una lettera dellalfabeto}

4 I Diagrammi di Eulero-Venn Servono per rappresentare graficamente un insieme. Esempio: a b c d A

5 Il simbolo di appartenenza: Per indicare che a è un elemento dellinsieme A si scrive: a A si legge a appartiene ad A". Per indicare che b non è un elemento dellinsieme A si scrive: b A si legge b non appartiene ad A".

6 CONFRONTO TRA INSIEMI Si dice che B è sottoinsieme di A e si scrive: B A (oppure A B) e si legge: "B è contenuto o è uguale ad A" ("A contiene o è uguale a B") se ogni elemento di B è un elemento di A b B b A

7 Insieme vuoto : Insieme privo di elementi (qualunque sia A) Si dice che B è sottoinsieme proprio di A e si scrive: oppure se B è diverso da A e dall'insieme vuoto, cioè se a A : a B CONFRONTO TRA INSIEMI

8 Due insiemi A e B si dicono uguali se ogni elemento di A è anche elemento di B e viceversa: A = B (A B e B A) Due insiemi A e B si dicono diversi se esiste un elemento di uno dei due insiemi che non appartiene allaltro: A B

9 Proprietà della relazione di inclusione: Siano A, B, C insiemi qualsiasi, si ha: A A (proprietà riflessiva) se A B e B A allora A = B (proprietà antisimmetrica) se A B e B C allora A C ( proprietà transitiva)

10 Insieme delle parti L'insieme di tutti i sottoinsiemi di un insieme A, compresi l'insieme vuoto ed A stesso, si dice insieme delle parti di A (o potenza di A) e si indica con P(A) Esempio: Sia A = {1, 2, 3}, P(A)= {, {1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}} Se A contiene n elementi allora P contiene 2 n elementi

11 OPERAZIONI TRA INSIEMI UNIONE INTERSEZIONE DIFFERENZA COMPLEMENTAZIONE PRODOTTO CARTESIANO

12 UNIONE TRA INSIEMI L'unione di due insiemi A e B è l'insieme di quegli elementi che appartengono ad almeno uno dei due insiemi A e B Lunione di A e B si scrive: A B = {x : x A o x B } Se A = B A B = A Se A B A B = B

13 UNIONE TRA INSIEMI Esempio: A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3} AB

14 UNIONE TRA INSIEMI Esempio: A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3} A B = {0, 1, 2, 3} AB

15 INTERSEZIONE TRA INSIEMI L'intersezione di due insiemi A e B è l'insieme di quegli elementi che appartengono sia ad A che a B L'intersezione di A e B si scrive: A B = {x : x A e x B } Se A = B A B = A Se A B A B = A Se A B = A e B si dicono disgiunti.

16 INTERSEZIONE TRA INSIEMI Esempio: A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3} A B

17 INTERSEZIONE TRA INSIEMI Esempio: A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3} A B = {1, 2} A B

18 PROPRIETA DI UNIONE E INTERSEZIONE Proprietà commutativa: A B = B A Proprietà associativa: (A B) C = A (B C) Proprietà distributiva: A (B C) = (A B) (A C)

19 DIFFERENZA TRA INSIEMI La differenza di due insiemi A e B è l'insieme di quegli elementi che appartengono ad A e che non appartengono a B: La differenza di A e B si scrive A B = A \ B = {x : x A e x B } Se A = B A \ B = Se A B A \ B =

20 DIFFERENZA TRA INSIEMI Esempio: A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3} A B

21 DIFFERENZA TRA INSIEMI Esempio: A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3} A \ B = {0} A B

22 DIFFERENZA TRA INSIEMI Esempio: A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3} B \ A = {3} A B

23 INSIEME COMPLEMENTARE Sia U un insieme su cui si intende operare, chiamato insieme universo. sia A un sottoinsieme di U, si chiama insieme complementare di A rispetto ad U l'insieme differenza di U e A e si scrive: C U A =A =U \ A = {x : x U e x A }

24 INSIEME COMPLEMENTARE Esempio U = {0, 1, 2, 3, 5}, A = {1, 2} U A

25 INSIEME COMPLEMENTARE Esempio U = {0, 1, 2, 3, 5}, A = {1, 2} C U A =U \ A = {0, 3, 5} U A 1 2 A

26 PRODOTTO CARTESIANO Per coppia ordinata si intende una coppia di elementi in cui viene distinto il primo dal secondo: (x,y) (y,x) Dati due insiemi A e B, linsieme delle coppie ordinate (x,y) in cui il primo elemento x appartiene ad A ed il secondo elemento y appartiene a B si dice prodotto cartesiano di A e B A B = {(x, y) : x A, y B}

27 PRODOTTO CARTESIANO Non è commutativo: A B B A Se A=B A B = A 2 Dati n insiemi: A 1, A 2, ….., A n : A 1 A 2 …. A n = {(x 1, x 2, ….., x n ) : x 1 A 1, x 2 A 2, …, x n A n } Se A 1 = A 2 =… =A n A 1 A 2 …. A n = A n

28 PRODOTTO CARTESIANO Esempio: A = {1, 2}, B = {3, 4} A B = {(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)} B A = {(3,1), (3,2), (4,1), (4,2)}

29 ESERCIZI Dati A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {2, 4, 6} Calcolare: A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A B = {2, 4} A \ B = {1, 3, 5} B \ A = {6}

30 INSIEMI NUMERICI NATURALI INTERI O RELATIVI RAZIONALI IRRAZIONALI REALI

31 I NUMERI NATURALI N={1, 2, 3, 4, 5,…..} Si definisce sistema algebrico un insieme nel quale sono state definite alcune relazioni Il sistema algebrico dei numeri naturali si ottiene introducendo in N le seguenti operazioni: 1) Addizione 2) Moltiplicazione 3) Relazione di minore o uguale di (m

32 I NUMERI NATURALI m, n, p N Le operazioni di addizione e moltiplicazione godono delle proprietà: - Associativa: (m + n) + p = m + (n + p) (m n) p= m (n p) -Commutativa: m + n = n + m m n = n m -Distributiva: m (n + p)= m n + m p -Esistenza dellelemento neutro della moltiplicazione: 1 N: 1 m = m

33 I NUMERI RELATIVI Linsieme dei numeri naturali è chiuso rispetto alladdizione e alla moltiplicazione. Non è ad esempio chiuso rispetto alla sottrazione sistema algebrico dei numeri relativi: Z= {0, +1, -1, +2, -2, +3, -3, …} Z + = {+1, +2, +3, …} = N Z - = {-1, -2, -3, …} Z = Z + Z - {0}

34 I NUMERI RELATIVI Valgono le proprietà 1), 2) e 3) e inoltre: 4) Esiste lelemento neutro delladdizione: 0 Z : x + 0 = x, x Z 5) Esiste lopposto: x Z, y Z : x + y = 0, 6) Chiuso rispetto alla sottrazione: x – y = x + (-y)

35 I NUMERI RAZIONALI PROBLEMA: Dati due numeri x,y Z non è sempre possibile trovare un numero q Z : x q = y ovvero Z non è chiuso rispetto alla divisione Q= {q = x/y : x Z, y Z\{0}} ogni numero decimale finito o periodico è un numero razionale.

36 NUMERI RAZIONALI Q è denso: q 1, q 2 Q, q Q : q = (q 1 + q 2 )/ N e Z sono discreti:

37 NUMERI REALI PROBLEMA: non è possibile trovare nessun numero razionale tale che il suo quadrato sia uguale a 2 ! Numeri reali: R = Q + dove è linsieme dei numeri irrazionali

38 DIMOSTRAZIONE Supponiamo per assurdo che esista un numero razionale del tipo p/q primi tra loro tale che: p 2 /q 2 =2 p 2 =2 q 2 p è pari, p = 2k 2 2 k 2 = 2 q 2 2 k 2 = q 2 ma allora anche q è pari contro lipotesi che p e q sono primi tra loro.

39 I NUMERI REALI Assioma di completezza: Siano A e B due sottoinsiemi non vuoti di R a A b B si abbia a b c R: a c b c prende il nome di elemento separatore. Esiste una corrispondenza biunivoca tra numeri reali e punti della retta:

40 GLI INSIEMI NUMERICI Sussiste una precisa relazione di inclusione: N Z Q R


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