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LE BASI FONDAMENTALI INSIEMI INSIEMI NUMERICI (naturali, interi, razionali, reali e complessi) SISTEMI DI COORDINATE ELEMENTI DI GEOMETRIA ANALITICA FUNZIONI.

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1 LE BASI FONDAMENTALI INSIEMI INSIEMI NUMERICI (naturali, interi, razionali, reali e complessi) SISTEMI DI COORDINATE ELEMENTI DI GEOMETRIA ANALITICA FUNZIONI TRIGONOMETRICHE EQUAZIONI DISEQUAZIONI PERCENTUALI 1

2 INSIEMI INSIEME= gruppo di oggetti di tipo qualsiasi detti elementi dellinsieme. Un insieme è definito quando viene dato un criterio non ambiguo che permette di stabilire se loggetto appartiene o no allinsieme 2

3 Simbologia Gli insiemi sono indicati con lettere maiuscole, eventualmente munite di indici: A, B, X, Y, A 1, A 2, B 1 … gli elementi degli insiemi con lettere minuscole, eventualmente munite di indici: a, b, x, a 1, a 2, y 1 … 3

4 Rappresentazione di un insieme Un insieme A si può rappresentare: elencando tutti gli elementi che appartengono all'insieme Esempio: A = {a, b, c, d} Indicando la proprietà caratteristica degli elementi dell'insieme Esempio: A = {x : x è una lettera dellalfabeto} 4

5 I Diagrammi di Eulero-Venn Servono per rappresentare graficamente un insieme. Esempio: a b c d A 5

6 Il simbolo di appartenenza: Per indicare che a è un elemento dellinsieme A si scrive: a A si legge a appartiene ad A". Per indicare che b non è un elemento dellinsieme A si scrive: b A si legge b non appartiene ad A". 6

7 ALCUNI SIMBOLI 7

8 CONFRONTO TRA INSIEMI Si dice che B è sottoinsieme di A e si scrive: B A (oppure A B) e si legge: "B è contenuto o è uguale ad A" ("A contiene o è uguale a B") se ogni elemento di B è un elemento di A b B b A 8

9 CONFRONTO TRA INSIEMI Insieme vuoto : Insieme privo di elementi (qualunque sia A) Si dice che B è sottoinsieme proprio di A e si scrive: oppure se B è diverso da A e dall'insieme vuoto, cioè se a A : a B 9

10 OPERAZIONI TRA INSIEMI UNIONE INTERSEZIONE DIFFERENZA COMPLEMENTAZIONE PRODOTTO CARTESIANO 10

11 UNIONE TRA INSIEMI L'unione di due insiemi A e B è l'insieme di quegli elementi che appartengono ad almeno uno dei due insiemi A e B Lunione di A e B si scrive: A B = {x : x A e/o x B } Se A = B A B = A Se A B A B = B 11

12 UNIONE TRA INSIEMI Esempio: A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3} AB 12

13 UNIONE TRA INSIEMI Esempio: A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3} A B = {0, 1, 2, 3} AB 13

14 INTERSEZIONE TRA INSIEMI L'intersezione di due insiemi A e B è l'insieme di quegli elementi che appartengono sia ad A che a B L'intersezione di A e B si scrive: A B = {x : x A e x B } Se A = B A B = A Se A B A B = A Se A B = A e B si dicono disgiunti. 14

15 INTERSEZIONE TRA INSIEMI Esempio: A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3} A B

16 INTERSEZIONE TRA INSIEMI Esempio: A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3} A B = {1, 2} A B

17 DIFFERENZA TRA INSIEMI La differenza di due insiemi A e B è l'insieme di quegli elementi che appartengono ad A e che non appartengono a B: La differenza di A e B si scrive A B = A \ B = {x : x A e x B } Se A = B A \ B = Se A B A \ B = 17

18 DIFFERENZA TRA INSIEMI Esempio: A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3} A B 18

19 DIFFERENZA TRA INSIEMI Esempio: A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3} A \ B = {0} A B 19

20 DIFFERENZA TRA INSIEMI Esempio: A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3} B \ A = {3} A B 20

21 INSIEME COMPLEMENTARE Sia U un insieme su cui si intende operare, chiamato insieme universale. sia A un sottoinsieme di U, si chiama insieme complementare di A rispetto ad U l'insieme differenza di U e A e si scrive: C U A =A =U \ A = {x : x U e x A } 21

22 INSIEME COMPLEMENTARE Esempio U = {0, 1, 2, 3, 5}, A = {1, 2} U A 22

23 INSIEME COMPLEMENTARE Esempio U = {0, 1, 2, 3, 5}, A = {1, 2} C U A =U \ A = {0, 3, 5} U A 1 2 A 23

24 PRODOTTO CARTESIANO Per coppia ordinata si intende una coppia di elementi in cui viene distinto il primo dal secondo: (x,y) (y,x) Dati due insiemi A e B, linsieme delle coppie ordinate (x,y) in cui il primo elemento x appartiene ad A ed il secondo elemento y appartiene a B si dice prodotto cartesiano di A e B A B = {(x, y) : x A, y B} 24

25 PRODOTTO CARTESIANO Esempio: A = {1, 2}, B = {3, 4} A B = {(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)} B A = {(3,1), (3,2), (4,1), (4,2)} 25

26 ESERCIZI Dati A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {2, 4, 6} Calcolare: A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A B = {2, 4} A \ B = {1, 3, 5} B \ A = {6} 26

27 INSIEMI NUMERICI NATURALI INTERI O RELATIVI RAZIONALI IRRAZIONALI REALI COMPLESSI 27

28 I NUMERI NATURALI N={1, 2, 3, 4, 5,…..} Si definisce sistema algebrico un insieme nel quale sono state definite alcune operazioni. Il sistema algebrico dei numeri naturali si ottiene introducendo in N le seguenti operazioni: 1) Addizione 2) Moltiplicazione 3) Relazione di minore o uguale (m

29 I NUMERI NATURALI m, n, p N Le operazioni di addizione e moltiplicazione godono delle proprietà: - Associativa: (m + n) + p = m + (n + p) (m n) p= m (n p) -Commutativa: m + n = n + m m n = n m -Distributiva: m (n + p)= m n + m p -Esistenza dellelemento neutro della moltiplicazione: 1 N: 1 m = m 29

30 I NUMERI INTERI Linsieme dei numeri naturali è chiuso rispetto alladdizione e alla moltiplicazione. Non è però chiuso rispetto alla sottrazione: sistema algebrico dei numeri interi. Z= {0, +1, -1, +2, -2, +3, -3, …} Z + = {+1, +2, +3, …} = N Z - = {-1, -2, -3, …} Z = Z + Z - {0} 30

31 I NUMERI INTERI Valgono le proprietà 1), 2) e 3) e inoltre: 4) Esiste lelemento neutro delladdizione: 0 Z : x + 0 = x, x Z 5) Esiste lopposto: x Z, y Z : x + y = 0, 6) Chiuso rispetto alla sottrazione: x – y = x + (-y) 31

32 I NUMERI RAZIONALI PROBLEMA: Dati due numeri x,y Z non è sempre possibile trovare un numero q Z : x q = y ovvero Z non è chiuso rispetto alla divisione Q= {q = x/y : x Z, y Z\{0}} ogni numero decimale finito o periodico è un numero razionale. 32

33 NUMERI RAZIONALI Q è denso: q 1, q 2 Q, q Q : q = (q 1 + q 2 )/ N e Z sono discreti: 33

34 NUMERI REALI PROBLEMA: non è possibile trovare nessun numero razionale tale che il suo quadrato sia uguale a 2 ! Numeri reali: R = Q dove è linsieme dei numeri irrazionali 34

35 NUMERI REALI Supponiamo per assurdo che esista un numero razionale del tipo p/q (p e q primi tra loro) tale che: p 2 /q 2 =2 p 2 =2 q 2 p è pari, p = 2k 2 2 k 2 = 2 q 2 2 k 2 = q 2 ma allora anche q è pari contro lipotesi che p e q sono primi tra loro. 35

36 NUMERI REALI Linsieme dei numeri reali è chiuso rispetto alle operazioni algebriche di +, -, *, : Questo significa che la somma (la differenza, il prodotto e il quoziente) di 2 numeri reali è un numero reale. Non vale il viceversa! 36

37 NUMERI COMPLESSI Sia, x non può essere un numero reale perché il quadrato di un numero reale non può essere uguale ad un numero reale negativo. Si definisce unità immaginaria il numero i il cui quadrato è uguale a – 1: 37

38 NUMERI COMPLESSI Un numero non reale (complesso) z può essere scritto nel seguente modo: Linsieme dei numeri complessi viene indicato con C e risulta chiuso rispetto alle operazioni algebriche di somma, differenza, prodotto e divisione. 38

39 NUMERI COMPLESSI Siano dati due numeri complessi SOMMA: DIFFERENZA: PRODOTTO: 39

40 NUMERI COMPLESSI Si definisce numero complesso coniugato del numero complesso, il numero: Il prodotto tra il numero complesso v e il suo complesso coniugato è dato dal numero reale (chiamato modulo di v): 40

41 NUMERI COMPLESSI QUOZIENTE: 41

42 GLI INSIEMI NUMERICI Sussiste una precisa relazione di inclusione: N Z Q R C 42

43 RELAZIONI e CORRISPONDENZE Siano X e Y due insiemi non vuoti si chiama relazione tra X e Y un qualunque sottoinsieme del prodotto cartesiano: R X x Y = (x,y): x X, y Y Linsieme costituito dai primi (secondi) elementi delle coppie viene chiamato dominio (codomino). Se il dominio coincide con X, la relazione viene denominata Corrispondenza. 43

44 FUNZIONE Una funzione è una corrispondenza tale che se comunque si prenda un elemento x di X ad esso viene associato uno e un solo elemento y di Y. Noi consideriamo X, Y R, cioè funzioni reali di una variabile reale. 44

45 RELAZIONE TRA 2 INSIEMI Y X 45

46 FUNZIONE TRA DUE INSIEMI Y X 4 46

47 SISTEMA DI COORDINATE ASCISSE SOPRA UNA RETTA Sia data una retta r, si fissi: 1)Un verso positivo di percorrenza 2)Un punto O detto Origine 3)Un segmento u detto unità di misura O u r-r- r+r+ r 47

48 ASSE DELLE ASCISSE Preso un punto P sullasse delle ascisse, a P si può sempre associare x P R, ovvero la misura del segmento OP, presa col segno + (-) se P appartiene al semiasse positivo (negativo). x P è chiamata ascissa di P Viceversa, x P R ! P r : x= x P. Esiste una corrispondenza biunivoca tra numeri reali e punti della retta. 48

49 SISTEMA DI COORDINATE CARTESIANE NEL PIANO Date 2 rette r 1 e r 2 non parallele ed incidenti nel punto O, si fissi su ciascuna: 1)Un verso positivo di percorrenza 2)Una unità di misura Si ottiene così un sistema di riferimento cartesiano Ortogonale / obliquo Monometrico / dimetrico 49

50 COORDINATE CARTESIANE NEL PIANO Si dimostra che ad ogni punto P del piano si può associare una coppia ordinata P=(x,y) I (+, +) II (-, +) III (-, -) IV (+, -) 50

51 ESEMPIO 2 1 P=(2,1) P=(-2,-1) -2 3 P=(-2,3) P=(2,-2)-2 51

52 GEOMETRIA ANALITICA: LA RETTA Si consideri il seguente grafico: I punti sulla retta hanno coordinate: 52

53 GEOMETRIA ANALITICA: LA RETTA Dalla similitudine dei due triangoli ACB e ARP si ha (geometricamente): Sostituendo ai lati dei triangoli le misure algebriche si ha: 53

54 GEOMETRIA ANALITICA: LA RETTA Ponendo: Si ottiene lequazione della retta in forma implicita (o generale): 54

55 55

56 56 LE CONICHE

57 57

58 LA CIRCONFERENZA Lequazione della circonferenza di centro e raggio r è data da: Dove i coefficienti sono dati da: Se C=O lequazione assume lespressione: 58

59 GRAFICO DELLA CIRCONFERENZA 59

60 LELLISSE Lequazione dellellisse con fuochi e gli assi lunghi a e b è espressa da: dove a > c e dove 60

61 GRAFICO DELLELLISSE 61

62 LIPERBOLE Lequazione delliperbole con fuochi e gli assi lunghi a e b è espressa da: dove a < c e dove 62

63 GRAFICO DELLIPERBOLE 63 x y

64 IPERBOLE EQUILATERA Se a=b lequazione liperbole viene denominata equilatera e la sua equazione è: Se si ruota il grafico di 45° in senso antiorario in modo che i fuochi stiano sulla bisettrice del primo e terzo quadrante si ha: ovvero 64

65 GRAFICO DELLIPERBOLE EQUILATERA 65

66 LA PARABOLA Lequazione della parabola con il vertice nellorigine, il fuoco di coordinate (0, c) con c>0 e la direttrice di equazione y=-c è espressa da: Se il vertice non coincide con lorigine degli assi e la direttrice è sempre parallela allasse x lequazione assume la forma: 66

67 GRAFICO DELLA PARABOLA 67

68 ANGOLO Prendiamo due semirette a e b aventi la stessa origine, il piano resta diviso in due parti, ciascuna delle quali viene detta angolo. 68

69 ANGOLO ORIENTATO Verso positivo di rotazione antiorario + a b - a b 69

70 ARCO La parte di circonferenza compresa tra i lati dellangolo. A B 70 O

71 SISTEMI DI MISURA DI ANGOLI SESSAGESIMALE: grado sessagesimale = la 360 a parte dellangolo giro. RADIANTE 71

72 RADIANTE Langolo al centro che insiste su un arco che rettificato ha lunghezza pari al raggio. 72

73 Misura in radianti di un angolo È uguale alla misura dellarco diviso il raggio: Angolo giro = 2 r / r = 2 Angolo piatto = r / r = Angolo retto = 73

74 Misura in radianti di un angolo 0 /4 /4) /2 74

75 Misura in radianti di un angolo 0 /6 /2 75

76 Misura in radianti di un angolo Per passare dal sistema sessagesimale a quello radiante: 360 : 2 = s : r Ex: 360 : 2 = : r r = 76

77 Le funzioni trigonometriche: seno e coseno A y P HO x r 77

78 La funzione:Tangente trigonometrica A y P HO r T 78

79 f(x) = sin (x) A=(1,0) y x /2 /2) 2 x y - /2 /2 /2) 1 79 P HO0

80 Funzione seno Dominio R Codominio [-1, 1] Periodica di periodo 2 80

81 y = cos (x) x y - /2 /2 /2) x /2 /2) A=(1,0) y x 2 81 P H O 0

82 Funzione coseno Dominio R Codominio [-1, 1] Periodica di periodo 2 82

83 y = tan (x) x y - /2 /2 /2) A yT /2 /2) 2 O 0 83 P H

84 Funzione tangente Dominio = R \ /2 + k k Z Codominio = R Periodica di periodo 84

85 Relazione tra seno e coseno sin 2 (x) + cos 2 (x) = 1 85

86 Relazione tra seno e coseno Esempi: cos (x) = ½ x [0, /2] 86

87 Relazione tra seno, coseno e tangente sin 2 (x) + cos 2 (x) = 1 87

88 Valori in archi particolari : /6 88

89 Valori in archi particolari: /3 89

90 Valori in archi particolari: /4 90

91 COORDINATE POLARI P ha coordinate cartesiane (1, 1) Le coordinate polari di P sono: Nellesempio: 91

92 COORDINATE POLARI Esiste la seguente relazione tra le coordinate polari e cartesiane di un punto: si osservi che: 92

93 COORDINATE POLARI E NUMERI COMPLESSI Un numero complesso può essere rappresentato geometricamente dal punto, nel piano cartesiano, che ha come ascissa la parte reale e come ordinata il coefficiente reale dellunità immaginaria. 93

94 COORDINATE POLARI E NUMERI COMPLESSI Usando il legame tra coordinate cartesiane e polari si ha: 94

95 COORDINATE POLARI E NUMERI COMPLESSI Dato il numero complesso z: e il numero complesso v : Il prodotto tra z e v è: 95

96 COORDINATE POLARI E NUMERI COMPLESSI In particolare se z=v si ottiene: e in generale: detta Formula di De Moivre. 96

97 CALCOLO LETTERALE Perché? È opportuno rappresentare i numeri con lettere dellalfabeto per fare affermazioni che valgono indipendentemente dal valore dei numeri. 97

98 POTENZE Dato un numero reale a ed un numero naturale n, si dice potenza n-esima di a a n = a a … a n volte Esempio: 3 2 = 3 3 (-2) 2 = (-2) (-2) = 4 (-2) 3 = (-2) (-2) (-2) = -8 98

99 PROPRIETA DELLE POTENZE Dati a, b R, m, n N a n + m = a n a m, a -n = 1 / a n a n - m = a n : a m,n m, se n = m, a 0 (a:b) n = a n : b n,b 0 (ab) n = a n b n, (a n ) m = a n m, a 0 = 1, 99

100 ESERCIZI = : 3 3 = 3 1 ((2) 3 ) 2 = (2) 6 (5 2) 2 : 5 0 = (5) 2 (2) 2 (8) 0 = = 1 / 3 4 (- 2) 2 (-2) 3 =

101 RADICALI Si dice radice n-sima (n N) del numero reale a il numero b tale che b n = a. Si scrive: La radice ennesima (n N) della potenza a m si scrive: 101

102 PROPRIETA DEI RADICALI 102

103 ESERCIZI 103

104 ADDIZIONE SOTTRAZIONE PRODOTTO PRODOTTI NOTEVOLI = Prodotti di particolari polinomi per i quali è possibile stabilire il risultato con pochi calcoli DIVISIONE OPERAZIONI TRA POLINOMI 104

105 DIFFERENZE DI QUADRATI (x + y) (x - y) = (x 2 - y 2 ) Esempi: (2x + y) (2x - y) = (4x 2 – y 2 ) (2ab 3 + c) (2ab 3 - c) = (4a 2 b 6 – c 2 ) (9x 2 y 2 – 4a 2 b 2 ) = (3xy + 2ab) (3xy - 2ab) (x-3) 4 – 81 = [(x –3) 2 –9] [(x –3) 2 +9] = [(x –3) –3] [(x –3) +3] [(x –3) 2 +9] 105

106 QUADRATO DI UN BINOMIO (x + y) 2 = x 2 + 2xy + y 2 (x - y) 2 = x 2 - 2xy + y 2 Esempi: (a – 3b) 2 = a 2 – 6ab +9b 2 (a + 2b) 2 = a 2 + 4ab +4b 2 ((3/2)a + b 2 ) 2 = (9/4)a 2 + 3ab 2 + b 4 106

107 CUBO DI UN BINOMIO (x + y) 3 = x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3 (x - y) 3 = x 3 - 3x 2 y + 3xy 2 - y 3 Esempi: (2x - y) 3 = 8x x 2 y + 6xy 2 - y 3 (3x + y) 3 = 27x x 2 y + 9xy 2 + y 3 (x 3 - 5y) 3 = x x 6 y + 75x 3 y y 3 107

108 SOMMA E DIFFERENZA DI CUBI (x 3 + y 3 )= (x + y) (x 2 - xy + y 2 ) (x 3 - y 3 )= (x - y) (x 2 + xy + y 2 ) Esempi: (8x 3 + y 3 )= (2x + y) (4x 2 - 2xy + y 2 ) (27x 3 - 8y 3 )= (3x - 2y) (9x 2 + 6xy + 4y 2 ) (x - 2) 3 + y 6 = [(x - 2) + y 2 )] [(x - 2) 2 - (x - 2) y 2 + y 4 )] 108

109 SCOMPOSIZIONE IN FATTORI Mediante luso dei prodotti notevoli Raccoglimenti a fattore comune: Esempio: 6ab + 2a 3 c - 8ab = 2a (3b + a 2 c – 4b) Raccoglimenti parziali successivi: Esempio: 9a 2 b 3 - 3a 3 b 2 + 6bc - 2ac = 3a 2 b 2 (3b-a) + 2c (3b - a) = (3b - a) (3a 2 b 2 +2c) 109

110 DIVISIONE TRA POLINOMI Prenderemo in considerazione solo polinomi in una variabile Siano P 1 e P 2 polinomi ordinabili rispetto alla potenza di una data lettera, con il grado di P 1 maggiore o uguale al grado di P 2. Esistono allora due polinomi Q ed R tali che: P 1 = Q P 2 + R dove Q è il polinomio quoziente ed R è il resto. 110

111 ESEMPIO 2x x 4 – 3 x x 2 + x + 1 x 3 – x x 5 – 2 x x 2 2 x 4 – 3 x x 2 + x x 4 – 2 x 3 +2 x – x x 2 - x + 1 – x 3 + x x 2 +2 x - 3 x 2 - x + 2 (2x 5 – 3 x 3 + x + 1) : ( x 3 – x 2 +1) 111

112 ESEMPIO (2x 5 – 3 x 3 + x + 1) = (2 x 2 +2 x – 1) (x 3 – x 2 +1) + (- 3 x 2 - x + 2) P 1 = Q P 2 + R dove Q è il polinomio quoziente ed R è il resto. N.B.P 1 è divisibile per P 2 se il resto è uguale a zero. 112

113 ESEMPIO: (20 x 4 – 14 x x - 32) : (4x 2 + 2x - 4) 20 x x x 2 – 24 x x x x 2 -6x+ 8 – 24 x x x 32 x x - 32 \\ \\\\ 20 x 4 – 14 x x x x 2 + 2x

114 REGOLA DI RUFFINI Divisione di un polinomio per un binomio Sia P 1 (x) un polinomio di grado n e P 2 (x) un binomio del tipo (x ± a) con a reale, il quoziente è un polinomio di grado n – 1 ed il resto è di grado zero. P 1 (x)= (x±a) P 2 (x)+ R 114

115 REGOLA DI RUFFINI Coefficienti P 1 (x) ±a±a Coefficienti e termine noto P 2 (x) Termine noto P 1 (x) Resto 115

116 ESEMPIO (x 2 - 1) : (x + 2) x = (x + 2) (x –2)

117 REGOLA DEL RESTO Il resto della divisione di un polinomio P 1 (x) per un binomio del tipo (x + a) è il valore che P 1 assume per x = - a R= P 1 (-a) Esempio: (x 2 - 1) : (x + 2) P 1 (-2) = 3 117

118 OSSERVAZIONE Se P 1 è divisibile per (x ± a/b) allora a è un divisore del termine noto di P 1 e b è un divisore del termine di grado massimo di P 1. Nellesempio precedente:P 1 (x)=(x 2 - 1) si verifica con i divisori del termine noto: +1 e –1: P 1 (+1) = 0 quindi P 1 è divisibile per (x - 1) P 1 (-1) = 0 quindi P 1 è divisibile per (x + 1) 118

119 ESEMPIO x x 2 - 7x – 6 = (x -2) (x 2 +5x+3) P 1 (x) = x x 2 - 7x – 6 P 1 (±1) 0 P 1 (2) =

120 EQUAZIONI Prendiamo in considerazione le funzioni reali in una variabile reale Una equazione è una uguaglianza tra due funzioni eventualmente verificata per particolari valori attribuiti alla variabile f(x) = g(x) La variabile è detta incognita dellequazione 120

121 SOLUZIONI I particolari valori di x per cui questa è verificata sono detti soluzioni dellequazione Le soluzioni vanno cercate nellintersezione dei domini delle due funzioni. Una equazione che ammette come soluzione ogni valore di x per il quale le due espressioni non perdono di significato si dice equazione indeterminata o identità in x. Una equazione per la quale non esistono soluzioni si dice equazione impossibile Equazione possibile quando esiste un numero finito di valori di x che la soddisfano 121

122 EQUAZIONI DI PRIMO GRADO Si dice equazione (algebrica) di primo grado nell'incognita x ogni equazione del tipo: a x + b = 0con a, b coefficienti numerici, a 0. Per cercare la soluzione si isola il termine che contiene lincognita e si divide per il coefficiente di x: ax=-b(ax)/a=-b/a da cui il valore dellincognita che risolve lequazione è: x = - b / a Esempio: 2x - 3 = 0 2x = 3 x = 3 / 2 122

123 EQUAZIONI DI 2 o GRADO Si dice equazione (algebrica) di secondo grado nell'incognita x ogni equazione del tipo: a x 2 + b x + c = 0 con a, b, c coefficienti numerici e a 0. SPURIA: a x 2 + b x = 0 x(a x + b) = 0 x = 0 x = - b / a PURA: a x 2 + c = 0 123

124 COMPLETA a x 2 + b x + c = 0 > 02 soluzioni reali e diverse = 02 soluzioni reali e coincidenti nessuna soluzione in R (le 2 soluzioni appartengono allinsieme dei numeri complessi) 124

125 ESEMPI 2 x x + 3 = 0 = 49 – 24 > 0 x 1 =1/2 x 2 =3 125

126 ESEMPI 25x x +1 = 0 = 25 – 25 = 0 x x + 8 = 0 = 9 – 32 < 0 non ha soluzioni in R. 126

127 RELAZIONE TRA I COEFFICIENTI E LE SOLUZIONI a x 2 + b x + c = 0 127

128 ESERCIZI Determinare i due numeri la cui somma sia s = - 4 ed il cui prodotto sia p = - 5: assumendo a = 1 si ottiene x x - 5 = 0 x 1 = 1 x 2 = -5 Determinare a meno di un coefficiente di proporzionalità lequazione di 2 o grado le cui soluzioni hanno per somma e prodotto i valori s= -3/10 p = -1/10 x 2 + (3/10) x - 1/10 = 0 128

129 FATTORIZZAZIONE a x 2 + b x + c = 0 > 0a · (x - x 1 ) · (x - x 2 ) 2) = 0 a · (x - x 1 ) 2 non è possibile in R 129

130 IL SEGNO DEL TRINOMIO 130

131 IL SEGNO DEL TRINOMIO 131

132 IL SEGNO DEL TRINOMIO 132

133 IL SEGNO DEL TRINOMIO 133

134 DISEQUAZIONI Si dice disequazione una disuguaglianza tra due funzioni eventualmente verificata per particolari valori attribuiti alla variabile che vi compare: f(x) g(x) 134

135 SOLUZIONI Le soluzioni vanno cercate nellinsieme: I = D(f) D(g) Possibile: un sottoinsieme di valori dellinsieme I verifica la disequazione(ex: x < 1) Identicamente verificata: tutti i valori dellinsieme I verificano la disequazione (ex: x 2 +1 > 0) Impossibile: nessun valore dellinsieme I verifica la disequazione(ex: x < 0) 135

136 ESEMPIO -2x > 24 x <

137 INTERVALLI DELLA RETTA Siano a e b due numeri reali (che possono essere interpretati come coordinate ascisse sulla retta reale) e si supponga a < b. Si possono definire i seguenti intervalli reali di estremi a e b: [ a, b ] ={x R: a x b}chiuso ] a, b ] ={x R: a < x b}=( a,b] chiuso a destra [ a, b [ ={x R: a x < b}=[a,b) chiuso a sinistra ] a, b [ = {x R: a < x < b} = ( a, b ) aperto 137

138 INTERVALLI DELLA RETTA ] -, b ] = {x R: x b} = ( -, b ] ] -, b [ = {x R: x < b} = ( -, b ) [ a, + [ = {x R: x a} = [ a, + ) ] a, + [ = {x R: x > a} = ( a, + ) 138

139 DISEQUAZIONI DI PRIMO GRADO a x+b >0 con a e b numeri reali e a 0. Per ottenere le soluzioni reali (esistono sempre!), Si isola il termine che contiene lincognita x : ax>-b Si dividono entrambi i membri per il coefficiente a x>-b/a se a>0 x<-b/a se a<0 139

140 DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO a x 2 + b x + c > 0 a, b, c reali, a 0 Per risolvere una qualunque disequazione algebrica di secondo grado basta applicare il teorema sul segno del trinomio di secondo grado. 140

141 ESEMPIO 4 x x + 9 > 0 = = 0 S = x R \ {-3/2} 141

142 ESEMPIO 3 x x – 2 < 0 = = 49 > 0 x 1 = -2x 2 = 1/3 S = {x R: -2 < x < 1/3} 142

143 ESEMPIO 3 x x – 2 > 0 = = 49 > 0 x 1 = -2x 2 = 1/3 S = {x R: x 1/3} 143

144 ESEMPIO 3 x 2 - x + 2 < 0 = 1 – 24 < 0 S={ } 144

145 DISEQUAZIONI FRATTE I = D(f) D(g) {x R: g(x) 0} 1)Studio segno numeratore 2)Studio segno denominatore 3)Uso regola segni 4)Determinazione dellinsieme nel quale la disequazione è verificata 145

146 ESEMPIO (x - 4) + -- (x + 3) (x - 4)/(x+3)

147 Continuazione ESEMPIO S = {x R: x 4} N.B. I = {x R: x 3} 147

148 SISTEMI DI DISEQUAZIONI Insieme di due o più disequazioni di cui si vogliono determinare le soluzioni comuni. La soluzione si ottiene trovando linsieme intersezione degli insiemi che risolvono ciascuna disequazione: S = S 1 S 2 … S n se S = { } allora il sistema è impossibile 148

149 ESEMPIO S = x {x R: (-½) < x 3} -1/23 (x – 3) (2x + 1) 149

150 FUNZIONE ESPONENZIALE Si chiama funzione esponenziale in base a, a R + \ {1}, la funzione f : R R + : f(x)=a x N.B. per a = 1 avremmo il caso banale f(x)=1 x y x 1

151 CASO a > 1 f(x)=e x y x xy -11/e 1e1e /e 2 2e22e /e -2 1/e 2 1 e 2 e2e2

152 CASO a > 1 confronto tra basi diverse y x-212 y = e x y = 2 x xy -11/ / y = 2 x

153 CASO a > 1 Dominio R Codominio R + Passa per (0,1) Monotona crescente Se la base aumenta è più ripida

154 CASO a < 1 f(x)=(1/e) x y x -1e 11/e e 2 21/e 2 xy -2 e2e2 e /e 2 1/e 2

155 CASO a < 1 confronto tra basi diverse y x xy / /2 2 y = (1/e) x y = (1/2) x -212

156 CASO a < 1 Dominio R Codominio R + Passa per (0,1) Monotona decrescente Se la base aumenta è meno ripida

157 LOGARITMI Siano a un numero reale positivo, a 1, e b un numero reale positivo allora esiste un numero reale c tale che: a c = b Tale numero c si dice logaritmo in base a di b e si indica con il simbolo: c=log a b NB

158 ESEMPI log 2 8 = 3 log 2 2 = 1 log 5 1 = 0 log (1 /3) 3 = -1 log 3 81 = 4 log = 4 log 2 (1/4) = - 2

159 Esercizi Determinare la base: log x 7 = -1 x = 1/7 log x 49 = 2 x = 7 log x (1/1000) = -3 x = 10 log x (4 1/3 ) = -2/3 x = ½

160 BASI DEL LOGARITMO Le due basi più usate sono la base 10 e la base e (dove e è il numero di Eulero, e = 2,7182….) Per indicare il logaritmo in base 10 si usa il simbolo Log Per indicare il logaritmo in base e si usa il simbolo ln (logaritmo neperiano).

161 FORMULA PER IL CAMBIAMENTO DI BASE Supponiamo di voler passare dalla base a alla base d, a,d R + \ {1} c R +

162 ESEMPI

163 PROPRIETA DEI LOGARITMI PROPRIETA DEL PRODOTTO PROPRIETA DEL QUOZIENTE PROPRIETA DELLA POTENZA

164 PROPRIETA DEL PRODOTTO: Il logaritmo del prodotto è uguale alla somma dei logaritmi: log a (x 1 · x 2 )= log a x 1 + log a x 2 a R + \ {1} x 1, x 2 R + Esempio: log a (3 · 4 )= log a 3 + log a 4

165 PROPRIETA DEL QUOZIENTE: Il logaritmo del quoziente è uguale alla differenza dei logaritmi del dividendo e del divisore: log a (x 1 : x 2 )= log a x 1 - log a x 2 a R + \ {1} x 1, x 2 R + Esempio: log a (8 : 3 )= log a 8 - log a 3

166 PROPRIETA DELLA POTENZA: Il logaritmo di una potenza è uguale al prodotto dellesponente per il logaritmo della base: log a (x = log a x a R + \ {1} x R + R Esempio: log a (2 = log a 2

167 ESERCIZIO 1+3 Log (a) + ½ [Log (a+b) - Log (b)] + 1/9 [Log (a) - Log (a+b)] = Log (10) +Log (a 3 ) + [Log (a+b) ½ - Log (b) ½ ] + [Log (a) 1/9 - Log (a+b) 1/9 ] = Log{10 · a 3 · [(a+b) ½ : (b) ½ ] · [(a) 1/9 : (a+b) 1/9 ]}

168 FUNZIONE LOGARITMICA Si chiama funzione logaritmica in base a, a R + \{1}, la funzione f : R + R: f(x)=log a x x > 0 E la funzione inversa della funzione esponenziale: x = a y y = log a x Il log a x è lesponente che dobbiamo dare ad a per ottenere x

169 Caso a > 1 y=ln(x) xy 1/e-1 e22e e1e1 1/e 1 e 2 e2e2 1 0 y x

170 Caso a > 1 confronto tra basi diverse 1 2 1/e e e2e2 y = log 2 x y = lnx

171 Caso a > 1 Dominio R + Codominio R Passa per (1,0) Monotona crescente Se la base aumenta è meno ripida

172 Caso a < 1 y=log (1/e) x y x 1 1/e e xy 1/e e-1 1 0

173 Caso a < 1 confronto tra basi diverse y x 1 1/e e y = log (1/e) (x) y = log (1/2) (x)

174 Caso a < 1 Dominio R + Codominio R Passa per (1,0) Monotona decrescente Se la base aumenta è più ripida

175 LE PERCENTUALI Il simbolo % di percentuale si ottiene dal rapporto di due valori e indica lincidenza della variabile a numeratore sulla variabile a denominatore. Ad esempio il rapporto tra il numero di ragazze presenti in una classe e il numero di studenti della classe esprime la quota di femmine sul totale degli studenti. 175

176 LE PERCENTUALI I costi totali di unimpresa sono passati da a I ricavi totali (negli stessi 2 anni) sono aumentati passando da a Calcolare la variazione percentuale dei costi e dei ricavi. Calcolare lincidenza percentuale dei costi sui ricavi nei 2 anni. 176

177 LE PERCENTUALI La variazione percentuale dei costi è data dal rapporto tra la variazione dei costi e il costo iniziale: ( )/ =33,33% La variazione percentuale dei ricavi è data dal rapporto tra la variazione dei ricavi e il ricavo del primo anno: ( )/ =60% 177

178 LE PERCENTUALI Lincidenza dei costi sui ricavi in ciascuno dei due anni è rappresentata dal rapporto delle due quantità: / =0,30 =30% / =0,25=25% Lincidenza dei costi sui ricavi nei due anni: ( )/( )=0,269=26,9% che non è la media aritmetica (=27,5%) tra 30% e 25%!!!!!!!!!!! 178

179 LE PERCENTUALI GLI SCONTI SUCCESSIVI Sul prezzo iniziale di un bene vengono applicati due sconti consecutivi: e ; ovvero: uno sconto del 10% sul prezzo iniziale e uno sconto del 20% sul prezzo già scontato del 10%. Si vuole determinare lo sconto complessivo. 179

180 LE PERCENTUALI Il prezzo dopo il primo sconto è dato da: Il secondo sconto si applica a 90 per cui il prezzo finale diventa: Lo sconto complessivo è dunque pari a 28% 180

181 LE PERCENTUALI Lo sconto complessivo può essere calcolato per esteso nel seguente modo: Sconto% 181

182 LE PERCENTUALI Nel caso degli sconti successivi lo sconto complessivo S, espresso come valore percentuale, sul prezzo iniziale può essere ricavato dalla formula seguente: 182


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