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La fattorizzazione dei polinomi Cosè la fattorizzazione 1 Fattorizzare o scomporre un polinomio significa poterlo vedere come prodotto di due o più polinomi;

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Presentazione sul tema: "La fattorizzazione dei polinomi Cosè la fattorizzazione 1 Fattorizzare o scomporre un polinomio significa poterlo vedere come prodotto di due o più polinomi;"— Transcript della presentazione:

1 La fattorizzazione dei polinomi Cosè la fattorizzazione 1 Fattorizzare o scomporre un polinomio significa poterlo vedere come prodotto di due o più polinomi; se poi ciascun polinomio di tale prodotto non è ulteriormente fattorizzabile, allora la scomposizione è in fattori primi. Metodi di scomposizione i raccoglimenti a fattor comune parziale o totale il riconoscimento di prodotti notevoli Un polinomio è riducibile se è possibile scomporlo nel prodotto di altri polinomi, tutti di grado inferiore a quello dato. Si dice irriducibile in caso contrario. la regola del trinomio caratteristico lindividuazione dei divisori della forma x – a I metodi per eseguire la scomposizione si basano sui seguenti criteri:

2 La fattorizzazione dei polinomi Raccoglimenti 2 RACCOGLIMENTO TOTALE A FATTOR COMUNE 5mn – 10mn m 2 n = 5 m n – 2 5 m n n m m n = = 5mn(1 – 2n + 3m) Si individua il M.C.D. fra i termini del polinomio Si scrive il polinomio come prodotto fra il fattore comune per il polinomio che si ottiene dividendo ciascuno dei suoi monomi per il M.C.D. calcolato. ESEMPIO

3 La fattorizzazione dei polinomi ESEMPIO Raccoglimenti 3 RACCOGLIMENTO PARZIALE A FATTOR COMUNE Si applica nel caso in cui sia possibile effettuare raccoglimenti parziali tra gruppi di termini, in modo tale che poi sia possibile effettuare un raccoglimento totale. 2ay + 2by + ax + bx = 2y(a + b) + x(a + b) = raccoglimento parziale (a + b) (2y + x) raccoglimento totale

4 La fattorizzazione dei polinomi ESEMPI Riconoscimento dei prodotti notevoli 4 TRINOMIO SCOMPONIBILE NEL QUADRATO DI BINOMIO a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 a 2 + 8a + 16 = (a)2(a)2 a 2 2ab + b 2 = (a b) 2 = (b – a) 2 (4) 2 2 a 4 1. (a + 4) 2

5 La fattorizzazione dei polinomi ESEMPI Riconoscimento dei prodotti notevoli 5 9x 2 – 12xy + 4y 2 (3x) 2 (2y) 2 2 3x 2y 4a 2 – 6xy + 9x 2 (2a) 2 (3x) 2 2a 3x ESEMPI non è lo sviluppo di un quadrato = (3x – 2y) 2 = (2y – 3x) 2

6 La fattorizzazione dei polinomi ESEMPI Riconoscimento dei prodotti notevoli 6 POLINOMIO SCOMPONIBILE NEL QUADRATO DI UN TRINOMIO a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc= (a + b + c) 2 a 2 + 2ab + b 2 + 4a + 4b + 4 (a)2(a)2 (b)2(b)2 2 a b2 a 2 2 b 2 (2) 2 = (a + b + 2) 2 1.

7 La fattorizzazione dei polinomi ESEMPI Riconoscimento dei prodotti notevoli 7 x 2 – 4x 2 y 3 + 6x 2 + 4y 6 – 12y (x) 2 = (x) 2 2 (x) 2 (2y 3 ) = 2 (x) 2 (2y 3 ) (2y 3 ) 2 = (2y 3 ) 2 2 (x) (3) = 2(x)(3) 2 (2y 3 )(3) = 2 (2y 3 )(3) 2. = (x – 2y 3 + 3) 2 = ( x +2y 3 – 3) 2 (3) 2 = (3) 2

8 La fattorizzazione dei polinomi ESEMPIO 1. Riconoscimento dei prodotti notevoli 8 DIFFERENZA DI QUADRATI a 2 b 2 = (a + b) (a – b) 9x 2 y 2 (3x) 2 9z 2 (z + 5) 2 (3z) 2 (z + 5) 2 ESEMPIO 2. = (3x + y) (3x – y) (y)2(y)2 = (3z + z +5) (3z – z – 5) = = (4z + 5) (2z – 5) = = [3z + (z + 5)] [3z – (z + 5)] =

9 La fattorizzazione dei polinomi ESEMPIO 1. Riconoscimento dei prodotti notevoli 9 QUADRINOMIO SCOMPONIBILE NEL CUBO DI UN BINOMIO a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = (a + b) 3 a 3 3a 2 b + 3ab 2 b 3 = (a b) 3 x 3 + 6x 2 y + 12xy 2 + 8y 3 (x)3(x)3 3 (x) 2 (2y) 3 x (2y) 2 (2y) 3 = (x + 2y) 3

10 La fattorizzazione dei polinomi ESEMPIO 2. Riconoscimento dei prodotti notevoli 10 a 6 9a 4 b + 27a 2 b 2 27b 3 (a2)3(a2)3 3(a 2 ) 2 (3b) 3(a 2 ) (3b) 2 (3b) 3 = (a 2 3b) 3

11 La fattorizzazione dei polinomi ESEMPIO Trinomio caratteristico 11 Forma del trinomio caratteristico: x 2 + (a + b)x + ab Procedura di scomposizione si scrive il polinomio per esteso eseguendo la moltiplicazione indicata: x 2 + ax + bx + ab Si effettua un raccoglimento parziale fra i primi due e i secondi due monomi: x(x + a) + b(x + a) Si esegue un raccoglimento totale: (x + a) (x + b) Regola di scomposizione: x 2 + (a + b)x + ab = (x +a) (x + b) x 2 + 5x + 6 = x 2 + (2 + 3)x = (x + 2) (x + 3)

12 La fattorizzazione dei polinomi ESEMPIO Ricerca dei divisori di un polinomio 12 Quando la scomposizione di un polinomio P non può essere effettuata con uno dei metodi precedenti si cerca di individuare dei divisori del polinomio della forma (x – a). Applicando il teorema di Ruffini si cercano i valori di a per i quali P(a) = 0. Se il coefficiente di grado massimo di P è uguale a 1, i valori di a, se esistono, vanno ricercati fra i divisori del termine noto di P(x). x 3 + 4x 2 + x 6 Possibili valori di a : ± 1, ± 2, ± 3, ± 6

13 La fattorizzazione dei polinomi Ricerca dei divisori di un polinomio 13 Se il coefficiente del termine di grado massimo di P è diverso da 1, i valori di a, se esistono, vanno ricercati fra i divisori del termine noto di P(x) e fra le frazioni che hanno al numeratore i divisori del termine noto e al denominatore i divisori del coefficiente del termine di grado massimo. 2x 3 + 3x x + 6 Possibili valori di a : ± 1, ± 2, ± 3, ± 6, ±, ± Divisori di 6: ± 1, ± 2, ± 3, ±6 Divisori di 2: ± 1, ± 2 ESEMPIO

14 La fattorizzazione dei polinomi Scomposizione con Ruffini 14 P(x) = 2x 3 + 9x 2 + 7x – 6 Calcolo di P(a) : P(1) = – 6 0 P(1) = – 6 0 P(2) = – 6 = 0 ESEMPIO continua Possibili valori di a : ± 1, ± 2, ± 3, ± 6, ±, ±

15 La fattorizzazione dei polinomi Scomposizione con Ruffini 15 Divisione con la regola di Ruffini a scomposizione di P(x) : (x + 2) (2x 2 + 5x –3) Scomponiamo Q(x) = 2x 2 + 5x – 3 seguendo i passi precedenti: Possibili valori di a : ± 1, ± 3, ± 3 2 Q(3) = – 3 0 Q(3) = – 3 = 0 continua Inutile provare per ± 1 in quanto P(± 1) 0

16 La fattorizzazione dei polinomi Scomposizione con Ruffini 16 Regola di Ruffini scomposizione: (x + 3) (2x – 1) Quindi: 2x 3 + 9x 2 + 7x – 6 = (x + 2) (x + 3) (2x – 1)

17 La fattorizzazione dei polinomi Somma e differenza di cubi 17 Applicando il teorema di Ruffini si ottiene: ESEMPIO 8y = (2y + 1) (4y 2 2y + 1) x 3 + a 3 = (x + a) (x 2 – ax + a 2 ) x 3 a 3 = (x a) (x 2 + ax + a 2 ) somma delle basi differenza delle basi quadrato della prima base quadrato della seconda base prodotto cambiato di segno delle due basi x 3 – 27 = (x – 3) (x 2 +3x + 9)

18 La fattorizzazione dei polinomi Somme e differenze di potenze 18 Ricorda che: Qualunque differenza di potenze pari può essere interpretata come differenza di quadrati. ESEMPI x 4 – 1 = (x 2 ) 2 – (1) 2 = (x 2 – 1) (x 2 + 1) = (x – 1) (x + 1) (x 2 + 1) x 6 1 = (x 3 – 1) (x 3 + 1) = (x – 1) (x 2 + x + 1) (x +1) (x 2 – x + 1) x = (x 2 ) = (x 2 + 1) (x 4 x 2 + 1) somma di cubi differenza di cubi somma di cubi Le somme di potenze con esponenti multipli di 3 possono essere scomposte come somme di cubi. ESEMPIO

19 La fattorizzazione dei polinomi Sintesi 19 Nella pratica, per scomporre un polinomio conviene tenere presenti le seguenti considerazioni: controllare se è possibile eseguire un raccoglimento totale o parziale riferirsi a regole particolari guardando il numero dei termini del polinomio; se è un: binomio somma di quadrati x 2 + a 2 irriducibile differenza di quadratix 2 – a 2 = (x – a) (x + a) somma di cubi x 3 + a 3 = (x + a) (x 2 ax + a 2 ) differenza di cubi x 3 – a 3 = (x a) (x 2 + ax + a 2 ) trinomio trinomio caratteristico x 2 + (a + b)x + ab = (x + a) (x + b) quadrato di un trinomioa 2 ± 2ab + b 2 = (a ± b) 2 quadrinomio differenza di due quadrati a 2 + 2ab + b 2 – x 2 = (a + b) 2 – x 2 = (a + b + x) (a + b x) cubo di un binomioa 2 ± 3a 2 b +3ab 2 ± b 3 = (a ± b) 3 polinomio di sei terminiquadrato di un trinomioa 2 + 4b ab 6a – 12b = (a + 2b – 3) 2 a 2 + 2a + 1 – x 2 + 2xy y 2 = (a + 1) 2 (x – y) 2 = = (a x – y) (a + 1 – x + y) differenza dei quadrati di due binomi cercare i divisori della forma x – a con il teorema di Ruffini.

20 La fattorizzazione dei polinomi M.C.D. e m.c.m. tra polinomi 20 Per determinare il M.C.D. fra due o più polinomi: si scompongono i polinomi in fattori, si scrive il prodotto dei soli fattori comuni con lesponente più piccolo con cui compaiono. Per determinare il m.c.m. fra due o più polinomi: si scompongono i polinomi in fattori, si scrive il prodotto dei fattori comuni e non comuni con lesponente più grande con cui compaiono. Seguono esempi

21 La fattorizzazione dei polinomi M.C.D. e m.c.m. tra polinomi 21 ESEMPIO 8x xy + 8y 2 4x 4 – 4x 2 y 2 12x xy Dati i seguenti polinomi, calcoliamo M.C.D. e m.c.m.: Scomponiamo in fattori i tre polinomi: 8x xy + 8y 2 = 8(x 2 + 2xy + y 2 ) = 8(x + y) 2 4x 4 – 4x 2 y 2 = 4x 2 (x 2 – y 2 ) = 4x 2 (x – y) (x + y) 12x xy = 12x(x + y) M.C.D. = 4(x + y) m.c.m. = 24x 2 (x + y) 2 (x – y)


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