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1 Mat_Insieme PPPP rrrr oooo dddd oooo tttt tttt iiii N N N N oooo tttt eeee vvvv oooo llll iiii TTTT aaaa bbbb eeee llll llll aaaa d d d d iiii S S S.

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Presentazione sul tema: "1 Mat_Insieme PPPP rrrr oooo dddd oooo tttt tttt iiii N N N N oooo tttt eeee vvvv oooo llll iiii TTTT aaaa bbbb eeee llll llll aaaa d d d d iiii S S S."— Transcript della presentazione:

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2 1 Mat_Insieme PPPP rrrr oooo dddd oooo tttt tttt iiii N N N N oooo tttt eeee vvvv oooo llll iiii TTTT aaaa bbbb eeee llll llll aaaa d d d d iiii S S S S cccc oooo mmmm pppp oooo ssss iiii zzzz iiii oooo nnnn iiii TTTT eeee ssss tttt S S S S cccc oooo mmmm pppp oooo ssss iiii zzzz iiii oooo nnnn iiii Lavoro di Gruppo S. AQUINO IPSIA PITTONI

3 2 I Prodotti Notevoli Quadrato di binomio Cubo di binomio Quadrato di polinomio Potenza n-esima di binomio Somma per differenza Altri prodotti notevoli S. AQUINO IPSIA PITTONI

4 3 Quadrato di un Binomio Cerchiamo la regola La regola Il significato geometrico Esempi Esercizi proposti S. AQUINO IPSIA PITTONI

5 4 Quadrato di binomio: significato algebrico (a+b) 2 = (a+b) (a+b) = = a 2 +ab+ab+b 2 = = a 2 +2ab+b 2 S. AQUINO IPSIA PITTONI

6 5 Quadrato di binomio: la regola ( a + b ) 2 = a 2 + 2ab + b 2 Il quadrato di un binomio è un trinomio avente per termini: il quadrato del 1° monomio il doppio prodotto del 1° monomio per il 2° il quadrato del 2° monomio S. AQUINO IPSIA PITTONI

7 6 Quadrato di binomio: significato geometrico ab (a + b) (a + b) 2 a2a2 b2b2 abab abab (a + b) 2 = a ab + b 2 S. AQUINO IPSIA PITTONI

8 7 Quadrato di binomio: esempi (2a+b) 2 = (2a) 2 +2(2a)(+b)+(+b) 2 = 4a 2 + 4ab + b 2 (2a - b) 2 = (2a) 2 +2(2a)(-b)+(-b) 2 = 4a 2 - 4ab + b 2 (3a+2b) 2 = (3a) 2 +2(3a)(+2b) +(+2b) 2 = 9a 2 +12ab +4b 2 (3a -2b) 2 = (3a) 2 +2(3a)(-2b) +(-2b) 2 = 9a ab +4b 2 (-3a -2b) 2 = (-3a) 2 +2(-3a)(-2b)+(-2b) 2 = 9a 2 +12ab +4b 2 (-3a+2b) 2 = (-3a) 2 +2(-3a)(+2b)+(+2b) 2 = 9a 2 -12ab+4b 2 S. AQUINO IPSIA PITTONI

9 8 Quadrato di binomio: esercizi (2a + 7) 2 = (3a - 4b) 2 = (-2x - 3y) 2 = (a 2 + 3b) 2 = (5a - 3b) 2 = (5a 2 + 2b 2 ) 2 = (-3a 3 + 2b 2 ) 2 = (2ab - 3b) 2 = (7xy - 2x) 2 = 4a a a ab + 16b 2 4x xy + 9y 2 a a 2 b + 9b 2 25a ab + 9b 2 25a a 2 b 2 + 4b 4 9a a 3 b 2 + 4b 4 4a 2 b ab 2 + 9b 2 49x 2 y x 2 y + 4x 2 S. AQUINO IPSIA PITTONI

10 9 Quadrato di binomio: esercizi S. AQUINO IPSIA PITTONI

11 10 Cubo di un Binomio Cerchiamo la regola La regola Il significato geometrico Esempi Esercizi proposti S. AQUINO IPSIA PITTONI

12 11 Cubo di binomio: significato algebrico (a+b) 3 = (a+b) 2 (a+b) = = (a 2 +2ab+b 2) (a+b) = = a 3 +a 2 b+2 a 2 b+2ab 2 +ab 2 +b 3 = = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 S. AQUINO IPSIA PITTONI

13 12 Cubo di binomio: la regola ( a + b ) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 Il cubo di un binomio è un quadrinomio avente per termini: il cubo del 1° monomio il triplo prodotto del quadrato del 1° per il 2° il triplo prodotto del 1° per il quadrato del 2° il cubo del 2° monomio S. AQUINO IPSIA PITTONI

14 13 Cubo di binomio: significato geometrico (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 S. AQUINO IPSIA PITTONI

15 14 Cubo di binomio: esempi (2a+b) 3 = (2a) 3 +3(2a) 2 (+b) +3(2a)(+b) 2 +(+b) 3 = = 8a a 2 b + 6ab 2 + b 3 (2a - b) 3 = (2a) 3 +3(2a) 2 (-b)+3(2a)(-b) 2 +(-b) 3 = = 8a a 2 b + 6ab 2 - b 3 (-3a -2b) 3 = (-3a) 3 +3(-3a) 2 (-2b)+3(-3a)(-2b) 2 +(-2b) 3 = = -27a a 2 b - 36ab 2 - b 3 (-3a +2b) 3 = (-3a) 3 +3(-3a) 2 (+2b)+3(-3a)(+2b) 2 +(+2b) 3 = -27a a 2 b - 36ab 2 + b 3 S. AQUINO IPSIA PITTONI

16 15 Cubo di binomio: esercizi (2a + 1) 3 = (3a - b) 3 = (-2x - 3y) 3 = (a 2 + 3b) 3 = (a - 3b) 3 = (a 2 + 2b 2 ) 3 = (-3a 3 + 2b 2 ) 3 = (2ab - 3b) 3 = 8a 3 +12a 2 +6a+1 27a 3 -27a 2 b+6ab 2 -b 3 -8x 3 -36x 2 y-54xy 2 -27y 3 a 6 +9a 4 b+27a 2 b 2 +27b 3 8a 3 -36a 2 b+54ab 2 -27b 3 a 6 +6a 4 b 2 +12a 2 b 4 +8b 6 -27a 9 +54a 6 b 2 -36a 3 b 4 +8b 6 8a 2 b 2 -36a 2 b 3 +54ab 3 -27b 3 S. AQUINO IPSIA PITTONI

17 16 Cubo di binomio: esercizi S. AQUINO IPSIA PITTONI

18 17 Quadrato di un Polinomio Cerchiamo la regola La regola Il significato geometrico Esempi Esercizi proposti S. AQUINO IPSIA PITTONI

19 18 Quadrato di polinomio: significato algebrico (a+b+c) 2 = (a+b+c) (a+b+c) = = a 2 +ab+ac+ab+b 2 +bc+ac+bc+c 2 = = a 2 + b 2 + c 2 +2ab + 2ac + 2bc S. AQUINO IPSIA PITTONI

20 19 Quadrato di polinomio: la regola (a+b+c) 2 = a 2 +b 2 +c 2 +2ab+2ac+2bc Il quadrato di un polinomio di un numero qualsiasi di termini è un polinomio avente per termini: il quadrato di tutti i termini il doppio prodotto (con il relativo segno) di ciascun termine per tutti quelli che lo seguono S. AQUINO IPSIA PITTONI

21 20 Quadrato di polinomio:significato geometrico (a+b+c)(a+b+c) (a+b+c)2(a+b+c)2 (a+b+c) 2 = a 2 +b 2 +c 2 +2ab+2ac+2bc abc a2a2 b2b2 abab abab c2c2 acac acac bcbc bcbc S. AQUINO IPSIA PITTONI

22 21 Quadrato di polinomio: esempi (2a + b + 3c) 2 = =(2a) 2 +(+b) 2 +(+3c) 2 +2(2a)(+b)+2(2a)(+3c)+2(+b)(+3c) = 4a 2 + b 2 + 9c 2 + 4ab + 12ac + 12bc (2a - b - c) 2 = = (2a) 2 +(-b) 2 +(-c) 2 +2(2a)(-b)+2(2a)(-c)+2(-b)(-c)= = 4a 2 + b 2 + c 2 - 4ab - 4ac + 2bc (-3a - 2b + c ) 2 = =(-3a) 2 +(-2b) 2 +(+c) 2 +2(-3a)(-2b)+2(-3a)(+c)+2(-2b)(+c) = 9a 2 + 4b 2 + c ab - 6ac - 4bc S. AQUINO IPSIA PITTONI

23 22 Quadrato di polinomio: esercizi (2a + 2b + 7) 2 = (3a - 4b - 2c) 2 = (-2x - 3y + 1) 2 = (a 2 + 3b - c) 2 = (5a + 2b + c) 2 = (-3a 3 +2b 2 +1) 2 = (2ab - 3b - 2) 2 = (7xy - 2x - 1) 2 = 4a 2 +4b ab+24a+24b 9a 2 +16b 2 +4c 2 -24ab-12ac+16bc 4x 2 +9y xy - 4x - 6y a 4 +9b 2 +c 2 + 6a 2 b - 2a 2 c - 6bc 25a 2 +4b 2 +c 2 +20ab+10ac+4bc 9a 6 +4b a 3 b 2 - 6a 3 +4b 2 4a 2 b 2 +9b ab 2 -8ab+12b 49x 2 y 2 +4x x 2 y -14xy+4x S. AQUINO IPSIA PITTONI

24 23 Potenza n-esima di Binomio Cerchiamo la regola Triangolo di Tartaglia La regola Esempi Esercizi proposti S. AQUINO IPSIA PITTONI

25 24 Potenza n-esima di binomio: cerchiamo una regola (a+b) 0 =1 (a+b) 1 = a+b (a+b) 2 = a 2 +2ab+b 2 (a+b) 3 = a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3 (a+b) 4 = a 4 +4a 3 b+6a 2 b 2 +4ab 3 +b 4 (a+b) 5 = a 5 +5a 4 b+10a 3 b 2 +10a 2 b 3 +5ab 4 +b 5 (a+b) 6 = a 6 +6a 5 b+15a 4 b 2 +20a 3 b 3 +15a 2 b 4 +6ab 5 +b 6 » lo sviluppo di (a+b) n contiene sempre n+1 termini » i coefficienti dei termini estremi e di quelli equidistanti dagli estremi sono uguali » in ogni termine dello sviluppo gli esponenti della lettera a decrescono da a n ad a 0 =1 e gli esponenti della lettera b crescono da b 0 =1 a b n » i coefficienti possono essere disposti secondo uno schema detto Triangolo di Tartaglia Triangolo di Tartaglia S. AQUINO IPSIA PITTONI

26 25 Potenza n-esima di binomio: Triangolo di Tartaglia (a+b) 0 =1 (a+b) 1 = 1 1 (a+b) 2 = (a+b) 3 = (a+b) 4 = (a+b) 5 = (a+b) 6 = In questo prospetto: *ogni riga inizia e termina con 1 *ogni altro numero si ottiene sommando quelli sovrastanti della riga precedente S. AQUINO IPSIA PITTONI

27 26 Potenza n-esima di binomio: la regola (a+b) n = a n +na n-1 b + ……. + nab n-1 +b n La potenza n-esima di un binomio è un polinomio omogeneo di grado n, ordinato e completo secondo le potenze decrescenti di a e crescenti di b, i cui coefficienti si ottengono dal Triangolo di Tartaglia.Triangolo di Tartaglia In pratica, si procede nel seguente modo: si scrive la parte letterale di ogni monomio tenendo conto che è di grado n e le potenze di a decrescono (da n fino a 0) e di b crescono (da 0 ad n) si calcolano i coefficienti di ogni monomio con il Triangolo di Tartaglia S. AQUINO IPSIA PITTONI

28 27 Potenza n-esima di binomio: esempi (2a+b) 5 = =(2a) 5 +5(2a) 4 (b)+10(2a) 3 (b) 2 +10(2a) 2 (b) 3 +5(2a)(b) 4 +(b) 5 =32a 5 +5(16a 4 )(b)+10(8a 3 )(b 2 ) +10(4a 2 )(b 3 ) +5(2a)(b 4 )+b 5 =32a a 4 b + 80a 3 b a 2 b ab 4 + b 5 (a - b) 4 = (a) 4 +4(a) 3 (-b)+6(a) 2 (-b) 2 +4(a)(-b) 3 +(-b) 4 = = a 4 - 4a 3 b + 6a 2 b 2 - 4ab 3 + b 4 (3a-2b) 4 = =(3a) 4 +4(3a) 3 (-2b)+6(3a) 2 (-2b) 2 +4(3a)(-2b) 3 +(-2b) 4 = =81a 4 +4(27a 3 )(-2b)+6(9a 2 )(+4b 2 )+4(3a)(-8b 3 )+16b 4 = = 81a a 3 b + 216a 2 b ab b 4 (a + b) 4 = (a) 4 +4(a) 3 (+b)+6(a) 2 (+b) 2 +4(a)(+b) 3 +(+b) 4 = = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4 S. AQUINO IPSIA PITTONI

29 28 Potenza n-esima di binomio: esercizi (2a - b) 4 = (a +b) 7 = (a - b) 7 = (a - b) 6 = (a +2b) 4 = (a - 2b) 4 = (a +2b) 5 = (-x - y) 5 = 16a a 3 b + 24a 2 b 2 - 8ab 3 + b 4 a 7 +7a 6 b+21a 5 b 2 +35a 4 b 3 +35a 3 b 4 +21a 2 b 5 +7ab 6 +b 7 a 4 + 8a 3 b + 24a 2 b ab b 4 a 4 - 8a 3 b + 24a 2 b ab b 4 a 6 - 6a 5 b +15a 4 b a 3 b 3 +15a 2 b 4 - 6ab 5 + b 6 a 7 -7a 6 b+21a 5 b 2 -35a 4 b 3 +35a 3 b 4 -21a 2 b 5 +7ab 6 -b 7 a 5 +10a 4 b + 40a 3 b a 2 b 3 +80ab 4 +32b 5 - x 5 - 5x 4 y - 10x 3 y x 2 y 3 - 5xy 4 - y 5 S. AQUINO IPSIA PITTONI

30 29 Somma per differenza Cerchiamo la regola La regola Esempi Esercizi proposti S. AQUINO IPSIA PITTONI

31 30 Somma per differenza: significato algebrico (a+b) (a-b) = = a 2 - ab + ab - b 2 = = a 2 - b 2 S. AQUINO IPSIA PITTONI

32 31 Somma per differenza: la regola ( a + b ) ( a - b ) = a 2 - b 2 Il prodotto della somma di due termini per la loro differenza è uguale al quadrato del primo termine meno il quadrato del secondo termine S. AQUINO IPSIA PITTONI

33 32 Somma per differenza: esempi (2a+b) (2a+b) = (2a) 2 - (b) 2 = 4a 2 - b 2 (2a - 5b) (2a + 5b) = (2a) 2 - (5b) 2 = 4a b 2 (3a+2b) (3a-2b) = (3a) 2 - (2b) 2 = 9a 2 - 4b 2 (-a +2b) (-a - 2b) = (-3a) 2 - (2b) 2 = 9a 2 - 4b 2 (4a + b) (- 4a + b) = (b) 2 - (4a) 2 = b a 2 (-3b+2a) (+3b+2a) = (2a) 2 - (3b) 2 = 4a 2 - 9b 2 S. AQUINO IPSIA PITTONI

34 33 Somma per differenza: esercizi (2a + 7)(2a - 7)= (3a - 4b)(3a+ 4b) = (-2x - 3y)(-2x+3y) = (a 2 + 3b)(a 2 - 3b) = (5a - 3b)(5a+ 3b) = (5a 2 +2b 2 )(5a 2 -2b 2 ) = (-3a 3 +2b 2 )(-3a 3 -2b 2 ) = (2a + 3b)( -2a + 3b) = (7xy - 2x)( -7xy - 2x) = 4a a b 2 4x 2 - 9y 2 a 4 - 9b 2 25a 2 - 9b 2 25a 4 - 4b 4 9a 6 - 4b 4 9b 2 - 4a 2 4x x 2 y 2 S. AQUINO IPSIA PITTONI

35 34 Somma per differenza: esercizi [(a+b) - 1] [(a+b) +1] =(a+b) S. AQUINO IPSIA PITTONI

36 35 Altri Prodotti Notevoli Somma di cubi Differenza di cubi La regola Esempi Esercizi proposti

37 36 Somma di Cubi: significato algebrico (a+b) (a 2 - ab + b 2 ) = = a 3 - a 2 b + ab 2 + a 2 b- ab 2 + b 3 = = a 3 + b 3 S. AQUINO IPSIA PITTONI

38 37 Differenza di Cubi: significato algebrico (a - b) (a 2 + ab + b 2 ) = = a 3 + a 2 b + ab 2 - a 2 b- ab 2 - b 3 = = a 3 - b 3 S. AQUINO IPSIA PITTONI

39 38 Somma o differenza di cubi: la regola Il prodotto della somma di due termini per il trinomio formato dal quadrato dei due termini e dalla differenza del loro prodotto è uguale al cubo del primo termine più il cubo del secondo termine (a+b)(a 2 - ab + b 2 ) = a 3 + b 3 (a - b)(a 2 + ab + b 2 ) = a 3 - b 3 Il prodotto della differenza di due termini per il trinomio formato dal quadrato dei due termini e dalla somma del loro prodotto è uguale al cubo del primo termine meno il cubo del secondo termine S. AQUINO IPSIA PITTONI

40 39 Somma o Differenza di Cubi: esempi (2a + b)(4a 2 - 2ab + b 2 ) = (2a) 3 + (b) 3 = 8a 3 + b 3 (2a - b)(4a 2 + 2ab + b 2 ) = (2a) 3 - (b) 3 = 8a 3 - b 3 (3a+2b)(9a 2 - 6ab +4b 2 )= (3a) 3 + (2b) 3 = 27a 3 + 8b 3 (3a - 2b)(9a 2 + 6ab +4b 2 )= (3a) 3 - (2b) 3 = 27a 3 - 8b 3 S. AQUINO IPSIA PITTONI

41 40 Somma o Differenza di Cubi: esercizi (2a + 7)(4a ab + 49)= (3a - 4b)(9a 2 +12ab+16b 2 ) = (2x - 3y)(4x 2 + 6xy + 9y 2 ) = (a 2 + 3b)(a 4 +9b 2 - 3a 2 b ) = (5a - 3b)(25a 2 +15ab+9b 2 ) = (x 2 + 2y 2 )(x 4 - 2x 2 y 2 + 4y 4 ) = (3a 3 + b 2 )(9a 6 - 3a 3 b 2 + b 4 ) = (2a + 3b)( 4a 2 - 6ab+9b 2 ) = (x - 2y)( x 2 +2xy + 4y 2 ) = 8a a b 3 8x y 3 a b 3 125a b 3 x 6 + 8y 6 27a 9 + b 6 8a b 2 x 3 - 8y 3 S. AQUINO IPSIA PITTONI

42 41 SCOMPOSIZIONI QUI DI SEGUITO TROVERAI ALCUNE DOMANDE PER MISURARE LE TUE CONOSCENZE. IN CASO DI RISPOSTA ERRATA TI VERRA FORNITA LA CORREZIONE ED UN RIPASSO DELLA TEORIA.

43 42 DOMANDA n.1 Ecco quattro semplici polinomi: soltanto tre di essi risultano fattorizzabili in base alla proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto alladdizione. Quali? 1, 2 e 31, 3 e 4 1, 2 e 42, 3 e 4 S. AQUINO IPSIA PITTONI

44 43 ATTENTO! LA TUA RISPOSTA NON E CORRETTA! La proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto alladdizione è così sintetizzabile: a(b+c) = ab+ac o viceversa: ab+ac = a(b+c). Quindi, se i termini di un polinomio sono tutti divisibili per uno stesso fattore, questultimo può essere messo in evidenza scrivendolo fuori da una parentesi; allinterno della parentesi andrà scritto un nuovo polinomio ottenuto dal precedente dividendo ogni suo termine per il fattore evidenziato:

45 44 BRAVO!!! LA TUA RISPOSTA E CORRETTA! VAI ALLA DOMANDA SEGUENTE S. AQUINO IPSIA PITTONI

46 45 TABELLA DI SCOMPOSIZIONI S. AQUINO IPSIA PITTONI

47 46 SE HO Due termini Tre termini Quattro termini Cinque termini Sei termini S. AQUINO IPSIA PITTONI

48 47 DUE TERMINI S. AQUINO IPSIA PITTONI

49 48 TRE TERMINI S. AQUINO IPSIA PITTONI

50 49 QUATTRO TERMINI S. AQUINO IPSIA PITTONI

51 50 CINQUE TERMINI S. AQUINO IPSIA PITTONI

52 51 SEI TERMINI S. AQUINO IPSIA PITTONI


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