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1 Mat_Insieme PPPP rrrr oooo dddd oooo tttt tttt iiii N N N N oooo tttt eeee vvvv oooo llll iiii TTTT aaaa bbbb eeee llll llll aaaa d d d d iiii S S S.

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Presentazione sul tema: "1 Mat_Insieme PPPP rrrr oooo dddd oooo tttt tttt iiii N N N N oooo tttt eeee vvvv oooo llll iiii TTTT aaaa bbbb eeee llll llll aaaa d d d d iiii S S S."— Transcript della presentazione:

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2 1 Mat_Insieme PPPP rrrr oooo dddd oooo tttt tttt iiii N N N N oooo tttt eeee vvvv oooo llll iiii TTTT aaaa bbbb eeee llll llll aaaa d d d d iiii S S S S cccc oooo mmmm pppp oooo ssss iiii zzzz iiii oooo nnnn iiii TTTT eeee ssss tttt S S S S cccc oooo mmmm pppp oooo ssss iiii zzzz iiii oooo nnnn iiii a cura di G. Chirico – P.A. Cerati – A. Boccia Lavoro di Gruppo a tre mani

3 prof.ssa Giuseppa Chirico2 I Prodotti Notevoli Quadrato di binomio Cubo di binomio Quadrato di polinomio Potenza n-esima di binomio Somma per differenza Altri prodotti notevoli

4 prof.ssa Giuseppa Chirico3 Quadrato di un Binomio Cerchiamo la regola La regola Il significato geometrico Esempi Esercizi proposti

5 prof.ssa Giuseppa Chirico4 Quadrato di binomio: significato algebrico (a+b) 2 = (a+b) (a+b) = = a 2 +ab+ab+b 2 = = a 2 +2ab+b 2

6 prof.ssa Giuseppa Chirico5 Quadrato di binomio: la regola ( a + b ) 2 = a 2 + 2ab + b 2 Il quadrato di un binomio è un trinomio avente per termini: il quadrato del 1° monomio il doppio prodotto del 1° monomio per il 2° il quadrato del 2° monomio

7 prof.ssa Giuseppa Chirico6 Quadrato di binomio: significato geometrico ab (a + b) (a + b) 2 a2a2 b2b2 abab abab (a + b) 2 = a ab + b 2

8 prof.ssa Giuseppa Chirico7 Quadrato di binomio: esempi (2a+b) 2 = (2a) 2 +2(2a)(+b)+(+b) 2 = 4a 2 + 4ab + b 2 (2a - b) 2 = (2a) 2 +2(2a)(-b)+(-b) 2 = 4a 2 - 4ab + b 2 (3a+2b) 2 = (3a) 2 +2(3a)(+2b) +(+2b) 2 = 9a 2 +12ab +4b 2 (3a -2b) 2 = (3a) 2 +2(3a)(-2b) +(-2b) 2 = 9a ab +4b 2 (-3a -2b) 2 = (-3a) 2 +2(-3a)(-2b)+(-2b) 2 = 9a 2 +12ab +4b 2 (-3a+2b) 2 = (-3a) 2 +2(-3a)(+2b)+(+2b) 2 = 9a 2 -12ab+4b 2

9 prof.ssa Giuseppa Chirico8 Quadrato di binomio: esercizi (2a + 7) 2 = (3a - 4b) 2 = (-2x - 3y) 2 = (a 2 + 3b) 2 = (5a - 3b) 2 = (5a 2 + 2b 2 ) 2 = (-3a 3 + 2b 2 ) 2 = (2ab - 3b) 2 = (7xy - 2x) 2 = 4a a a ab + 16b 2 4x xy + 9y 2 a a 2 b + 9b 2 25a ab + 9b 2 25a a 2 b 2 + 4b 4 9a a 3 b 2 + 4b 4 4a 2 b ab 2 + 9b 2 49x 2 y x 2 y + 4x 2

10 prof.ssa Giuseppa Chirico9 Quadrato di binomio: esercizi

11 prof.ssa Giuseppa Chirico10 Cubo di un Binomio Cerchiamo la regola La regola Il significato geometrico Esempi Esercizi proposti

12 prof.ssa Giuseppa Chirico11 Cubo di binomio: significato algebrico (a+b) 3 = (a+b) 2 (a+b) = = (a 2 +2ab+b 2) (a+b) = = a 3 +a 2 b+2 a 2 b+2ab 2 +ab 2 +b 3 = = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

13 prof.ssa Giuseppa Chirico12 Cubo di binomio: la regola ( a + b ) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 Il cubo di un binomio è un quadrinomio avente per termini: il cubo del 1° monomio il triplo prodotto del quadrato del 1° per il 2° il triplo prodotto del 1° per il quadrato del 2° il cubo del 2° monomio

14 prof.ssa Giuseppa Chirico13 Cubo di binomio: significato geometrico (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

15 prof.ssa Giuseppa Chirico14 Cubo di binomio: esempi (2a+b) 3 = (2a) 3 +3(2a) 2 (+b) +3(2a)(+b) 2 +(+b) 3 = = 8a a 2 b + 6ab 2 + b 3 (2a - b) 3 = (2a) 3 +3(2a) 2 (-b)+3(2a)(-b) 2 +(-b) 3 = = 8a a 2 b + 6ab 2 - b 3 (-3a -2b) 3 = (-3a) 3 +3(-3a) 2 (-2b)+3(-3a)(-2b) 2 +(-2b) 3 = = -27a a 2 b - 36ab 2 - b 3 (-3a +2b) 3 = (-3a) 3 +3(-3a) 2 (+2b)+3(-3a)(+2b) 2 +(+2b) 3 = -27a a 2 b - 36ab 2 + b 3

16 prof.ssa Giuseppa Chirico15 Cubo di binomio: esercizi (2a + 1) 3 = (3a - b) 3 = (-2x - 3y) 3 = (a 2 + 3b) 3 = (a - 3b) 3 = (a 2 + 2b 2 ) 3 = (-3a 3 + 2b 2 ) 3 = (2ab - 3b) 3 = 8a 3 +12a 2 +6a+1 27a 3 -27a 2 b+6ab 2 -b 3 -8x 3 -36x 2 y-54xy 2 -27y 3 a 6 +9a 4 b+27a 2 b 2 +27b 3 8a 3 -36a 2 b+54ab 2 -27b 3 a 6 +6a 4 b 2 +12a 2 b 4 +8b 6 -27a 9 +54a 6 b 2 -36a 3 b 4 +8b 6 8a 2 b 2 -36a 2 b 3 +54ab 3 -27b 3

17 prof.ssa Giuseppa Chirico16 Cubo di binomio: esercizi

18 prof.ssa Giuseppa Chirico17 Quadrato di un Polinomio Cerchiamo la regola La regola Il significato geometrico Esempi Esercizi proposti

19 prof.ssa Giuseppa Chirico18 Quadrato di polinomio: significato algebrico (a+b+c) 2 = (a+b+c) (a+b+c) = = a 2 +ab+ac+ab+b 2 +bc+ac+bc+c 2 = = a 2 + b 2 + c 2 +2ab + 2ac + 2bc

20 prof.ssa Giuseppa Chirico19 Quadrato di polinomio: la regola (a+b+c) 2 = a 2 +b 2 +c 2 +2ab+2ac+2bc Il quadrato di un polinomio di un numero qualsiasi di termini è un polinomio avente per termini: il quadrato di tutti i termini il doppio prodotto (con il relativo segno) di ciascun termine per tutti quelli che lo seguono

21 prof.ssa Giuseppa Chirico20 Quadrato di polinomio:significato geometrico (a+b+c)(a+b+c) (a+b+c)2(a+b+c)2 (a+b+c) 2 = a 2 +b 2 +c 2 +2ab+2ac+2bc abc a2a2 b2b2 abab abab c2c2 acac acac bcbc bcbc

22 prof.ssa Giuseppa Chirico21 Quadrato di polinomio: esempi (2a + b + 3c) 2 = =(2a) 2 +(+b) 2 +(+3c) 2 +2(2a)(+b)+2(2a)(+3c)+2(+b)(+3c) = 4a 2 + b 2 + 9c 2 + 4ab + 12ac + 12bc (2a - b - c) 2 = = (2a) 2 +(-b) 2 +(-c) 2 +2(2a)(-b)+2(2a)(-c)+2(-b)(-c)= = 4a 2 + b 2 + c 2 - 4ab - 4ac + 2bc (-3a - 2b + c ) 2 = =(-3a) 2 +(-2b) 2 +(+c) 2 +2(-3a)(-2b)+2(-3a)(+c)+2(-2b)(+c) = 9a 2 + 4b 2 + c ab - 6ac - 4bc

23 prof.ssa Giuseppa Chirico22 Quadrato di polinomio: esercizi (2a + 2b + 7) 2 = (3a - 4b - 2c) 2 = (-2x - 3y + 1) 2 = (a 2 + 3b - c) 2 = (5a + 2b + c) 2 = (-3a 3 +2b 2 +1) 2 = (2ab - 3b - 2) 2 = (7xy - 2x - 1) 2 = 4a 2 +4b ab+24a+24b 9a 2 +16b 2 +4c 2 -24ab-12ac+16bc 4x 2 +9y xy - 4x - 6y a 4 +9b 2 +c 2 + 6a 2 b - 2a 2 c - 6bc 25a 2 +4b 2 +c 2 +20ab+10ac+4bc 9a 6 +4b a 3 b 2 - 6a 3 +4b 2 4a 2 b 2 +9b ab 2 -8ab+12b 49x 2 y 2 +4x x 2 y -14xy+4x

24 prof.ssa Giuseppa Chirico23 Potenza n-esima di Binomio Cerchiamo la regola Triangolo di Tartaglia La regola Esempi Esercizi proposti

25 prof.ssa Giuseppa Chirico24 Potenza n-esima di binomio: cerchiamo una regola (a+b) 0 =1 (a+b) 1 = a+b (a+b) 2 = a 2 +2ab+b 2 (a+b) 3 = a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3 (a+b) 4 = a 4 +4a 3 b+6a 2 b 2 +4ab 3 +b 4 (a+b) 5 = a 5 +5a 4 b+10a 3 b 2 +10a 2 b 3 +5ab 4 +b 5 (a+b) 6 = a 6 +6a 5 b+15a 4 b 2 +20a 3 b 3 +15a 2 b 4 +6ab 5 +b 6 » lo sviluppo di (a+b) n contiene sempre n+1 termini » i coefficienti dei termini estremi e di quelli equidistanti dagli estremi sono uguali » in ogni termine dello sviluppo gli esponenti della lettera a decrescono da a n ad a 0 =1 e gli esponenti della lettera b crescono da b 0 =1 a b n » i coefficienti possono essere disposti secondo uno schema detto Triangolo di Tartaglia Triangolo di Tartaglia

26 prof.ssa Giuseppa Chirico25 Potenza n-esima di binomio: Triangolo di Tartaglia (a+b) 0 =1 (a+b) 1 = 1 1 (a+b) 2 = (a+b) 3 = (a+b) 4 = (a+b) 5 = (a+b) 6 = In questo prospetto: *ogni riga inizia e termina con 1 *ogni altro numero si ottiene sommando quelli sovrastanti della riga precedente

27 prof.ssa Giuseppa Chirico26 Potenza n-esima di binomio: la regola (a+b) n = a n +na n-1 b + ……. + nab n-1 +b n La potenza n-esima di un binomio è un polinomio omogeneo di grado n, ordinato e completo secondo le potenze decrescenti di a e crescenti di b, i cui coefficienti si ottengono dal Triangolo di Tartaglia.Triangolo di Tartaglia In pratica, si procede nel seguente modo: si scrive la parte letterale di ogni monomio tenendo conto che è di grado n e le potenze di a decrescono (da n fino a 0) e di b crescono (da 0 ad n) si calcolano i coefficienti di ogni monomio con il Triangolo di Tartaglia

28 prof.ssa Giuseppa Chirico27 Potenza n-esima di binomio: esempi (2a+b) 5 = =(2a) 5 +5(2a) 4 (b)+10(2a) 3 (b) 2 +10(2a) 2 (b) 3 +5(2a)(b) 4 +(b) 5 =32a 5 +5(16a 4 )(b)+10(8a 3 )(b 2 ) +10(4a 2 )(b 3 ) +5(2a)(b 4 )+b 5 =32a a 4 b + 80a 3 b a 2 b ab 4 + b 5 (a - b) 4 = (a) 4 +4(a) 3 (-b)+6(a) 2 (-b) 2 +4(a)(-b) 3 +(-b) 4 = = a 4 - 4a 3 b + 6a 2 b 2 - 4ab 3 + b 4 (3a-2b) 4 = =(3a) 4 +4(3a) 3 (-2b)+6(3a) 2 (-2b) 2 +4(3a)(-2b) 3 +(-2b) 4 = =81a 4 +4(27a 3 )(-2b)+6(9a 2 )(+4b 2 )+4(3a)(-8b 3 )+16b 4 = = 81a a 3 b + 216a 2 b ab b 4 (a + b) 4 = (a) 4 +4(a) 3 (+b)+6(a) 2 (+b) 2 +4(a)(+b) 3 +(+b) 4 = = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4

29 prof.ssa Giuseppa Chirico28 Potenza n-esima di binomio: esercizi (2a - b) 4 = (a +b) 7 = (a - b) 7 = (a - b) 6 = (a +2b) 4 = (a - 2b) 4 = (a +2b) 5 = (-x - y) 5 = 16a a 3 b + 24a 2 b 2 - 8ab 3 + b 4 a 7 +7a 6 b+21a 5 b 2 +35a 4 b 3 +35a 3 b 4 +21a 2 b 5 +7ab 6 +b 7 a 4 + 8a 3 b + 24a 2 b ab b 4 a 4 - 8a 3 b + 24a 2 b ab b 4 a 6 - 6a 5 b +15a 4 b a 3 b 3 +15a 2 b 4 - 6ab 5 + b 6 a 7 -7a 6 b+21a 5 b 2 -35a 4 b 3 +35a 3 b 4 -21a 2 b 5 +7ab 6 -b 7 a 5 +10a 4 b + 40a 3 b a 2 b 3 +80ab 4 +32b 5 - x 5 - 5x 4 y - 10x 3 y x 2 y 3 - 5xy 4 - y 5

30 prof.ssa Giuseppa Chirico29 Somma per differenza Cerchiamo la regola La regola Esempi Esercizi proposti

31 prof.ssa Giuseppa Chirico30 Somma per differenza: significato algebrico (a+b) (a-b) = = a 2 - ab + ab - b 2 = = a 2 - b 2

32 prof.ssa Giuseppa Chirico31 Somma per differenza: la regola ( a + b ) ( a - b ) = a 2 - b 2 Il prodotto della somma di due termini per la loro differenza è uguale al quadrato del primo termine meno il quadrato del secondo termine

33 prof.ssa Giuseppa Chirico32 Somma per differenza: esempi (2a+b) (2a+b) = (2a) 2 - (b) 2 = 4a 2 - b 2 (2a - 5b) (2a + 5b) = (2a) 2 - (5b) 2 = 4a b 2 (3a+2b) (3a-2b) = (3a) 2 - (2b) 2 = 9a 2 - 4b 2 (-a +2b) (-a - 2b) = (-3a) 2 - (2b) 2 = 9a 2 - 4b 2 (4a + b) (- 4a + b) = (b) 2 - (4a) 2 = b a 2 (-3b+2a) (+3b+2a) = (2a) 2 - (3b) 2 = 4a 2 - 9b 2

34 prof.ssa Giuseppa Chirico33 Somma per differenza: esercizi (2a + 7)(2a - 7)= (3a - 4b)(3a+ 4b) = (-2x - 3y)(-2x+3y) = (a 2 + 3b)(a 2 - 3b) = (5a - 3b)(5a+ 3b) = (5a 2 +2b 2 )(5a 2 -2b 2 ) = (-3a 3 +2b 2 )(-3a 3 -2b 2 ) = (2a + 3b)( -2a + 3b) = (7xy - 2x)( -7xy - 2x) = 4a a b 2 4x 2 - 9y 2 a 4 - 9b 2 25a 2 - 9b 2 25a 4 - 4b 4 9a 6 - 4b 4 9b 2 - 4a 2 4x x 2 y 2

35 prof.ssa Giuseppa Chirico34 Somma per differenza: esercizi [(a+b) - 1] [(a+b) +1] =(a+b) 2 - 1

36 prof.ssa Giuseppa Chirico35 Altri Prodotti Notevoli Somma di cubi Differenza di cubi La regola Esempi Esercizi proposti

37 prof.ssa Giuseppa Chirico36 Somma di Cubi: significato algebrico (a+b) (a 2 - ab + b 2 ) = = a 3 - a 2 b + ab 2 + a 2 b- ab 2 + b 3 = = a 3 + b 3

38 prof.ssa Giuseppa Chirico37 Differenza di Cubi: significato algebrico (a - b) (a 2 + ab + b 2 ) = = a 3 + a 2 b + ab 2 - a 2 b- ab 2 - b 3 = = a 3 - b 3

39 prof.ssa Giuseppa Chirico38 Somma o differenza di cubi: la regola Il prodotto della somma di due termini per il trinomio formato dal quadrato dei due termini e dalla differenza del loro prodotto è uguale al cubo del primo termine più il cubo del secondo termine (a+b)(a 2 - ab + b 2 ) = a 3 + b 3 (a - b)(a 2 + ab + b 2 ) = a 3 - b 3 Il prodotto della differenza di due termini per il trinomio formato dal quadrato dei due termini e dalla somma del loro prodotto è uguale al cubo del primo termine meno il cubo del secondo termine

40 prof.ssa Giuseppa Chirico39 Somma o Differenza di Cubi: esempi (2a + b)(4a 2 - 2ab + b 2 ) = (2a) 3 + (b) 3 = 8a 3 + b 3 (2a - b)(4a 2 + 2ab + b 2 ) = (2a) 3 - (b) 3 = 8a 3 - b 3 (3a+2b)(9a 2 - 6ab +4b 2 )= (3a) 3 + (2b) 3 = 27a 3 + 8b 3 (3a - 2b)(9a 2 + 6ab +4b 2 )= (3a) 3 - (2b) 3 = 27a 3 - 8b 3

41 prof.ssa Giuseppa Chirico40 Somma o Differenza di Cubi: esercizi (2a + 7)(4a ab + 49)= (3a - 4b)(9a 2 +12ab+16b 2 ) = (2x - 3y)(4x 2 + 6xy + 9y 2 ) = (a 2 + 3b)(a 4 +9b 2 - 3a 2 b ) = (5a - 3b)(25a 2 +15ab+9b 2 ) = (x 2 + 2y 2 )(x 4 - 2x 2 y 2 + 4y 4 ) = (3a 3 + b 2 )(9a 6 - 3a 3 b 2 + b 4 ) = (2a + 3b)( 4a 2 - 6ab+9b 2 ) = (x - 2y)( x 2 +2xy + 4y 2 ) = 8a a b 3 8x y 3 a b 3 125a b 3 x 6 + 8y 6 27a 9 + b 6 8a b 2 x 3 - 8y 3

42 prof. Pier Angela Cerati41 SCOMPOSIZIONI QUI DI SEGUITO TROVERAI ALCUNE DOMANDE PER MISURARE LE TUE CONOSCENZE. IN CASO DI RISPOSTA ERRATA TI VERRA FORNITA LA CORREZIONE ED UN RIPASSO DELLA TEORIA.

43 prof.Pier Angela Cerati42 DOMANDA n.1 Ecco quattro semplici polinomi: soltanto tre di essi risultano fattorizzabili in base alla proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto alladdizione. Quali? 1, 2 e 31, 3 e 4 1, 2 e 42, 3 e 4

44 prof.Pier Angela Cerati43 ATTENTO! LA TUA RISPOSTA NON E CORRETTA! La proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto alladdizione è così sintetizzabile: a(b+c) = ab+ac o viceversa: ab+ac = a(b+c). Quindi, se i termini di un polinomio sono tutti divisibili per uno stesso fattore, questultimo può essere messo in evidenza scrivendolo fuori da una parentesi; allinterno della parentesi andrà scritto un nuovo polinomio ottenuto dal precedente dividendo ogni suo termine per il fattore evidenziato:

45 prof. Pier Angela Cerati44 BRAVO!!! LA TUA RISPOSTA E CORRETTA! VAI ALLA DOMANDA SEGUENTE

46 45 TABELLA DI SCOMPOSIZIONI Prof.Adelaide Boccia

47 46 SE HO Prof.Adelaide Boccia Due termini Tre termini Quattro termini Cinque termini Sei termini

48 47 DUE TERMINI Prof. Adelaide Boccia

49 48 TRE TERMINI Prof. Adelaide Boccia

50 49 QUATTRO TERMINI Prof. Adelaide Boccia

51 50 CINQUE TERMINI Prof. Adelaide Boccia

52 51 SEI TERMINI Prof. Adelaide Boccia


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