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Le frazioni algebriche ESEMPIO Definizione e caratteristiche 1 Insieme di definizione o dominio della frazione: insieme dei valori che è possibile attribuire.

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1 Le frazioni algebriche ESEMPIO Definizione e caratteristiche 1 Insieme di definizione o dominio della frazione: insieme dei valori che è possibile attribuire alle lettere. Frazione algebrica: espressione letterale del tipo, con A e B monomi o polinomi e B 0 A B x 2 – 4x + 1 x – 3 6x6x 5y25y2 ; condizione di esistenza: condizioni che indicano quali valori delle lettere devono essere esclusi. x 2 – 4x + 1 x – 3 C. E. x – 3 0 x 3

2 Le frazioni algebriche Frazioni equivalenti 2 Due frazioni algebriche, funzioni delle stesse variabili, sono equivalenti se diventano numeri uguali in corrispondenza di ogni valore che è possibile attribuire alle variabili. Le frazioni algebriche e sono equivalenti se A D = B C. A B C D 2a a 2 – a è equivalente a 2a + 2 a 2 – 1 Infatti: 2a (a 2 – 1) = (2a + 2) (a 2 – a) [ 2a (a – 1) (a + 1) = 2(a + 1) a (a – 1) ] Per ottenere frazioni algebriche equivalenti basta applicare la proprietà invariantiva della divisione, cioè possiamo: dividere numeratore e denominatore per uno stesso monomio o polinomio (non nullo) e questo permette di semplificare una frazione moltiplicare numeratore e denominatore per uno stesso monomio o polinomio (non nullo) e questo serve per ridurre due o più frazioni allo stesso denominatore in modo da poterle sommare o sottrarre. ESEMPIO

3 Le frazioni algebriche ESEMPI Semplificazione 3 Se il numeratore e il denominatore non hanno divisori comuni si dice che la frazione è irriducibile. Lalgoritmo per semplificare una frazione è il seguente: si scompongono numeratore e denominatore si individuano i divisori comuni, cioè il M.C.D. si dividono il numeratore e il denominatore per il loro M.C.D. 3a 2 x 2 – 9a 3 x ax 3 – 3a 2 x 2 = 3a 2 x (x – 3a) ax 2 (x – 3a) = 3a3a x a + 2b a 2 – b 2 = a + 2b (a – b) (a + b) Il numeratore e il denominatore non hanno divisori comuni al di fuori dellunità e quindi la frazione è irriducibile.

4 Le frazioni algebriche Operazioni 4 Addizione e sottrazione Per sommare o sottrarre due o più frazioni algebriche, si deve seguire questa procedura: scomporre i denominatori delle frazioni e porre le condizioni di esistenza semplificare le frazioni che non sono irriducibili trovare il m.c.m. fra i denominatori ridurre tutte le frazioni allo stesso denominatore eseguire le addizioni e le sottrazioni e semplificare la frazione ottenuta se necessario 3b3b 2x + y + b 2x y = c. d. e. 2x + y 0 2x – y 0 3b (2x – y) + b (2x + y) (2x + y) (2x – y) = 6bx – 3by + 2bx + by (2x + y) (2x – y) 8bx – 2by (2x + y) (2x – y) = Riduzione allo stesso denominatore ESEMPIO

5 Le frazioni algebriche ESEMPIO Operazioni 5 Moltiplicazione La moltiplicazione di due frazioni algebriche si esegue moltiplicando tra loro i numeratori e i denominatori e semplificando poi la frazione ottenuta. In pratica, come nel caso di frazioni numeriche, prima si scompone, si semplifica se possibile e poi si moltiplica. 4x 2 – y 2 x 2 + 2xy + y 2 = 3x + 3y 2x y 3 (2x + y) x + y (2x – y) (2x + y) (x + y) 2 3 (x + y) 2x y = con le frazioni algebriche con le frazioni numeriche =

6 Le frazioni algebriche ESEMPIO Operazioni 6 Divisione La divisione di due frazioni algebriche si esegue moltiplicando la prima frazione per il reciproco della seconda. x – y x : = 2 x + 3y x – y x = (x – y) (x + 3y) 2x2x x + 3y 2 Elevamento a potenza Lelevamento a potenza di una frazione algebrica si ottiene elevando a quella potenza il numeratore e il denominatore. 2a2a a – 3b (2a) 2 (a – 3b) 2 2 == 4a24a2


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