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ASCISSA SOPRA UNA RETTA Sia data una retta r, si fissi: 1)Un verso positivo di percorrenza 2)Un punto O detto Origine 3)Un segmento u detto unità di misura.

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1 ASCISSA SOPRA UNA RETTA Sia data una retta r, si fissi: 1)Un verso positivo di percorrenza 2)Un punto O detto Origine 3)Un segmento u detto unità di misura O u r-r- r+r+ r

2 ASSE DELLE ASCISSE Preso un punto P sullasse delle ascisse, a P si può sempre associare x P R, ovvero la misura del segmento OP, presa col segno + (-) se P appartiene al semiasse positivo (negativo) x P è chiamata ascissa di P Viceversa, x R ! P r : x= x P. Esiste una corrispondenza biunivoca tra numeri reali e punti della retta.

3 COORDINATE CARTESIANE NEL PIANO Date 2 rette r 1 e r 2 non parallele ed incidenti nel punto O, si fissi su ciascuna: 1)Un verso positivo di percorrenza 2)Una unità di misura Si ottiene così un sistema di riferimento cartesiano Ortogonale / obliquo Monometrico / dimetrico

4 COORDINATE CARTESIANE NEL PIANO Si dimostra che ad ogni punto P del piano si può associare una coppia ordinata P=(x,y) III III IV

5 ESEMPIO 2 1 P=(2,1) P=(-2,-1) -2 3 P=(-2,3) P=(2,-2)-2

6 ANGOLO Prendiamo due semirette a e b aventi la stessa origine, il piano resta diviso in due parti, ciascuna delle quali viene detta angolo.

7 ANGOLO ORIENTATO Verso positivo di rotazione antiorario + a b - a b

8 ARCO La parte di circonferenza compresa tra i lati dellangolo. A B

9 SISTEMI DI MISURA DI ANGOLI SESSAGESIMALE: grado sessagesimale = la 360 a parte dellangolo giro. CENTESIMALE: grado centesimale = la 400 a parte dellangolo giro RADIANTE

10 Langolo al centro che insiste su un arco che rettificato ha lunghezza pari al raggio.

11 Misura in radianti di un angolo È uguale alla misura dellarco diviso il raggio: Angolo giro = 2 r / r = 2 Angolo piatto = r / r = Angolo retto =

12 Misura in radianti di un angolo 0 /4 /4) /2

13 Misura in radianti di un angolo 0 /6 /2

14 Misura in radianti di un angolo Per passare dal sistema sessagesimale a quello radiante: 360 : 2 = s : r Ex: 360 : 2 = : r r =

15 CIRCONFERENZA GONIOMETRICA Fissato nel piano un sistema di riferimento cartesiano, la circonferenza con raggio 1 e centro nellorigine è detta circonferenza goniometrica. A=(1,0) x y

16 Seno e coseno Seno = ordinata del punto M Coseno = ascissa del punto M A=(1,0) y M=(cos( ), sin( ))

17 Tangente Tangente = ordinata del punto T tan( ) = sin( ) / cos( ) T = (1, tan( )) A=(1,0) y

18 Cotangente Cotangente = ascissa del punto T cot( ) = 1 / tan( ) = cos( ) / sin( ) A=(1,0) y B=(0,1) T = (cot( ), 1)

19 f(x) = sin (x) A=(1,0) y x /2 /2) 2 x y - /2 /2 /2) 1

20 Funzione seno Dominio R Codominio [-1, 1] Periodica di periodo 2

21 y = cos (x) x y - /2 /2 /2) x /2 /2) A=(1,0) y x 2

22 Funzione coseno Dominio R Codominio [-1, 1] Periodica di periodo 2

23 y = tan (x) x y - /2 /2 /2) A=(1,0) y T = (1, tan( )) /2 /2) 2

24 Funzione tangente Dominio = R \ /2 + k k Z Codominio = R Periodica di periodo

25 y = cot(x) x y - /2 /2 /2) A=(1,0) y B=(0,1) T = (cot( ), 1) /2 /2) 2

26 Relazione tra seno e coseno sin 2 (x) + cos 2 (x) = 1 A=(1,0) y M=(cos( ), sin( ))

27 Relazione tra seno e coseno Esempi: cos (x) = ½ x [0, /2]

28 Relazione tra seno, coseno e tangente sin 2 (x) + cos 2 (x) = 1

29 Relazione tra seno, coseno e tangente sin(x) = tan(x) cos(x)

30 Valori in archi particolari : /6

31 Valori in archi particolari: /3

32 Valori in archi particolari: /4

33 ARCHI SUPPLEMENTARI La cui somma è : sin( ) = sin( ) cos( ) = - cos( ) tan( ) = - tan( ) cot( ) = - cot( ) x y

34 ARCHI che differiscono di sin( ) = - sin( ) cos( ) = - cos( ) tan( ) = tan( ) cot( ) = cot( ) x y

35 ARCHI la cui somma è 2 sin(2 ) = - sin( ) cos(2 ) = cos( ) tan(2 ) = - tan( ) cot(2 ) = - cot( ) x y

36 ARCHI complementari La cui somma è : sin( ) = cos( ) cos( ) = sin( ) tan( ) = cot( ) cot( ) = tan( ) x y

37 ARCHI che differiscono di /2 sin( ) = cos( ) cos( ) = - sin( ) tan( ) = - cot( ) cot( ) = - tan( ) x y

38 EQUAZIONI GONIOMETRICHE Equazioni in cui le variabili compaiono come argomento di funzioni goniometriche. sin(x) = a cos(x) = a |a| >1 impossibile a = 1 1 soluzione fondamentale a= -1 1 soluzione fondamentale -1< a < 1 2 soluzioni fondamentali

39 EQUAZIONI GONIOMETRICHE tan(x) = a cot(x) = a Mai impossibile 1 soluzione fondamentale

40 ESEMPI sin(x) = ½ x 1 = /6 + 2k x 2 = ( /6) + 2k x 1 = /4 + 2k x 2 = ( /4) + 2k

41 ESEMPI tan(x) = 1 x = /4 + k cot(x) = -1 x = (3/4) + k


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