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Ordini Parziali - Reticoli. Tino CortesiTecniche di Analisi di Programmi 2 Insiemi parzialmente ordinati Nellanalisi di programmi ordini parziali e reticoli.

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1 Ordini Parziali - Reticoli

2 Tino CortesiTecniche di Analisi di Programmi 2 Insiemi parzialmente ordinati Nellanalisi di programmi ordini parziali e reticoli giocano un ruolo importantissimo Dato un insieme L, un ordine parziale su L è una relazione : L L {vero, falso} che gode delle proprietà: riflessiva: l L : l l transitiva: l 1, l 2, l 3 L : l 1 l 2 l 2 l 3 l 1 l 3 antisimmetrica: l 1, l 2 L : l 1 l 2 l 2 l 1 l 1 l 2 Un insieme parzialmente ordinato (L, ) è un insieme L sul quale è definito un ordine parziale.

3 Tino CortesiTecniche di Analisi di Programmi 3 Esempio a b c d e f g L= { a,b,c,d,e,f,g } ={( a,c), (a,e), (b,d), (b,f), (c,g), (d,g), (e,g), (f,g)} T (L, ) è un insieme parzialmente ordinato (finito)

4 Tino CortesiTecniche di Analisi di Programmi 4 Esempio L= N ={( 0,1), (1,2), (2,3), (3,4), (4,5),…} T (L, ) è un insieme totalmente ordinato (infinito)

5 Tino CortesiTecniche di Analisi di Programmi 5 Esempio L= N ={( n,m): k tale che m=n*k} (L, ) è un insieme parzialmente ordinato (infinito)

6 Tino CortesiTecniche di Analisi di Programmi 6 Esempio A partire dallo stesso insieme E={1,2,3,4,6,12} possono essere definiti diversi ordini parziali: Ordine usuale Ordine indotto dalla divisibilità Numeri dispari minori dei pari

7 Tino CortesiTecniche di Analisi di Programmi 7 Esempio Tutti i possibili insiemi parzialmente ordinati con tre elementi:

8 Tino CortesiTecniche di Analisi di Programmi 8 Composizione di ordini parziali Prodotto cartesiano Dati due ordini parziali ( P, p ) ed ( T, t ), il prodotto cartesiano ( P T, P T ) ha come elementi le coppie in {(p,t)) | p P, t T } Lordine parziale: (x,y) P T (x 2,y 2 ) x 1 P x 2 y 1 T y 2

9 Tino CortesiTecniche di Analisi di Programmi 9 Esempio (x 1,y 1 ) N N (x 2,y 2 ) x 1 N x 2 y 1 N y 2 ( N N, N N ) è un insieme parzialmente ordinato (infinito) N a bc b N N c a N N c

10 Tino CortesiTecniche di Analisi di Programmi 10 Composizione di ordini parziali Unione disgiunta Dati due ordini parziali ( P, p ) ed ( T, t ), lunione disgiunta ( P T, P T ) ha come elementi {x | x P oppure x T } Lordine parziale: x P T y x,y P e x P y oppure x,y t e x t y

11 Tino CortesiTecniche di Analisi di Programmi 11 Esempio P ( P T, P T ) T

12 Tino CortesiTecniche di Analisi di Programmi 12 Composizione di ordini parziali Somma lineare Dati due ordini parziali ( P, p ) ed ( T, t ), la somma lineare ( P t T, P T ) ha come elementi {x | x P oppure x T } Lordine parziale: x P t T y x,y P e x P y Oppurex,y t e x t y Oppurex P e y t.

13 Tino CortesiTecniche di Analisi di Programmi 13 Esempio P TP t T

14 Tino CortesiTecniche di Analisi di Programmi 14 lub e glb Dato un insieme parzialmente ordinato (L, ), un insieme Y di L ha un elemento l come upper bound se l Y : l l un insieme Y di L ha un elemento l come lower bound se l Y : l l Un least upper bound (lub) di Y è un upper bound l 0 di Y che soddisfa la seguente proprietà: l è un upper bound di Y l 0 l Un greatest lower bound (glb) di Y è un lower bound l 0 di Y che soddisfa la seguente proprietà: l è un lower bound di Y l l 0 Se un sottoinsieme Y di L ha un least upper bound, questo è unico (per la proprietà antisimmetrica dellordine parziale )

15 Tino CortesiTecniche di Analisi di Programmi 15 Esempio (x 1,y 1 ) N N (x 2,y 2 ) x 1 N x 2 y 1 N y 2 N Y lower bounds di Y upper bounds di Y lub(Y) glb(Y)

16 Tino CortesiTecniche di Analisi di Programmi 16 Esempio c dba g j ih fe T lub({b,c})= ? Gli upper bounds dellinsieme {b,c} sono {h,i,T} e questo insieme non ha un minimo elemento: Il lub non cè ! T ih

17 Tino CortesiTecniche di Analisi di Programmi 17 Esempio c dba g j ih fe T lub({a,b})= ? Gli upper bounds dellinsieme {a,b} sono {T,h,i,f} e questo insieme ha un f come minimo elemento: lub({a,b})= f ih f T

18 Tino CortesiTecniche di Analisi di Programmi 18 Down-sets e Up-sets Dato un insieme parzialmente ordinato P, Un sottoinsieme D di P è un down-set se per ogni x D, e per ogni y P, se y x allora y D. Un sottoinsieme D di P è un up-set se per ogni x D, e per ogni y P, se x y allora y D. c d b a {a,b,d} è un down-set {b,c,d} è un up-set {a,b} è un up-set ma non un down-set

19 Tino CortesiTecniche di Analisi di Programmi 19 Down-sets e up-sets In particolare, se Q è un qualsiasi sottoinsieme di P, definiamo Q = {y P | (esiste x Q) y x }è un down-set Q = {y P | (esiste x Q) x y }up-set Se x è un qualsiasi elemento di P, definiamo x = {y P | y x } y = {y P | x y } In questo caso si chiamano down-sets e up-sets principali

20 Tino CortesiTecniche di Analisi di Programmi 20 Down-sets e Up-sets {b,d} = {a,b,d} {c,d} = {b,c,d} b = {a,d} c = {d} d = {b,c} a = {b} b = {b} c d b a

21 Tino CortesiTecniche di Analisi di Programmi 21 Esempio Consideriamo linsieme dei numeri razionali positivi Q. Linsieme S={q P | q 2 2 } è un insieme chiuso verso il basso (down-set) che non è principale. Infatti non esiste nessun numero razionale q tale che S= q.

22 Tino CortesiTecniche di Analisi di Programmi 22 Lordine parziale dei down-sets di P Dato un insieme parzialmente ordinato P, la famiglia O(P) di tutti i down-sets di P è un insieme parzialmente ordinato. c d b a a {a,b,c,d} {a, c,d} {c,d} {a,b,d} {a,d} {d}{a}

23 Tino CortesiTecniche di Analisi di Programmi 23 Lemma Sia P un ordine parziale e x,y due suoi elementi. Sono equivalenti: x y Q O(P). y Q x Q Esercizio: dimostrarlo!

24 Tino CortesiTecniche di Analisi di Programmi 24 Catene Dato un insieme parzialmente ordinato (L, ), un sottoinsieme Y di L è una catena se l 1, l 2 Y : (l 1 l 2 ) (l 2 l 1 ) ovvero una catena è un sottoinsieme di L totalmente ordinato. Un insieme parzialmente ordinato (L, ) ha altezza finita se e solo se tutte le catene di L sono finite Una sequenza (l n ) n N di elementi di L è una catena ascendente se n m l n l m

25 Tino CortesiTecniche di Analisi di Programmi 25 Esempio: catene c dba g j ih fe T c dba g j ih fe T

26 Tino CortesiTecniche di Analisi di Programmi 26 Insiemi Diretti Sia (P, P ) un insieme parzialmente ordinato. Un sottoinsieme S di P si dice diretto se per ogni sottoinsieme finito F di S esiste un elemento di S che appartiene allinsieme degli upper bounds di F.

27 Tino CortesiTecniche di Analisi di Programmi 27 Esempi Linsieme S1 è diretto Linsieme S2 non è diretto S1 S2

28 Tino CortesiTecniche di Analisi di Programmi 28 Esempio T L= Z { T, } n Z : n T SF S non è un insieme diretto: non esiste un elemento di S che appartiene allinsieme degli upper bounds di F

29 Tino CortesiTecniche di Analisi di Programmi 29 Esempio T L= Z { T, } n Z : n T S F S è un insieme diretto: per ogni F finito esiste un elemento di S che appartiene allinsieme degli upper bounds di F

30 Tino CortesiTecniche di Analisi di Programmi 30 Insiemi diretti e catene Sia (P, P ) un insieme parzialmente ordinato. Ogni catena non vuota di P è un insieme diretto. Esercizio: dimostrarlo! c dba g j ih fe T

31 Tino CortesiTecniche di Analisi di Programmi 31 Insiemi diretti In ( N, ) linsieme S={X N | X è finito} è diretto? Dim: Sia F S, F finito. Devo dimostrare che esiste un upper bound di F che appartiene a S. Prendo come upper bound di F lunione degli insiemi in F. Lunione finita di insiemi finiti è finita (la cardinalità è al più la somma delle cardinalità degli insiemi), e quindi appartiene a S. In ( N, ) linsieme S={X N | N -X è finito} è diretto?

32 Tino CortesiTecniche di Analisi di Programmi 32 Reticoli Un reticolo è un insieme parzialmente ordinato (L, ) tale che per ogni coppia di elementi di L esiste il least upper bound ed il greatest lower bound. Se L è un insieme parzialmente ordinato non vuoto, e x y, allora lub({x,y}) y glb({x,y}) x. Per dimostrare che L è un reticolo basterà quindi verificare che per ogni coppia di elementi incomparabili esistano sia lub che glb.

33 Tino CortesiTecniche di Analisi di Programmi 33 Esempio Rivediamo tutti i possibili insiemi ordinati con tre elementi: sono reticoli? SI NO

34 Tino CortesiTecniche di Analisi di Programmi 34 Esempio a b c d e f g L= { a,b,c,d,e,f,g } ={( a,c), (a,e), (b,d), (b,f), (c,g), (d,g), (e,g), (f,g)} T (L, ) non è un reticolo: sia a che b sono lower bounds di Y, ma a e b sono incomparabili Y

35 Tino CortesiTecniche di Analisi di Programmi 35 Il reticolo dei down-sets Se P è un insieme ordinato e A e B sono due down-sets di P, allora: A B è un down-set A B è un down-set Linsieme O(P) dei down-sets di P è un reticolo: lub(A,B)= A B e glb(A,B)= A B. Il bottom del reticolo O(P) è linsieme vuoto Il top del reticolo O(P) è linsieme P

36 Tino CortesiTecniche di Analisi di Programmi 36 Il reticolo O(P) Esempio c d b a {a,b,c,d} {a, c,d} {c,d} {a,b,d} {a,d} {d}{a}

37 Tino CortesiTecniche di Analisi di Programmi 37 Esercizi Costruire il reticolo O(P) quando P è il seguente ordine parziale: c d b a e

38 Tino CortesiTecniche di Analisi di Programmi 38 CPO Un insieme parzialmente ordinato (P, P ) si dice CPO (insieme completo parzialmente ordinato) se: Esiste un elemento minimo (bottom) Per ogni sottoinsieme diretto S di P esiste lub(S).

39 Tino CortesiTecniche di Analisi di Programmi 39 Esempio E un CPO (cè il bottom e ogni sottoinsieme diretto ha lub), ma non è un reticolo

40 Tino CortesiTecniche di Analisi di Programmi 40 Reticoli completi Un reticolo completo è un insieme parzialmente ordinato (L, ) tale che tutti i sottoinsiemi di L hanno least upper bound e greatest lower bound. Se (L, ) è un reticolo completo, si denotano: = lub( )bottom element T = glb(L)top element Ogni reticolo finito è un reticolo completo Ogni reticolo completo è un CPO

41 Tino CortesiTecniche di Analisi di Programmi 41 Esempio {3}{2}{1} {2,3}{1,3}{1,2} {1,2,3} L= ({1,2,3}) = lub(Y) = Y glb(Y) = Y

42 Tino CortesiTecniche di Analisi di Programmi 42 Esempio {3}{2}{1} {2,3}{1,3}{1,2} {1,2,3} L= ({1,2,3}) = lub(Y) = Y glb(Y) = Y Y lub(Y) glb(Y)

43 Tino CortesiTecniche di Analisi di Programmi 43 Esempio T L= Z { T, } n Z : n T

44 Tino CortesiTecniche di Analisi di Programmi 44 Esempio L= Z + ordine totale su Z + lub = max glb = min E un reticolo, ma non completo: Ad es. linsieme dei pari non ha lub

45 Tino CortesiTecniche di Analisi di Programmi 45 Esempio T L= Z + { T } ordine totale su Z + { T } lub = max glb = min E un reticolo completo

46 Tino CortesiTecniche di Analisi di Programmi 46 Esempi L=R (numeri reali) con ordine totale (R, ) non è un reticolo completo: ad esempio {x R | x > 2} non ha lub Per ogni x

47 Tino CortesiTecniche di Analisi di Programmi 47 Teorema: Se (L, ) è un insieme parzialmente ordinato, sono equivalenti: 1. L è un reticolo completo 2. ogni sottoinsieme di L ha un least upper bound 3. ogni sottoinsieme di L ha un greatest lower bound Dimostrazione: 1 2 e 1 3 seguono immediatamente dalla definizione Per mostrare che 2 1, basta definire per ogni Y L glb(Y) = lub({l L | l Y : l l}) Tutti gli elementi dellinsieme a destra sono lower bounds dellinsieme Y. Quindi lub({...}) definisce un lower bound di Y. Poiché tutti i lower bound di Y appartengono allinsieme a destra, lub({...}) definisce il greatest lower bound di Y.

48 Tino CortesiTecniche di Analisi di Programmi 48 Y Esempio {3}{2}{1} {2,3}{1,3}{1,2} {1,2,3} Z= {l L | l Y : l l} lub(Z) glb(Y)= lub({l L | l Y : l l}) upper bounds di Z

49 Tino CortesiTecniche di Analisi di Programmi 49 Esempio Si consideri linsieme dei numeri interi non negativi, ordinati per divisione: n m se h tale che m=n*h Ricordiamo che k è il massimo comun divisore di due interi se: k divide sia n che m (e quindi k n e k m) Se j divide sia m che n, allora j divide k (cioè j k per tutti i lower-bounds j di {m,n}. Allora il massimo comun divisore di m ed n è proprio il greatest lower bound di m ed n (e dualmente, il minimo comune multiplo è il least upper bound). Si può dimostrare che è un reticolo completo.


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