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Ordini Parziali - Reticoli. Tino CortesiTecniche di Analisi di Programmi 2 Insiemi parzialmente ordinati Nellanalisi di programmi ordini parziali e reticoli.

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1 Ordini Parziali - Reticoli

2 Tino CortesiTecniche di Analisi di Programmi 2 Insiemi parzialmente ordinati Nellanalisi di programmi ordini parziali e reticoli giocano un ruolo importantissimo Dato un insieme L, un ordine parziale su L è una relazione : L L {vero, falso} che gode delle proprietà: riflessiva: l L : l l transitiva: l 1, l 2, l 3 L : l 1 l 2 l 2 l 3 l 1 l 3 antisimmetrica: l 1, l 2 L : l 1 l 2 l 2 l 1 l 1 l 2 Un insieme parzialmente ordinato (L, ) è un insieme L sul quale è definito un ordine parziale.

3 Tino CortesiTecniche di Analisi di Programmi 3 Esempio a b c d e f g L= { a,b,c,d,e,f,g } ={( a,c), (a,e), (b,d), (b,f), (c,g), (d,g), (e,g), (f,g)} T (L, ) è un insieme parzialmente ordinato (finito)

4 Tino CortesiTecniche di Analisi di Programmi 4 Esempio (x 1,y 1 ) N N (x 2,y 2 ) x 1 N x 2 y 1 N y 2 ( N N, N N ) è un insieme parzialmente ordinato (infinito) N a bc b N N c a N N c

5 Tino CortesiTecniche di Analisi di Programmi 5 Esempio Tutti i possibili insiemi ordinati con tre elementi:

6 Tino CortesiTecniche di Analisi di Programmi 6 lub e glb Dato un insieme parzialmente ordinato (L, ), un insieme Y di L ha un elemento l come upper bound se l Y : l l un insieme Y di L ha un elemento l come lower bound se l Y : l l Un least upper bound (lub) di Y è un upper bound l 0 di Y che soddisfa la seguente proprietà: l è un upper bound di Y l 0 l Un greatest lower bound (glb) di Y è un lower bound l 0 di Y che soddisfa la seguente proprietà: l è un lower bound di Y l l 0 Se un sottoinsieme Y di L ha un least upper bound, questo è unico (per la proprietà antisimmetrica dellordine parziale )

7 Tino CortesiTecniche di Analisi di Programmi 7 Esempio (x 1,y 1 ) N N (x 2,y 2 ) x 1 N x 2 y 1 N y 2 N Y lower bounds di Y upper bounds di Y lub(Y) glb(Y)

8 Tino CortesiTecniche di Analisi di Programmi 8 Esempio c dba g j ih fe T lub({b,c})= ? Gli upper bounds dellinsieme {b,c} sono {h,i,T} e questo insieme non ha un minimo elemento: Il lub non cè ! T ih

9 Tino CortesiTecniche di Analisi di Programmi 9 Esempio c dba g j ih fe T lub({a,b})= ? Gli upper bounds dellinsieme {a,b} sono {T,h,i,f} e questo insieme ha un f come minimo elemento: lub({a,b})= f ih f T

10 Tino CortesiTecniche di Analisi di Programmi 10 Reticoli Un reticolo è un insieme parzialmente ordinato (L, ) tale che per ogni coppia di elementi di L esiste il least upper bound ed il greatest lower bound. Se L è un insieme parzialmente ordinato non vuoto, e x y, allora lub({x,y}) y glb({x,y}) x. Per dimostrare che L è un reticolo basterà quindi verificare che per ogni coppia di elementi incomparabili esistano sia lub che glb.

11 Tino CortesiTecniche di Analisi di Programmi 11 Esempio Rivediamo tutti i possibili insiemi ordinati con tre elementi: sono reticoli? SI NO

12 Tino CortesiTecniche di Analisi di Programmi 12 Esempio a b c d e f g L= { a,b,c,d,e,f,g } ={( a,c), (a,e), (b,d), (b,f), (c,g), (d,g), (e,g), (f,g)} T (L, ) non è un reticolo: sia a che b sono lower bounds di Y, ma a e b sono incomparabili Y

13 Tino CortesiTecniche di Analisi di Programmi 13 Catene Dato un insieme parzialmente ordinato (L, ), un sottoinsieme Y di L è una catena se l 1, l 2 Y : (l 1 l 2 ) (l 2 l 1 ) ovvero una catena è un sottoinsieme di L totalmente ordinato. Un insieme parzialmente ordinato (L, ) ha altezza finita se e solo se tutte le catene di L sono finite Una sequenza (l n ) n N di elementi di L è una catena ascendente se n m l n l m

14 Tino CortesiTecniche di Analisi di Programmi 14 Esempio: catene c dba g j ih fe T c dba g j ih fe T

15 Tino CortesiTecniche di Analisi di Programmi 15 Insiemi Diretti Sia (P, P ) un insieme parzialmente ordinato. Un sottoinsieme S di P si dice diretto se per ogni sottoinsieme finito F di S esiste un elemento di S che appartiene allinsieme degli upper bounds di F.

16 Tino CortesiTecniche di Analisi di Programmi 16 Esempio T L= Z { T, } n Z : n T SF S non è un insieme diretto: non esiste un elemento di S che appartiene allinsieme degli upper bounds di F

17 Tino CortesiTecniche di Analisi di Programmi 17 Esempio T L= Z { T, } n Z : n T S F S è un insieme diretto: per ogni F finito esiste un elemento di S che appartiene allinsieme degli upper bounds di F

18 Tino CortesiTecniche di Analisi di Programmi 18 Insiemi diretti e catene Sia (P, P ) un insieme parzialmente ordinato. Ogni catena non vuota di P è un insieme diretto. c dba g j ih fe T

19 Tino CortesiTecniche di Analisi di Programmi 19 Insiemi diretti In ( N, ) linsieme S={X N | X è finito} è diretto? In ( N, ) linsieme S={X N | N -X è finito} è diretto?

20 Tino CortesiTecniche di Analisi di Programmi 20 CPO Un insieme parzialmente ordinato (P, P ) si dice CPO (insieme completo parzialmente ordinato) se: Esiste un elemento minimo (bottom) Per ogni sottoinsieme diretto S di P esiste lub(S).

21 Tino CortesiTecniche di Analisi di Programmi 21 Reticoli completi Un reticolo completo è un insieme parzialmente ordinato (L, ) tale che tutti i sottoinsiemi di L hanno least upper bound e greatest lower bound. Se (L, ) è un reticolo completo, si denotano: = lub( )bottom element T = glb(L)top element Ogni reticolo finito è un reticolo completo Ogni reticolo completo è un CPO

22 Tino CortesiTecniche di Analisi di Programmi 22 Esempio {3}{2}{1} {2,3}{1,3}{1,2} {1,2,3} L= ({1,2,3}) = lub(Y) = Y glb(Y) = Y

23 Tino CortesiTecniche di Analisi di Programmi 23 Esempio {3}{2}{1} {2,3}{1,3}{1,2} {1,2,3} L= ({1,2,3}) = lub(Y) = Y glb(Y) = Y Y lub(Y) glb(Y)

24 Tino CortesiTecniche di Analisi di Programmi 24 Esempio T L= Z { T, } n Z : n T

25 Tino CortesiTecniche di Analisi di Programmi 25 Esempio L= Z + ordine totale su Z + lub = max glb = min E un reticolo, ma non completo: Ad es. linsieme dei pari non ha lub

26 Tino CortesiTecniche di Analisi di Programmi 26 Esempio T L= Z + { T } ordine totale su Z + { T } lub = max glb = min E un reticolo completo

27 Tino CortesiTecniche di Analisi di Programmi 27 Esempi L=R (numeri reali) con ordine totale (R, ) non è un reticolo completo: ad esempio {x R | x > 2} non ha lub Per ogni x

28 Tino CortesiTecniche di Analisi di Programmi 28 Teorema: Se (L, ) è un insieme parzialmente ordinato, sono equivalenti: 1. L è un reticolo completo 2. ogni sottoinsieme di L ha un least upper bound 3. ogni sottoinsieme di L ha un greatest lower bound Dimostrazione: 1 2 e 1 3 seguono immediatamente dalla definizione Per mostrare che 2 1, basta definire per ogni Y L glb(Y) = lub({l L | l Y : l l}) Tutti gli elementi dellinsieme a destra sono lower bounds dellinsieme Y. Quindi lub({...}) definisce un lower bound di Y. Poiché tutti i lower bound di Y appartengono allinsieme a destra, lub({...}) definisce il greatest lower bound di Y.

29 Tino CortesiTecniche di Analisi di Programmi 29 Y Esempio {3}{2}{1} {2,3}{1,3}{1,2} {1,2,3} Z= {l L | l Y : l l} lub(Z) glb(Y)= lub({l L | l Y : l l}) upper bounds di Z


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