La presentazione è in caricamento. Aspetta per favore

La presentazione è in caricamento. Aspetta per favore

1 2. Introduzione alla probabilità Definizioni preliminari: Prova: è un esperimento il cui esito è aleatorio Spazio degli eventi elementari : è linsieme.

Presentazioni simili


Presentazione sul tema: "1 2. Introduzione alla probabilità Definizioni preliminari: Prova: è un esperimento il cui esito è aleatorio Spazio degli eventi elementari : è linsieme."— Transcript della presentazione:

1 1 2. Introduzione alla probabilità Definizioni preliminari: Prova: è un esperimento il cui esito è aleatorio Spazio degli eventi elementari : è linsieme di tutti i possibili esiti Evento casuale: è un sottoinsieme A di ( A ) Un evento casuale può essere impossibile A = certo A =

2 2 Variabili aleatorie Ogni evento w può essere associato in modo biunivoco a un numero attraverso una particolare legge. Tale corrispondenza viene detta variabile aleatoria (v.a.) X(w). Una variabile aleatoria X(w) (o più semplicemente X) può essere: discreta se assume solo un insieme finito o numerabile di valori X N continua altrimenti X R Nel seguito indicheremo con X le v.a. e con x i valori che esse possono assumere.

3 3 Variabili aleatorie discrete Una variabile aleatoria discreta è completamente definita dalla coppia (X, ) dove X = {x 1, …, x n } N e ={ x1, …, xn } dove xi = Pr(x i ). Naturalmente Esempio: lancio di 2 monete. Il numero di teste è una variabile aleatoria. 1/21 insieme non numerico insieme numerico

4 4 La funzione di distribuzione (cumulativa) F X (x) di una v.a. discreta X esprime la probabilità che X assuma un valore minore o uguale ad x: F X (x) = Pr (X x) Esempio: numero di teste nel lancio di 2 monete 1/4 1/2 3/4 1 F X (x) x /2 1/4

5 5 Valore atteso o media Varianza E[X] 1 x Pr(x) Var[X]=0

6 6 Esempio: numero di teste nel lancio di 2 monete 1/21 E[X] = 0 ·1/4 + 1 ·1/2 + 2 ·1/4 = 1 Var[X] = (0-1) 2 ·1/4 + (1-1) 2 ·1/2 + (2-1) 2 ·1/4 = 1/4 + 1/4 = 1/2

7 7 Variabili aleatorie continue Linsieme degli eventi di una v.a. continua è un insieme continuo R. Le v.a. continue sono caratterizzate mediante la funzione densità di probabilità (x). (x 1 )dx = Pr(x [x 1, x 1 +dx]) x1x1 x 1 +dx (x) x

8 8 La funzione di distribuzione (cumulativa) F X (x) esprime la probabilità che X assuma un valore minore o uguale ad x: Chiaramente la funzione F X (x) è una funzione monotona non decrescente e F X (+ )=1. Valore atteso o media Varianza

9 9 Variabile aleatoria uniforme continua (x) x ab 1/(b-a) E[X]=(a+b)/2 Var[X]=(b-a) 2 /12 Variabile aleatoria esponenziale (x) = e - x x x R + {0} E[X]=1/ Var[X]= 1/ 2

10 10 Variabile aleatoria normale o gaussiana Var[X]= 2 x (x) E[x]=

11 11 Se la distribuzione è normale allora il valore medio è anche il valore più probabile. La somma di v.a. gaussiane indipendenti è ancora una v.a. gaussiana indipendente la cui media è pari alla somma delle medie e la cui varianza è pari alla somma delle varianze. Una v.a. gaussiana è detta standard se E[X]=0 e Var[X]=1.

12 12 3. Processi Stocastici Un processo stocastico è una funzione del tempo i cui valori x(t) ad ogni istante di tempo t sono v.a. Notazione: X : insieme di possibili valori t T : generico istante di tempo (T: insieme dei possibili istanti di tempo) (t) : funzione di probabilità o di densità di probabilità allistante di tempo t (X, (t)) t T

13 13 Una realizzazione di un processo stocastico (X, (t)) t T è una particolare evoluzione x(t) per t T. Esempio: si lancia una moneta per un numero infinito di volte agli istanti t=0,1,2,… X={0,1} dove x 0 =0 : esce testa e x 1 =1 : esce croce. tempo x i (x i ) 0 1/2 1 1/2 0 1/2 1 1/2 : : : 0 1 (X, (0)) (X, (1)) t x i : : possibile realizzazione

14 14 Esempio: si lancia una moneta allistante t=0 e la si lascia nella stessa posizione per ogni t > 0. La tabella (tempo, x i, (x i )) è uguale alla precedente ma vi sono solo 2 possibili realizzazioni tempo x i (x i ) 0 1/2 1 1/2 0 1/2 1 1/2 : : : 0 1 t x 1 x : : : La tabella (tempo, x i, (x i )) non è sufficiente per descrivere completamente un processo stocastico.

15 15 I processi stocastici vengono classificati come segue: a stati continui (X è un insieme continuo, ad es. X=R) a stati discreti (X è un insieme discreto, ad es. X={x 1,x 2,…,x n }) a stati finiti se n < + a stati infiniti se n = + sono anche detti catene

16 16 Esiste anche unaltra classificazione dei processi stocastici a tempo continuo (T è un insieme continuo, ad es. T=R + {0}) a tempo discreto (T è un insieme discreto, ad es. T=N)

17 17 Processi stocastici stazionari (in senso stretto) Un p.s. è detto stazionario se tutte le sue funzioni di probabilità (o densità di probabilità) sono stazionarie ossia invarianti per traslazioni nel tempo. x1,x2,…,xn (t 1,t 2,…,t n ) = x1,x2,…,xn (t 1 +,t 2 +,…,t n + ) n 1 t 1 < t 2 < … < t n x 1, x 2, …, x n X T

18 18 Processi stocastici stazionari nella media Per ogni istante di tempo t T (X, (t)) è una v.a. con media x (t). Un p.s. è stazionario nella media se t T x (t) = Stazionarietà in senso stretto Stazionarietà nella media

19 19 Esempio: si lancia una moneta per un numero infinito di volte agli istanti t=0,1,2,… X={0,1} dove x 0 =0 : testa e x 1 =1 : croce. x (0) = 1/2 x (1) = 1/2 : È stazionario in senso stretto. Esempio: si lancia una moneta allistante t=0 e la si lascia nella stessa posizione per ogni t > 0. x (0) = x (1) = … = 1/2

20 20 Esempio: Una macchina può essere guasta x 0 =0 o funzionante x 1 =1 ( X={0,1} ). Vogliamo studiare la probabilità che la macchina sia guasta in un certo anno T={0, 1, …, } (anni di funzionamento). Ovviamente tale probabilità aumenta con gli anni. 0 (t)=1-(0.9) t 1 (t)=(0.9) t Non è stazionario nella media :

21 21 Processi stocastici ergodici processi a tempo discreto processi a tempo continuo Tale p.s. è ergodico se: 1) il limite esiste 2) tale limite non dipende dalla particolare realizzazione 3) Si consideri un p.s. stazionario e sia la media di ogni v.a. (X, (t)), t T. Per ogni possibile realizzazione posso calcolare

22 22 Lo studio di un p.s. ergodico può pertanto essere effettuato sulla base di una sola realizzazione. Esempio: si lancia una moneta per un numero infinito di volte agli istanti t=0,1,2,… X={0,1} dove x 0 =0 : testa e x 1 =1 : croce. x (0) = 1/2 x (1) = 1/2 … Esempio: si lancia una moneta allistante t=0 e la si lascia nella stessa posizione per ogni t > 0. Ho solo 2 possibili realizzazioni. Il limite esiste ma dipende dalla realizzazione. ergodico non ergodico

23 23 I Processi di Poisson Un processo di Poisson conta quante volte si verifica un evento nellunità di tempo supponendo che le seguenti ipotesi siano verificate: 1. Ogni evento si verifica ad intervalli di tempo casuali. 2. Gli accadimenti sono indipendenti luno dallaltro. 3. La probabilità che si verifichino x N eventi nellunità di tempo è con R + parametro opportuno.

24 24 4. p(x) non dipende dallistante di tempo t, cioè x N e t R Pr{che si verifichino x eventi in [0,1]} = Prob{che si verifichino x eventi in [t,t+1]}. p(x) x < 1 p(x) x > 1

25 25 Esempio: Il processo degli arrivi in coda ad un semaforo è Poissoniano? Se il precedente semaforo è molto lontano potrebbe esserlo poiché gli arrivi sarebbero indipendenti. Se invece il precedente semaforo è vicino, allora le macchine arrivano generalmente a piccoli gruppi e non sono indipendenti.

26 26 Un processo di Poisson genera una v.a. discreta (X,p) con x=N. Se per lo stesso processo contiamo la distanza temporale che intercorre tra 2 eventi consecutivi (tempo di inter-evento) otteniamo una v.a. continua. Il p.s. è allora (Xc,f) dove ora Xc=R + ed f è una funzione densità di probabilità. Si può dimostrare che i tempi di inter-evento di un p. di P. di parametro hanno una distribuzione esponenziale di parametro

27 27 Mediamente si verificano eventi nellunità di tempo o equivalentemente, il tempo che mediamente passa tra loccorrenza di un evento e del suo successivo è 1/. Osservazione: La somma di 2 processi Poissoniani di parametro 1 e 2 è ancora un processo Poissoniano di parametro =


Scaricare ppt "1 2. Introduzione alla probabilità Definizioni preliminari: Prova: è un esperimento il cui esito è aleatorio Spazio degli eventi elementari : è linsieme."

Presentazioni simili


Annunci Google