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Funzionedidistribuzione Funzione di distribuzione (detta anche cumulativa o di ripartizione) X = variabile aleatoria quantitativa = insieme dei risultati.

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Presentazione sul tema: "Funzionedidistribuzione Funzione di distribuzione (detta anche cumulativa o di ripartizione) X = variabile aleatoria quantitativa = insieme dei risultati."— Transcript della presentazione:

1 Funzionedidistribuzione Funzione di distribuzione (detta anche cumulativa o di ripartizione) X = variabile aleatoria quantitativa = insieme dei risultati di un esperimento per i quali X risulta non superiore a x funzione monotona non decrescente Proprietà

2 Funzionedidistribuzionediscreta Funzione di distribuzione discreta

3 Funzionedidistribuzionecontinua Funzione di distribuzione continua

4 Densitàdiprobabilità Densità di probabilità X continua Proprietà

5 Densità di probabilità gaussiana x1x1 x2x2

6 Affidabilitàdiunsistema(sanitario) Affidabilità di un sistema (sanitario) Probabilità che il sistema continui a erogare lo stesso servizio dopo un prefissato tempo t trascorso dal suo iniziale funzionamento T = durata di funzionamento, v.a. continua Probabilità di guasto nellintervallo (t, t+dt) Probabilità di guasto entro il tempo t

7 Funzionedidistribuzionecondizionata Funzione di distribuzione condizionata Con riferimento ad un esperimento qualsiasi, sia M un evento, tale che P(M)>0 e sia X una v.a. associata allinsieme S dei possibili risultati, si definisce funzione di distribuzione F X (x/M) della v.a. X,condizionata da M, la probabilità condizionata dellevento {X x}: P{X x, M} consiste di tutti i risultati tali che X( ) x e M

8 Densitàdi probabilità condizionata Densità di probabilità condizionata Per v.a. continue, si definisce analogamente la densità di probabilità condizionata: La f X (x/M) gode di tutte le proprietà della densità di probabilità ordinarie

9 Affidabilitàcondizionata Affidabilità condizionata Con riferimento allaffidabilità del sistema si voglia valutare la probabilità di guasto, condizionata al fatto che il sistema sia ancora funzionante al tempo t

10 Tassodiguasto Tasso di guasto Probabilità che il sistema si guasti nellintervallo (t, t+dt) supposto che non si sia guastato prima di t Il tasso di guasto è solo funzione del tempo, coincide con la d.p. condizionata solo per = t La costante di integrazione è nulla perché Integrando si ottiene la probabilità di guasto entro il tempo t

11 Funzionideltassodiguasto Funzioni del tasso di guasto Proprietà Prima o poi il sistema si guasta Es.: valutare le funzioni per (t) costante = d.p. esponenziale e per = kt (k costante) d.p. di Rayleigh

12 Sistemaserie Sistema serie Il guasto di una unità pregiudica il funzionamento dellintero sistema Eventi indipendenti Si dimostra facilmente come, nel caso di tasso di guasto costante per tutte le unità, si abbia 12n

13 Sistemaparallelo Sistema parallelo Numero di unità superiori a quelle strettamente necessarie (ridondanti) P.es. nelle emergenze Il sistema è guasto solo se tutte le unità sono guaste, cioè, in alternativa, funziona se almeno una unità è funzionante Es.: nellipotesi di unità tutte ugualmente affidabili, valutare laffidabilità del sistema parallelo se si ritiene funzionante quando almeno 2 unità funzionano 1 2 n

14 Valoremedio Valore medio Indice che descrive sinteticamente la statistica di un esperimento probabilistico. È il valore più significativo e rappresenta il baricentro dellesperimento. È detto anche valore atteso (expected value). Tranne in casi particolari, non è però è il punto più probabile (moda) nel caso X sia continua se X è discreta

15 Momenti di ordine k Forniscono una più completa caratterizzazione della statistica della v.a. X continua X discreta

16 Momenti centrali di ordine k Varianza Operano sugli scarti dal valor medio ed eliminano leffetto della posizione dellorigine nella scala di misura Il momento centrale del secondo ordine è detto varianza e rappresenta la dispersione dei valori del fenomeno attorno al valor medio

17 Disuguaglianza di Chebyshev Vale per qualsiasi v.a. con varianza finita e f X (x) arbitraria Garantisce che tutti i valori sono addensati attorno al valor medio definisce un limite dal valor medio oltre il quale la probabilità di X è nota (attraverso la varianza) ed è sufficientemente bassa Applicazioni: scarto di valori di misura estremi (a ds e sn), che hanno poca probabilità di accadere; pulizia dati. Es.: volendo scartare il 5% di dati si fissa =0.025

18 Funzionedidistribuzionecongiunta di due o più v.a. quantitative Funzione di distribuzione congiunta di due o più v.a. quantitative = insieme dei risultati di un esperimento per i quali risulta sia X non superiore a x, sia Y non superiore a y

19 Indipendenza Date due o più v.a. quantitative, esse sono indipendenti se:

20 Probabilitàcongiuntadidueeventidiscreti Probabilità congiunta di due eventi discreti Per semplicità consideriamo due v.a. X e Y discrete o qualitative e rappresentiamo le probabilità dei rispettivi eventi A e B nello spazio S degli eventi. La probabilità congiunta è rappresentata dallintersezione, cioè: S Diagramma di Venn B A A B

21 TeoremadiBayes Teorema di Bayes Discende dalla probabilità congiunta Inferenza bayesiana: la probabilità a posteriori (condizionata) di un evento A può essere valutata attraverso la sua probabilità a priori e le probabilità di un evento B che condiziona A. B è unevento già accaduto, rappresenta linformazione incorporata nel meccanismo inferenziale e contribuisce a ridurre lincertezza nella stima di A aumento della probabilità a posteriori

22 Densitàdiprobabilitàcongiunta didue v.a. continue Densità di probabilità congiunta di due v.a. continue Per analogia al caso discreto si ha:

23 TeoremadiBayesper v.a. quantitative Teorema di Bayes per v.a. quantitative X, Y continue X discreta Y continua X continua Y discreta X, Y generiche

24 Funzioni di distribuzione marginali Date due v.a. X, Y quantitative, si ha: È noto anche che:

25 Densità di probabilità marginali Se X e Y sono continue, si hanno le densità di probabilità marginali: In base alla formula delle d.p. congiunte si trova:

26 Proprietàdellamarginalizzazione Proprietà della marginalizzazione Data una v.a. continua che assume valori, è sempre possibile esprimere la densità di probabilità di unaltra v.a. X, come:


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