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IDROLOGIA. ELEMENTI DI STATISTICA PER LANALISI DELLE PRECIPITAZIONI.

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Presentazione sul tema: "IDROLOGIA. ELEMENTI DI STATISTICA PER LANALISI DELLE PRECIPITAZIONI."— Transcript della presentazione:

1 IDROLOGIA

2 ELEMENTI DI STATISTICA PER LANALISI DELLE PRECIPITAZIONI

3 Flussi allinterno del ciclo idrologico. I valori sono espressi in relazione alla precipitazione annuale sulla superficie terrestre ( 100 = Km 3 / anno)

4 Le variabili casuali di interesse possono essere diverse a seconda del problema: quando si affrontano problemi relativi alluso delle risorse idriche le variabili casuali da considerare possono essere: - pioggia media annua - portata media annua - pioggia media del periodo asciutto - portata media del periodo asciutto - numero max di giorni consecutivi non piovosi nellanno; - minimo annuale del deflusso medio in k giorni consecutivi. Gran parte delle grandezze che governano i fenomeni idrologici sono aleatorie e quindi descrivibili attraverso variabili casuali da studiare con i metodi probabilistici. Quando, invece, si affrontano problemi di difesa dalle piene o problemi di progetto di un opera idraulica (collettori, briglie, ecc.) le variabili casuali che interessano sono: - max annuale delle piogge di t ore (t varia tra 0.5 e 24 ore); - max annuale delle piogge di k giorni consecutivi (k varia tra 1 e 5 o 10) - max annuale della portata al colmo - max annuale della portata media in k ore consecutive (k varia tra 0.5 e 1.2); - massimo annuale della portata media giornaliera; Per la variabile idrologica da considerare come variabile casuale è importante definire il passo temporale di misura (1 ore, t ore, 1 giorno, k giorni, ecc.), il valore da considerare (massimo, minimo, media, valore totale), lorizzonte temporale di riferimento (anno, periodo secco, mese, etc.).

5 Variabili aleatorie e Probabilità Variabile aleatoria o stocastica o casuale X è una variabile che può assumere uno qualunque dei valori di un insieme finito o infinito; tale variabile può essere discreta o continua e a ciascuno dei suoi valori è associata una probabilità, nel caso di variabile discreta, ovvero una densità di probabilità nel caso di variabile continua. Definiamo come Probabilità la scala di misura utilizzata per descrivere la possibilità di accadimento di uno specifico evento al quale è associato un valore di una variabile casuale X. La scala sulla quale viene misurata la probabilità di un evento è compresa nel range 0 1 dove il valore 0 indica limpossibilità che levento si verifichi, mentre il valore 1 indica la certezza dellevento.

6 Variabili aleatorie e Probabilità La Probabilità di una variabile aleatoria discreta X è descritta da una funzione di massa p che definisce la possibilità che la variabile aleatoria X assuma il valore x k e si indica come: Condizioni da rispettare: dove N è il numero totale di valori possibili per la variabile X. Si definisce la distribuzione cumulata (di massa) di Probabilità della variabile aleatoria discreta X: La distribuzione cumulata di Probabilità indica la probabilità che la variabile aleatoria X assuma valori minori o uguali a x k (PROBABILITA DI NON SUPERAMENTO)

7 Variabili aleatorie e Probabilità La Probabilità di una variabile aleatoria continua X è descritta dalla funzione f di densità di probabilità (PDF). In particolare la probabilità che la variabile casuale X assuma un valore compreso nellintervallo x 1 -x 2 è data da Condizioni da rispettare: dove N è il numero totale di valori possibili per la variabile X. Si definisce la distribuzione di probabilità cumulata (CDF) della variabile aleatoria continua X: La funzione CDF indica la probabilità che la variabile aleatoria X assuma valori minori o uguali a x k (PROBABILITA DI NON SUPERAMENTO)

8 La funzione di probabilità cumulata o probabilità di non superamento è funzione, oltre che del valore della variabile casuale in esame, di altri parametri β da stimare. La probabilità di superamento Il frattile xP indica il valore della variabile casuale X che ha probabilità P di non essere superato: Si definisce popolazione linsieme di tutti i valori che la variabile casuale X può assumere in determinate condizioni ambientali, ovvero in condizioni che sono rimaste immutate rispetto al passato e che resteranno tali anche in futuro, almeno per i tempi che interessano la sede applicativa. Si definisce campione di dimensione N, la serie statistica costituita da N valori x1, x2, ……,xi,……xN assunti dalla X in una determinata stazione di misura o estratti in maniera casuale dalla popolazione. Si definisce tempo di ritorno T associato ad un dato valore x di una variabile casuale X, il periodo (anni se stiamo analizzando dati annuali) che bisogna attendere perché si verifichi nuovamente un determinato evento.

9 Rischio (di superamento) Si definisce rischio (di superamento) associato ad un certo valore di una variabile casuale la probabilità che tale valore sia superato almeno una volta in un numero prefissato di anni N Nel caso in cui N coincide con la durata prevista dellopera che si sta progettando il rischio di superamento fornisce la probabilità che tale opera risulti insufficiente almeno una volta nel corso della sua vita.

10 Rischio (di superamento)

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12 Probabilità e Frequenza I dati misurati di una variabile aleatoria X sono generalmente limitati. Lo studio statistico sulla variabile si sviluppa quindi su campioni limitati. Ordinando il campione in senso crescente si può definire la Frequenza cumulata di non superamento del dato i-esimo pari a F = i/N, dove i è il numero dordine dei diversi valori ed N la numerosità del campione. Si può quindi costruire la curva di frequenza cumulata disponendo sulle ascisse il valore del singolo dato e in ordinate la corrispondente F. Campioni diversi della stessa variabile casuale danno origine a diverse curve di frequenza cumulata !!! Se N ogni curva di frequenza cumulata tende ad ununica curva limite che è la distribuzione di probabilità della variabile casuale a cui appartengono i campioni.

13 Probabilità e Frequenza 3 campioni di dati misurati Frequenza cumulata per i 3 campioni e distribuzione di probabilità (CDF)

14 Proprietà di un campione di una Variabile casuale Una serie di dati numerici è descritta da 3 proprietà principali: 1)Tendenza centrale o posizione 2)Dispersione o variabilità 3)Forma Le misure sintetiche descrittive di queste proprietà sono chiamate: statistiche, se relative ad un campione di dati parametri, se descrivono lintera popolazione o universo dei dati. Di una variabile aleatoria generalmente non si conosce lintera popolazione, ma si dispone solo di campioni limitati (realizzazioni). Gli indici relativi alle precedenti proprietà vengono derivati dai momenti del campione.

15 Momenti Per una serie di dati i momenti m di ordine k calcolati rispetto ad un punto c sono dati dalla relazione: c = 0 => momento rispetto allorigine c = media => momento rispetto alla media = momento centrale Media => Momento di ordine 1 (k=1) rispetto allorigine Varianza => Momento centrale di ordine 2 (k=2) Il momento di ordine 1 descrive le proprietà relative alla tendenza centrale del campione; Il momento di ordine 2 descrive le proprietà relative alla dispersione del campione; I momenti di ordine superiore descrivono le proprietà relative alla forma del campione.

16 Tendenza centrale Le misure di tendenza centrale servono per individuare il valore intorno al quale i dati sono raggruppati. Le misure di tendenza centrale sono: Media => Mediana => è il valore che occupa la posizione centrale in un insieme ordinato di dati Moda => è il valore più frequente di un campione di dati

17 Dispersione Le misure di dispersione servono a descrivere come la popolazione si distribuisce intorno al suo valore centrale. La misura della dispersione è generalmente fornita dalla varianza. Varianza della popolazione => Varianza del campione => Scarto quadratico medio o deviazione standard => ( ovvero s)

18 Forma Le misure di forma servono a descrivere la forma della distribuzione. Coefficiente di asimmetria => Curtosi => Quando media, mediana e moda non coincidono la distribuzione è asimmetrica. La coincidenza di questi tre valori è condizione solo necessaria ma non sufficiente perché la distribuzione sia simmetrica.

19 La prima fase dellanalisi idrologica individua le grandezze idrologiche di interesse e le stazioni di misura. Si procede quindi alla raccolta dei dati, alla loro analisi statistica ed alla valutazione dei valori che le variabili indagate potranno assumere nel futuro. La stima dei valori di una qualsiasi variabile idrologica consiste essenzialmente nella determinazione della sua funzione di probabilità cumulata P(x) ovvero nella identificazione della relazione x = x (T), che lega la variabile al periodo di ritorno T R Le analisi statistiche dei fenomeni idrologici si basano essenzialmente sulluso delle distribuzioni di probabilità, quindi, è utile un breve richiamo delle principali definizioni di statistica e delle distribuzioni di probabilità più comunemente adoperate nello studio di tali grandezze. Nelle analisi statistiche si seguono generalmente le seguenti fasi: - formulazione dellipotesi sulla composizione della popolazione della X, individuando quale fra le distribuzioni di probabilità quella che meglio si adatta a descrivere la popolazione; - calcolo deii parametri, in funzione degli N valori osservati della X. In questo modo si trovano le migliori stime dei parametri che caratterizzano la distribuzione utilizzata traendo dal campione la massima informazione sulla popolazione da cui esso proviene; - verifica dellipotesi, con test statistici atti a verificare che gli scarti che si riscontrano fra la composizione della popolazione e quella del campione siano o meno significativi. ANALISI STATISTICA

20 DISTRIBUZIONI DI PROBABILITA Una variabile X si dice distribuita secondo la legge Normale (o distribuita normalmente) se la sua funzione distribuzione di probabilità cumulata (PDF) e la sua funzione distribuzione di probabilità cumulata (CDF) hanno rispettivamente la forma : in cui le grandezze μ e σ sono i parametri della distribuzione e ne rappresentano rispettivamente la media e lo scarto quadratico medio. Sostituendo alla variabile X la variabile ausiliaria U definita come chiamata variabile ridotta standardizzata, che ha media zero e scarto quadratico medio uno, la CDF diventa: Landamento della P(u) è noto ed esistono tabelle che ne associano il valore ad ogni valore di u (funzione DISTRIB.NORM.ST. di EXCEL).

21 DISTRIBUZIONI DI PROBABILITA Una variabile X si dice distribuita secondo la legge log-Normale se la variabile trasformata è distribuita normalmente. Per la Y valgono la PDF e la CDF della distribuzione bormale nelle quali i parametri sono μ Y =μ(log(X) e σ Y =σ(log(X).

22 LE DISTRIBUZIONI DEI VALORI ESTREMI Lanalisi statistica degli estremi idrologici si può condurre secondo due diversi approcci non alternativi. Il primo consiste nel considerare solo i massimi (o minimi) valori in un assegnato intervallo di tempo, generalmente un anno, utilizzando cioè la serie dei massimi (minimi) annuali e quindi un valore per ogni anno. Il secondo approccio, invece, tiene conto di tutti i valori che eccedono (o sono inferiori) una soglia arbitrariamente prefissata, in genere abbastanza elevata (bassa), e si basa quindi su un numero annuo di eventi che può cambiare da anno in anno. In un caso si estrae dal campione di dati idrologici solo la serie dei massimi (minimi) annuali, nellaltro quella dei valori superiori (inferiori) ad una soglia. Il processo dei massimi annuali Allinterno dei modelli probabilistici, che schematizzano il processo dei massimi annuali, particolare sviluppo hanno quelli derivanti da alcuni classici risultati asintotici del calcolo delle probabilità. Se si considerano i massimi annuali X di una grandezza idrologica (piogge giornaliere, portate al colmo, etc.) come i massimi di una serie di N variabili casuali Yi (i=1, ….N), indipendenti e identicamente distribuite, è possibile, per N tendente ad infinito, individuare la distribuzione asintotica di X a prescindere dalla distribuzione delle Y, ma soltanto in base allandamento della sua coda superiore (ovvero di come la funzione di probabilità cumulata delle Y tende ad uno). In particolare le distribuzioni asintotiche possono essere di tre tipi: - distribuzione EV1 o di Gumbel; - distribuzione EV2 o di Frechet; - distribuzione EV3 o di Weibull.

23 Distribuzione EV1 o di Gumbel La funzione di ripartizione (CDF) della distribuzione di Gumbel, o distribuzione del massimo valore del primo tipo, EV1 (Extreme Value Type-1), ha la seguente espressione: I parametri della distribuzione di Gumbel si possono ottenere in funzione della media μ e dello scarto quadratico medio σ attraverso le relazioni:

24 Stima della distribuzione di probabilità La stima della distribuzione di probabilità (CDF) di una variabile aleatoria X, a partire da un campione limitato di dati misurati della stessa variabile, si sviluppa secondo le seguenti fasi: Scelta della forma più opportuna della curva CDF Stima ottimale dei parametri della curva in funzione delle caratteristiche del campione di osservazioni disponibili Test di adattamento del campione alla distribuzione stimata

25 Curve di caso critico e curve di possibilità pluviometrica Le curve di caso critico (CCC) e le curve di possibilità pluviometrica (CPP) esprimono la relazione fra le altezze max di precipitazione h (o le intensità) e la loro durata θ, per un assegnato valore del tempo di ritorno T R. Le curve di caso critico si ottengono a partire da campioni di altezze (o intensità) max annuali di pioggia misurate in N anni di osservazione per diverse durate elaborati considerando unicamente la frequenza cumulata allinterno del campione. Le curve di possibilità pluviometrica si ottengono invece a partire da campioni di altezze (o intensità) max annuali di pioggia misurate in N anni di osservazione per diverse durate elaborati ipotizzando una distribuzione di probabilità per la variabile casuale altezza max annuale di pioggia per assegnata durata. Queste relazioni sono spesso indicate anche come curve di possibilità climatica o, ancora, linee segnalatrici di probabilità pluviometrica. DDF Depth-Duration-Frequency IDF Intensity-Duration-Frequency Diverse espressioni sono utilizzate per descrivere le CCC e le CPP. In Italia sono generalmente utilizzate leggi di potenza monomie del tipo:

26 Curve di possibilità pluviometrica La determinazione delle CPP si ottiene dallanalisi delle CDF, costruite per le serie storiche dei massimi annuali delle piogge intense di breve durata (ad esempio ½,1, 3, 6, 12, 24 ore),adattando a ciascuna di esse un predefinito modello probabilistico (ad es. Gumbel) i cui parametri vengono stimati a partire dai campioni. Dalle CDF, fissato il periodo di ritorno T (ad es. 10, 20, 50, 100, 200, 1000 anni) e per ciascuna durata è possibile, quindi, ricavare il valore h θ,TR. I valori così determinati vengono riportati su un diagramma (h, θ) ed interpolati mediante curve del tipo. Per la stima dei parametri a ed n di ciascuna curva conviene considerare la trasformata logaritmica dei valori delle precipitazioni e delle durate ed applicare il metodo dei minimi quadrati. Passando ai logaritmi la precedente diventa l espressione lineare ovvero che è lequazione di una retta di intercetta α e coefficiente angolare n.

27 Regressione lineare minimi quadrati

28 Note N coppie di valori (h,θ) riferite ad uno stesso periodo di ritorno, i coefficienti α ed n possono essere determinati approssimando la retta dellequazione con la retta di interpolazione dei minimi quadrati.Tale retta di interpolazione è quella che minimizza la somma dei quadrati delle distanze tra la retta stessa ed i punti individuati dalle M coppie di valori noti.

29 θ (ore) h (mm) C.P.P. (h=aθ n -> DDF)

30 Ietogramma La variazione dellintensità di pioggia nel tempo, durante un evento piovoso prende il nome di Ietogramma di pioggia Con ietogramma di progetto si intende un evento pluviometrico generato sinteticamente con lobiettivo di pervenire ad un corretto dimensionamento delle opere. E dedotto da analisi statistiche sulla base di osservazioni pluviometriche e ad esso è associato un tempo di ritorno Tr.

31 Ietogrammi di progetto IETOGRAMMA COSTANTE: è dedotto dalle curve di possibilità pluviometrica ipotizzando un andamento costante dellintensità di pioggia nel tempo durante levento. IETOGRAMMA TRANGOLARE: è caratterizzato da unintensità media pari a quella ricavabile dalla curva IDF per la stessa durata, una intensità di punta pari al doppio dellintensità media ed un rapporto tp/, tra istante del picco e durata dellevento, stimato in base agli eventi storici IETOGRAMMA CHICAGO: è definito in modo tale che lintensità media della precipitazione da esso descritta è congruente per ogni durata con quella definita dalla curva di possibilità pluviometrica

32 Ietogrammi di progetto triangolare rettangolare

33 Ietogrammi di progetto IETOGRAMMA CHICAGO: è definito in modo tale che lintensità media della precipitazione da esso descritta è congruente per ogni durata con quella definita dalla curva di possibilità pluviometrica

34 Ietogrammi di progetto Differenziando lespressione precedente si ottiene IETOGRAMMA CHICAGO: è definito in modo tale che lintensità media della precipitazione da esso descritta è congruente per ogni durata con quella definita dalla curva di possibilità pluviometrica Dividendo la durata parziale in due parti a e b, di cui b =r (r<1) è la parte precedente il picco di intensità e a =(1-r) è la parte che segue il picco di intensità

35 Ietogrammi di progetto Dove a è il tempo contato dal picco verso la fine della pioggia, b è il tempo contato dal picco verso linizio della pioggia ed r il rapporto tra il tempo prima del picco e la durata totale dellevento. r va individuato da indagini statistiche della zona di interesse. Generalmente nei bacini urbani 0.3

36 Distribuzione spaziale delle piogge Gli eventi piovosi risultano non uniformemente distribuiti sullarea interessata. La disuniformità dipende da molteplici fattori legati allorografia, alla distribuzione delle masse daria umida, alla distanza dal mare, ecc. Lafflusso di pioggia su di unarea estesa pertanto non può essere valutato semplicemente da osservazioni in ununica stazione pluviometrica. Se nellarea sono disponibili più pluviometri lafflusso deve essere calcolato utilizzando le informazioni provenienti da tutti gli strumenti presenti (metodo dei topoieti, metodo delle isoiete) Se nellarea è disponibile un unico pluviometro devono considerarsi opportuni coefficienti di ragguaglio Distribuzione spaziale delle piogge

37 Metodo dei Topoieti Attraverso il metodo dei topoieti o poligoni di Thiessen è possibile suddividere un territorio nel quale sono presenti n stazioni pluviometriche assegnando a ciascuna stazione unarea di competenza. Il metodo consiste nellunire con segmenti tutte le stazioni tra loro contigue, così da ottenere un reticolo a maglie triangolari, e nel tracciare quindi le perpendicolari ai segmenti nel punto medio. Si individuano dei poligoni irregolari, ciascuno dei quali contiene una stazione di misura situata in prossimità del centro. La costruzione dei poligoni non è univoca in quanto si possono definire diversi reticoli, di regola si fa in modo che i triangoli abbiano il minor perimetro. Una volta tracciati i topoieti ad ogni stazione si assegna larea del poligono in cui essa ricade. Laltezza media di pioggia sullintero territorio risulta essere

38 Metodo delle Isoiete Il metodo delle isoiete consiste nel tracciare le linee ad uguale altezza di precipitazione mediante interpolazione lineare delle altezze di pioggia registrate in stazioni pluviometriche adiacenti che si riferiscono di solito ad un prefissato intervallo temporale (es. 1 giorno, 1 anno). Laltezza media di pioggia sul territorio è laltezza media del solido di precipitazione definito dalle isoiete.

39 Ragguaglio spaziale Attraverso il ragguaglio spaziale delle precipitazioni allarea si ottiene il valore medio dellaltezza di pioggia su di un territorio a partire dal valore misurato in una singola stazione pluviometrica. Si definisce fattore di ragguaglio il rapporto tra laltezza media sullarea e laltezza di pioggia puntuale: R diminuisce allaumentare di A e al diminuire della durata dellevento

40 I. Mantica - Dispense di COSTRUZIONI IDRAULICHE P. Versace, SCHEDA DIDATTICA N°6 Curve di Probabilità Pluviometrica Sistemi di Fognatura – Manuale di progettazione – a cura di S.Artina et al. HOEPLI - Cap.6: Piogge intense


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