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1. 2 Inferenza Statistica Le componenti teoriche dellInferenza Statistica sono: la teoria dei campioni la teoria della probabilità la teoria della stima.

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2 2 Inferenza Statistica Le componenti teoriche dellInferenza Statistica sono: la teoria dei campioni la teoria della probabilità la teoria della stima dei parametri la teoria della verifica delle ipotesi

3 Il concetto di probabilità è espresso di frequente nella pratica quotidiana: un cliente ha la probabilità di stare bene in un albergo a 5 stelle 95 volte su 100, una compagnia aerea 9 volte su 10 è puntuale… etc. Probabilità

4 4 Incertezza e Probabilità esperienza relativa alle condizioni del tempo dei giorni precedenti tempo previsto nella stagione considerata previsioni meteo saranno fatte valutazioni probabilistiche per minimizzare possibili errori di previsione Probabilità: laccadere di un certo evento è più o meno verosimile in relazione ad altri eventi Devono rientrare delle navi, come sarà il tempo?

5 5 Incertezza e Probabilità Prova: esperimento in cui si riscontra incertezza nel risultato Evento aleatorio: uno dei possibili risultati di una prova la realizzazione delle prove darà poi luogo ad uno e ad un solo risultato tra i possibili previsti (modalità disgiunte) es. lancio di una moneta, dado, etc... al momento in cui lesperimento è compiuto, il risultato possa essere noto, oppure no al ricercatore Evento certo: si verifica sicuramente Evento impossibile: non può mai realizzarsi

6 6 1) POSITIVITA : P(E)0 2) CERTEZZA: P(E)=1 se E vento certo 3) UNIONE: se A e B sono due eventi incompatibili (mutuamente esclusivi) P(AUB)= P(A)+ P(B) Impostazione Assiomatica (Kolmogorov)

7 7 In conclusione : 0 P(A) 1 la probabilità del verificarsi di due o più eventi incompatibili è pari alla somma delle singole probabilità

8 8 Si consideri il lancio di un dado di caratteristiche ignote e si calcoli la probabilità che si verifichi levento (un qualsiasi possibile risultato del lancio): uscita di una faccia contraddistinta da un numero pari dallosservazione del fenomeno risulta che: tendono a stabilizzarsi sulla metà delle volte al ripetersi dei lanci, le facce contraddistinte da numeri pari escono circa la metà delle volte rispetto alle facce dispari e che sempre più, al progressivo ripetersi del numero dei lanci, nelluscire, tendono a stabilizzarsi sulla metà delle volte allora si può affermare che: al ripetersi dei lanci sempre sotto le medesime condizioni, (compresa tra 0 e 1) 0,50 la probabilità (compresa tra 0 e 1) che esca una faccia contraddistinta da un numero pari sarà 0,50 APPROCCIO FREQUENTISTA

9 9 Scuola frequentista Levento E è un possibile risultato di un esperimento ripetibile n = numero di prove effettuate m = numero di eventi che si sono verificati F= frequenza assoluta Al tendere del tempo allinfinito, m/n si stabilizza, esprimendo la probabilità di verificarsi dellevento

10 10 Variabile casuale VARIABILE CASUALE X: qualsiasi caratteristica si presenti con modalità diverse x 1, x 2, x 3,…, da soggetto a soggetto o, nello stesso soggetto, da un momento allaltro Modalità: tutti i valori che la variabile può assumere Variabile casuale: quantitativa (continua, discreta) qualitativa (nominale, ordinale) prima di una data prova, può assumere in ciascuna osservazione un valore qualsiasi, dopo la prova, essa assumerà, in ciascuna osservazione, uno ed un solo valore, dettodeterminazione della variabile casuale VARIABILE DETERMINISTICA: variabile casuale dopo una determinata prova.

11 11 Distribuzione di probabilità I valori possibili (modalità) di una variabile casuale sono riassunti in una distribuzione, definita distribuzione di probabilità Nella distribuzione di probabilità sono mostrati tutti i possibili valori di una variabile casuale con le rispettive probabilità di verificarsi

12 12 Distribuzioni di frequenza e distribuzioni di probabilità Una distribuzione di frequenza mostra il risultato di ogni evento e la sua relativa frequenza Una distribuzione di probabilità elenca ogni valore possibile con la relativa probabilità

13 Alcune distribuzioni di probabilità Variabili discrete Variabili continue 13 Binomiale Poisson Normale Normale Standardizzata t di Student

14 14 Distribuzione Binomiale Variabile casuale discreta dicotomica assume 1= successo con probabilità p 0= insuccesso con probabilità q=1-p uno ed un solo risultato tra i due possibili; la probabilità è la stessa per ogni prova tutte le prove sono indipendenti Funzione di probabilità:

15 15 Distribuzioni di Poisson p = probabilità che levento si verifichi n = numero delle prove p 100 Funzione di probabilità Dove λ è il numero medio di eventi per intervallo di tempo

16 16 Distribuzione Normale Variabile casuale continua Molti dei dati rilevati tendono a distribuirsi secondo le caratteristiche della normalità Più numerose saranno le osservazioni sulla variabile, più numerosi saranno i rettangoli componenti listogramma più il grafico si approssimerà ad una curva a campana

17 17 Distribuzione Normale e Normale standardizzata Funzione di densità

18 Probelma: Distribuzioni Probabilità del verificarsi di un evento Levento segue una distribuzione di probabilità Come si calcola la probabilità? La velocità di consegna da parte di unazienda con sede a Barcellona, segue una distribuzione normale ed ha una media di 185,7 giorni ed una deviazione standard di 14,6 giorni. Qualè la probabilità che se faccio un ordine questo sia in sede dopo 200 giorni? 18

19 19 Distribuzione Normale Standardizzata densità Esempio - Punteggi Standardizzati La velocità di consegna ha una media di 185,7 giorni ed una deviazione standard di 14,6 giorni Valori critici

20 20 Esempio - Punteggi Standardizzati Ad un test, la media della durata di una batteria è 72 ore e la deviazione standard è 15 ore. Qual è la probabilità che acquistando una batteria, questa si scarichi dopo 60 ore ma prima di 90? Valori critici

21 21 Distribuzione t la distribuzione t di Student è una distribuzione simmetrica, con media 0 e con deviazione standard, caratterizzata dai gradi di libertà. Al variare della numerosità campionaria, varia il numero dei gradi di libertà e, conseguentemente, varia la forma della distribuzione

22 Gradi di libertà 1920: Fisher introduce i gradi di libertà Esprimono il numero minimo di dati sufficienti a valutare la quantità d'informazione contenuta. Quando un dato non è indipendente, l'informazione che esso fornisce è già contenuta implicitamente negli altri. È possibile quindi calcolare le statistiche utilizzando soltanto il numero di osservazioni indipendenti, consentendo in questo modo di ottenere una maggiore precisione nei risultati. 22

23 gradi di libertà 9 gradi di libertà 95 %

24 24 Confronto tra la distribuzione t di Student e la curva Normale Standardizzata

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