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La probabilità. Concetti di base Probabilità Grado di incertezza connesso al risultato scaturito da una prova Esempio Numero che appare sulla faccia superiore.

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Presentazione sul tema: "La probabilità. Concetti di base Probabilità Grado di incertezza connesso al risultato scaturito da una prova Esempio Numero che appare sulla faccia superiore."— Transcript della presentazione:

1 La probabilità

2 Concetti di base Probabilità Grado di incertezza connesso al risultato scaturito da una prova Esempio Numero che appare sulla faccia superiore del dado dopo averlo lanciato

3 Concetti primitivi di probabilità La prova La prova è un esperimento Che ha due o più possibili risultati Per evento si intende uno dei possibili risultati della prova La probabilità è un numero compreso tra 0 ed 1 che misura il grado di incertezza sul verificarsi di un evento Levento La probabilità

4 Prova, evento e probabilità Esempio: Nel lancio di un dado (ben bilanciato) La faccia contrassegnata dal numero 5 (E=5) si presenta con probabilità P(E=5)=1/6 In una data prova, levento E si verifica con probabilità P(E)

5 Eventi e Algebra di Eventi Dato il postulato 1 sono definite le seguenti operazioni: 1. La negazione di un evento A, ossia A 2. Lintersezione tra due eventi A e B, ossia A B 3. Lunione tra due eventi A e B, ossia A B Postulato 1 Gli eventi formano una algebra di Boole algebra di Boole

6 6 Evento impossibile: è levento che non può mai verificarsi e può essere definito come Evento certo, ossia levento che si verifica sempre in quanto comprende tutti i possibili risultati dellesperimento. Può essere definito Eventi Definizione due eventi rilevanti: Due eventi A e B, si dicono incompatibili (o mutualmente esclusivi o disgiunti) se Al lancio di un dado esce la faccia 0 Al lancio di una moneta esce T o C

7 A AB BA

8 Proprietà assiomatiche della probabilità La probabilità è una funzione di insieme che associa a ogni evento E i E un numero reale. La probabilità sarà indicata con P(E i ) Postulato 2 Postulato 3 Postulato 4 P(A) 0 P( )=1 [A B = ø] [P(A U B)=P(A)+P(B)]

9 Esperimento casuale E ogni processo la cui singola esecuzione (prova) dà luogo a un risultato non prevedibile. Esempio: Lancio di una moneta 3 volte S= Spazio campionario= Evento è un sottinsieme di S Eventi elementari

10 Spazio campionario E4E4 E6E6 E7E7 E5E5 E8E8 F A E3E3 E1E1 E2E2 Levento è un sottinsieme delle spazio campionario.

11 E6E6 E7E7 E5E5 E8E8 E4E4 E3E3 E1E1 E2E2

12 La probabilità dellintersezione è sommata due volte!

13 DEFINIZIONI DI PROBABILITA 1.Classica: è il rapporto tra il numero di casi favorevoli e il numero di casi possibili, supposto che questi siano equiprobabili (di Laplace) 2.Frequentista: è la frequenza relativa con cui levento si verifica in una lunga serie di prove ripetute sotto condizioni simili (di Von Mises) 3.Soggettivista: è il grado di fiducia che un individuo coerente attribuisce, secondo le sue informazioni e opinioni al verificarsi dellevento

14 Probabilità condizionate e indipendenza P(A B)= n. dei casi favorevoli ad (A B) n. dei casi favorevoli a B ossia P(A B)= P(A B) P(B) Si definisce probabilità condizionata di A dato B il rapporto tra la probabilità dellevento (A B) e la probabilità dellevento B

15 e6e6 e7e7 e5e5 e8e8 e4e4 e3e3 e1e1 e2e2 E è il nuovo spazio campionario S Si vuol calcolare la probabilità dellevento e 4 rispetto allo spazio campionario S Probabilità condizionata

16 16 Principio delle probabilità composte Dati 2 eventi A e B tali che P(A)>0 e P(B)>0 : P (A B) =P(A) P(B|A)= P(B)P(A|B) Due eventi si dicono indipendenti se il verificarsi di B non influenza la probabilità di A e il verificarsi di A non influenza la probabilità di B P (A|B) =P(A) P(B|A) = P(B) da cui si ricava

17 Teorema di Bayes Probabilità a posteriori: Teorema di Bayes

18 18 Esempio P(A1) = 0,1prob. di estrarre un individuo malato P(A2) = 0,9prob. di estrarre un individuo sano P(B1|A2) = 0,2prob. che il test dia un falso-positivo P(B2|A1) = 0,1prob. che il test dia un falso-negativo Determinare: P(A1|B1) = probabilità che un individuo positivo al test sia effettivamente malato poichè P(B1|A1) = 1 – P(B2|A1) = 0,9

19 19 Esempio (continua)

20 100 60/100=0.6 40/100=0.4 adulto giovane Tipo A Tipo non A Tipo A Tipo non A 20/100=0.2 40/100=0.4 14/100= /100=0.26

21 Esercizio Excel

22 La distribuzione di probabilità S= X è la variabile casuale numero di T in tre lanci di una moneta

23 Variabili casuali discrete: Distribuzioni di probabilità

24 Immaginiamo di avere un carattere statistico continuo e di rappresentarlo tramite istogramma con 8 classi di ampiezza finita Variabili casuali continue: Funzione di densità

25 Man mano che aumentiamo il numero delle classi, si riduce lampiezza della classe. Al limite, lampiezza della classe diviene infinitesima e il poligono di frequenza si approssima con una linea continua. Tale linea si chiama funzione di densità di frequenza in quanto lordinata non è altro che laltezza dei rettangoli che compongo listogramma Variabili casuali continue: Funzione di densità

26 Alcune distribuzioni teoriche La distribuzione binomiale (discreta) La curva di Gauss o Normale (continua)

27 Distribuzione binomiale Esperimento bernulliano: esperimento casuale che ammette due soli esiti possibili, successo e insuccesso. Esempio: lancio di una moneta, condizione di malattia p è la probabilità di successo. q=1-p è la probabilità di insuccesso Hanno distribuzione binomiale: La variabile casuale X definita come numero di successi su n prove ha distribuzione binomiale La variabile casuale F definita come frequenza relativa di successo su n prove Esempio: La probabilità che un paziente guarisca da una determinata malattia è p=0.60. Determinare la probabilità che su 5 pazienti ne guariscano esattamente 3

28 G=guarito NG= non guarito Si tratta di un esperimento bernulliano con p=0.60 e q=0.40 Considerando gruppi di 5 pazienti, possiamo avere le seguenti combinazioni 1.(G,G,G,NG,NG) 2.(G,NG,NG,G,G) 3.… Ogni combinazione è il prodotto di eventi indipendenti. In tutto le combinazioni sono:

29 La prima combinazione ha probabilità: La seconda combinazione ha probabilità: Tutte e 10 le combinazioni possibili hanno probabilità Quindi, la probabilità di x successi su n prove è: Tornando allesempio:

30 Statistiche della distribuzione binomiale Simmetria della distribuzione binomiale Allaumentare di n e a prescindere da p, la distribuzione binomiale tende ad essere simmetrica e si può approssimare con la curva Normale N(np,np(1-p)) per X e N(p, p(1-p)/n) per F

31 Prob(almeno 2 successi su 5 prove)= Prob(x2)= P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5) Prob(meno di 2 successi su 7 prove)= Prob(x<2)=P(X=0)+P(X=1) Esempio: con p=0.15 Prob(fra 3 e 5 successi su 7 prove)= Prob(3x 5)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)

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