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Elementi di Calcolo delle Probabilità Corso di Teoria dellInferenza Statistica 1 a.a. 2003/2004 - Terzo Periodo Prof. Filippo DOMMA Corso di Laurea in.

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1 Elementi di Calcolo delle Probabilità Corso di Teoria dellInferenza Statistica 1 a.a. 2003/ Terzo Periodo Prof. Filippo DOMMA Corso di Laurea in Statistica – Facoltà di Economia - UniCal

2 F. DOMMATeoria dell'Inferenza2 Prova, Evento e Probabilità Concetti Primitivi: nozioni originarie ed intuitive. Prova (o esperimento): è qualsiasi attività sviluppata in condizioni di incertezza. Gli esperimenti di cui si occupa il C.P. sono quelli nei quali i risultati non sono certi perché non univoci. Evento: è uno dei possibili risultati della prova. Probabilità: è un numero associato al presentarsi di un certo evento e soddisfa alcune proprietà fondamentali detti assiomi del C.P.

3 F. DOMMATeoria dell'Inferenza3 Def.1. Spazio dei Campioni. E la totalità di tutti i possibili risultati di un esperimento concettuale. Verrà indicato con Def.1. Spazio dei Campioni. E la totalità di tutti i possibili risultati di un esperimento concettuale. Verrà indicato con Def.2. Evento Certo. Evento Impossibile. Levento certo è quello che si verifica sempre, Levento impossibile è quello che non si verifica mai,. Def.2. Evento Certo. Evento Impossibile. Levento certo è quello che si verifica sempre, Levento impossibile è quello che non si verifica mai,. Def.3. Spazio degli Eventi ( o algebra di Boole). E linsieme di tutti i possibili sottoinsiemi di Def.3. Spazio degli Eventi ( o algebra di Boole). E linsieme di tutti i possibili sottoinsiemi di

4 F. DOMMATeoria dell'Inferenza4 Diagrammi di Venn UNIONE INTERSEZIONE NEGAZIONE EVENTI INCOMPATIBILI EVENTI NECESSARI

5 F. DOMMATeoria dell'Inferenza5 Proprietà Unione Intersezione Commutativa Idempotenza Associativa Distributiva Inoltre, si ha:

6 F. DOMMATeoria dell'Inferenza6 Leggi di De Morgan Partizione dello Spazio Campionario (1) (2) Si dice che gli eventi A 1,…,A k appartenenti ad formano una partizione dello spazio campionario se: (1) (2) cioè se sono a due a due incompatibili e necessari.

7 F. DOMMATeoria dell'Inferenza7 Esercizio 1 Esercizio 2 Siano A,B e C tre eventi che si identificano nei sottoinsiemi A={1,2,3,8}, B={2,3,5,7,8} e C={3,6,7,9,10} di un generico spazio ={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}. Determinare i seguenti sottoinsiemi: Un esperimento casuale consiste nellestrarre contemporaneamente due palline da unurna contenente 1 pallina rossa, 3 palline bianche e 2 nere. Descrivere lo spazio dei campioni relativo allesperimento e costruire i sottoinsiemi in cui si identificano i seguenti eventi: 1. Le due palline estratte sono di colore differente ; 2. Le due palline estratte sono dello stesso colore; 3. Le due palline estratte sono entrambe rosse.

8 F. DOMMATeoria dell'Inferenza8 Esercizio 3 Esercizio 4 Un esperimento casuale consiste nel lancio contemporaneo di due dadi da gioco; posto che le facce di ciascun dado siano state contraddistinte con gli interi dall1 al 6, costruire lo spazio dei campioni e i sottoinsiemi che rappresentano i seguenti eventi: Un esperimento casuale consiste nel lancio contemporaneo di una moneta e di un dado da gioco. Si costruiscano lo spazio campionario relativo allesperimento e i sottoinsiemi a cui si identificano i seguenti eventi: 1. I numeri portati dalle facce superiori dei due dadi sono uguali; 2. La somma dei due numeri portati dalle facce superiori dei due dadi è 5; 3. Il numero riportato dalla faccia superiore di un dado è doppio di quello riportato dalla faccia superiore dellaltro. 1. Testa per la moneta e numero pari per il dado; 2. Croce per la moneta e numero inferiore a 5 per il dado.

9 F. DOMMATeoria dell'Inferenza9 Esercizio 5 Esercizio 7 Da una raccolta di tre volumi contrassegnati con A,B e C ne vengono scelti a caso due. Costruire lo spazio degli eventi associato allo spazio campionario in questione. Nel lancio di un dado da gioco, le facce siano numerate dall1 al 6, sia A levento la faccia superiore porta il numero 3 e B levento la faccia superiore porta un numero dispari. A e B sono eventi disgiunti? Esercizio 6 Un esperimento casuale consiste nel rilevare il numero di teste e delle croci che si possono presentare nel lancio contemporaneo di tre monete. Costruire lo spazio campionario e lo spazio degli eventi ad esso associato. Esercizio 8 Si lancia due volte una moneta; sia A levento testa al primo lancio e B levento nei due lanci non appare la stessa faccia. A e B sono disgiunti?

10 F. DOMMATeoria dell'Inferenza10 Assiomi del Calcolo delle Probabilità. Ricordando che un assioma (o postulato) è una proposizione che è considerata vera e non viene dimostrata nel contesto in cui è svolta la teoria in questione, Il C.P. presenta i seguenti assiomi: Siano A e B due eventi incompatibili allora

11 F. DOMMATeoria dell'Inferenza11 Teoremi fondamentali del C.P. Teo.1. Teo.2. Teo.3. Teo.4. Le dimostrazioni dei teoremi sono lasciati per esercizio.

12 F. DOMMATeoria dell'Inferenza12 Def. 4. Classica La probabilità di un evento A è il rapporto tra il numero di casi favorevoli di A e il numero di casi possibili, ammesso che questi siano equiprobabili. Def. 4. Classica La probabilità di un evento A è il rapporto tra il numero di casi favorevoli di A e il numero di casi possibili, ammesso che questi siano equiprobabili. Def. 5.. Frequentista (o legge empirica del caso). In una serie di prove di un dato esperimento, ripetuto un gran numero di volte in circostanze più o meno simili, ciascuno degli eventi possibili si manifesta con una frequenza che è circa uguale alla sua probabilità. Lapprossimazione si riduce al crescere del numero di prove. Def. 5.. Frequentista (o legge empirica del caso). In una serie di prove di un dato esperimento, ripetuto un gran numero di volte in circostanze più o meno simili, ciascuno degli eventi possibili si manifesta con una frequenza che è circa uguale alla sua probabilità. Lapprossimazione si riduce al crescere del numero di prove. Def. 6. Soggettivista. La probabilità è la valutazione che il singolo individuo può coerentemente formulare, in base alle proprie conoscenze, del grado di avverabilità di un evento. Def. 6. Soggettivista. La probabilità è la valutazione che il singolo individuo può coerentemente formulare, in base alle proprie conoscenze, del grado di avverabilità di un evento. Definizione di probabilità.

13 F. DOMMATeoria dell'Inferenza13 Esercizio 9 Dato un esperimento tale: Calcolare: Esercizio 10 Siano A e B due eventi tali che: Calcolare:

14 F. DOMMATeoria dell'Inferenza14 Esercizio 11 Supponiamo di avere unurna che contiene 8 palline rosse (R), 9 palline bianche (B), 13 palline nere (N) e 3 palline gialle (G). Effettuiamo la seguente prova: estrazione di due palline con riposizione. Calcolare la probabilità che: a) entrambe le palline siano rosse; b) la prima sia rossa e la seconda bianca; c) la prima gialla e la seconda non-rossa; d) la prima sia nera e la seconda non-bianca; e) che almeno una sia rossa.

15 F. DOMMATeoria dell'Inferenza15 Dipendenza. Assiomi e Teoremi fondamentali. Quando si ha motivo di credere che il verificarsi di uno o più eventi influenzano il verificarsi di altri eventi, allora si parlerà di eventi dipendenti (condizionati). Così, la probabilità dellevento A dato che si è già verificato levento B (ovvero levento B condiziona levento A), è: per In tal caso, B diventa il nostro nuovo spazio dei campioni; cioè si assume che la prova abbia dato luogo a qualche risultato in B.

16 F. DOMMATeoria dell'Inferenza16 Si può verificare che valgono gli assiomi del C.P Se A 1 e A 2 sono incompatibili allora Le verifiche di (1), (2) e (3) sono lasciati per esercizio.

17 F. DOMMATeoria dell'Inferenza17 Valgono anche i teoremi fondamentali del C.P. nel caso in cui esiste un evento condizionante Teo.5. Teo.6. Teo.7. Teo.8. Le dimostrazioni dei teoremi sono lasciati per esercizio.

18 F. DOMMATeoria dell'Inferenza18 Il teorema di Bayes Per illustrare il teorema, consideriamo il seguente esempio: supponiamo di avere due urne, la prima, U 1, contiene 4 palline bianche e 6 nere, la seconda, U 2, contiene 3 palline bianche e 5 nere. Si estrae a caso unurna e, successivamente, da questa si estrae una pallina. Ammesso che la pallina estratta sia bianca, ci si chiede qual è la probabilità che essa provenga dallurna U 1, se la probabilità di selezionare ciascuna delle urne è di 0.5 ? Per illustrare il teorema, consideriamo il seguente esempio: supponiamo di avere due urne, la prima, U 1, contiene 4 palline bianche e 6 nere, la seconda, U 2, contiene 3 palline bianche e 5 nere. Si estrae a caso unurna e, successivamente, da questa si estrae una pallina. Ammesso che la pallina estratta sia bianca, ci si chiede qual è la probabilità che essa provenga dallurna U 1, se la probabilità di selezionare ciascuna delle urne è di 0.5 ? Simili problemi si presentano ogni volta che un evento A può essere visto come il risultato - EFFETTO - di uno tra K possibili eventi - CAUSE - C 1, C 2, …,C K incompatibili e tali che uno di essi deve verificarsi, e interessa valutare la probabilità che, avveratosi A, sia C j la causa che lo ha prodotto.

19 F. DOMMATeoria dell'Inferenza19 Supponiamo che gli eventi C 1,…,C K formino una partizione di, cioè e e Levento A può essere scritto nel seguente modo Osservando che

20 F. DOMMATeoria dell'Inferenza20 si ha: Ricordando che Si può scrivere:

21 F. DOMMATeoria dell'Inferenza21 La domanda iniziale era la seguente: noto leffetto A, qual è la probabilità che tale effetto sia dovuto alla causa C j ? Lultima parte è il teorema di Bayes, dove P[C j /A] è chiamata probabilità a posteriori, cioè la probabilità che levento A, già verificatosi, sia dovuto alla causa C j ; mentre, la probabilità P[C j ] è chiamata probabilità a priori della causa C j (nel nostro esempio è la probabilità di estrarre lurna U 1 ). Infine, P[A/C j ] sono dette probabilità probative o verosimiglianze, rappresentano la probabilità con cui le singole cause C 1, …, C K generano levento A. Esse sono determinate empiricamente dallesperimento.

22 F. DOMMATeoria dell'Inferenza22 Ritornando allesempio iniziale, se indichiamo con P[U i ]=0.5 per i=1,2 le probabilità a priori, la probabilità a posteriori è:

23 F. DOMMATeoria dell'Inferenza23 Osservazione: il teorema di Bayes può essere visto come un meccanismo che permette di correggere le informazioni a priori P[C j ] sulla base delle osservazioni sperimentali P[A/C j ] fornendo per lappunto la probabilità a posteriori. In questa formula, infatti, si combinano informazioni a priori e verosimiglianze, e quanto più la probabilità a posteriori P[C j /A] è diversa dalla probabilità a priori P[C j ], tanto più la verosimiglianza ha modificato le informazioni a priori sulle cause C j.

24 F. DOMMATeoria dell'Inferenza24 Definizione di Indipendenza. Se il verificarsi di un evento non modifica la probabilità del verificarsi di un altro evento allora è lecito pensare che i due eventi siano indipendenti; questo può essere formalizzato con la seguente: Def. 7. Dati due eventi A e B, si dice che sono indipendenti se e solo se si verifica una delle seguenti condizioni:

25 F. DOMMATeoria dell'Inferenza25 Teo. 9 Se A e B sono indipendenti allora La dimostrazioni del teorema è lasciata per esercizio.

26 F. DOMMATeoria dell'Inferenza26 Esercizio 12 Supponiamo di avere unurna che contiene 5 palline rosse (R), 4 bianche (B),3 nere (N) e 6 gialli (G). Effettuiamo la seguente prova: estrazione di due palline senza riposizione. Calcolare la probabilità dei seguenti eventi: a) la prima rossa e la seconda rossa; b) la prima bianca e la seconda rossa; c) la prima gialla e la seconda non-rossa; d) la prima non-nera e la seconda bianca; e) la prima gialla e la seconda rossa o bianca; f) la prova generi almeno una pallina rossa.

27 F. DOMMATeoria dell'Inferenza27 Esercizio 13 Si è fatto uno studio per determinare leffetto dei programmi televisivi sui bambini. Ad un gruppo di bambini composto da un numero uguale di maschi e femmine è stato chiesto se sono mai stati spaventati da un programma televisivo. Il 25% dei bambini e il 44% delle bambine rispondono di si. Scegliendone uno a caso nel gruppo, determinare la probabilità che: 1. il bambino sia stato spaventato; 2. venga scelta una bambina, sapendo che il selezionato/a è stato/a spaventato/a; 3. sia scelta una bambina, sapendo che il bambino/a scelta/o non è stata/o spaventato/a; 4. sia scelto un bambino sapendo che il bambino scelto non è stato spaventato.

28 F. DOMMATeoria dell'Inferenza28 Esercizio 14 Un costruttore viene rifornito per gli stessi tipi di pezzi sia dalla ditta A che dalla ditta B. Tali pezzi vengono poi depositati assieme nello stesso magazzino. Per il passato si è osservato che i prodotti di A erano per il 5% difettosi, mentre quelli di B lo erano nella misura del 9%. La ditta A fornisce 4 volte più pezzi della ditta B. Avendo scelto un pezzo a caso dal magazzino ed avendo riscontrato che non è difettoso, qual è la probabilità che sia stato fornito da A?

29 F. DOMMATeoria dell'Inferenza29 Esercizio 15 Siano A e B due eventi dello spazio campionario tali che: Determinare P[B] se: a) A e B sono disgiunti ; b) A e B sono indipendenti ; c) P r [A/B]=0.6

30 F. DOMMATeoria dell'Inferenza30 Esercizio 16 La probabilità di essere malato di cancro in uno stadio iniziale è 0.1 per una persona in una certa classe detà. Il test A risulta positivo nel 99% dei casi in una persona malata e nel 5% dei casi in una persona sana. a) Qual è la probabilità di una corretta diagnosi con il test A nella data classe di età? b) Qual è la probabilità che una persona sia malata se il test A è negativo?

31 F. DOMMATeoria dell'Inferenza31 Riferimenti Bibliografici. - G. Cicchitelli (1984), Probabilità e Statistica. Maggioli Editore. Rimini. [C]. Pag A.M.Mood, F. Graybill e D.C. Boes (1988), Introduzione alla Statistica, McGraw-Hill, Milano. [MGB]. Pag D. Piccolo e C. Vitale (1984), Metodi Statistici per lanalisi economica. Il Mulino, Bologna. [PV]. Pag R. Orsi (1995), Probabilità ed Inferenza Statistica, Il Mulino, Bologna. [O] D. Piccolo (2000), Statistica, il Mulino, Bologna. [P]. Pag


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