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1 CORSO DI STATISTICA Bruno Mario Cesana Stefano Calza Nozioni di Calcolo della Probabilità SECONDA PARTE.

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Presentazione sul tema: "1 CORSO DI STATISTICA Bruno Mario Cesana Stefano Calza Nozioni di Calcolo della Probabilità SECONDA PARTE."— Transcript della presentazione:

1 1 CORSO DI STATISTICA Bruno Mario Cesana Stefano Calza Nozioni di Calcolo della Probabilità SECONDA PARTE

2 2 Problema 1 Sia 0.5 la probabilità che nasca un maschio o una femmina. Ovviamente, la nascita di un maschio (femmina) come secondo figlio è indipendente dal fatto che prima sia nato un maschio o una femmina. Ci si chiede: per una famiglia che ha già due figli di cui uno è femmina, quale è la probabilità che anche laltro figlio sia femmina ? Prima Risposta: 0.5 La Prima Risposta è sbagliata! Consideriamo che la famiglia in questione ha due figli e come può essere la loro composizione relativamente al sesso.

3 3 Problema 1 – continua (1) Composizione dei due figli della famiglia per il sesso. PRIMO / SECONDO FIGLIO PRIMA SITUAZIONE: M / M ( ) = 0.25 SECONDA SITUAZIONE: M / F ( ) = 0.25 TERZA SITUAZIONE: F / M ( ) = 0.25 QUARTA SITUAZIONE: F / F ( ) = 0.25 E EVIDENTE CHE LA PRIMA SITUAZIONE (M / M) DEVE ESSERE ESCLUSA IN QUANTO NON E PERTINENTE AL PROBLEMA CHE SPECIFICA CHE UN FIGLIO (dei due della famiglia) E FEMMINA.

4 4 Problema 1 – continua (2) CI SONO SOLO TRE SITUAZIONI POSSIBILI (MF, FM e FF) e SOLO UNA E QUELLA FAVOREVOLE: (FF). SECONDA RISPOSTA: 1 / 3 (CORRETTA) P(F*)P(F) IL QUESITO: per una famiglia che ha già due figli di cui uno è femmina, quale è la probabilità che anche laltro figlio sia femmina ? o quale è la probabilità che laltro figlio sia femmina [P(F*)] dato che uno è già femmina [P(F)] ? introduce al problema della PROBABILITA CONDIZIONATA: la probabilita che si verifichi un evento dato che si è già verificato un altro EVENTO: F* FF F*F P (F* F) = P (F F* ) / P (F) = ( ) / ( 3 / 4) = 1 / 3

5 5 Probabilità Condizionata Consideriamo il lancio di due dadi: –evento F : il primo dado esce 4 –evento E: la somma dei due dadi è 6 Quale è la probabilità che se il primo dado da 4 (evento F), la somma dei due dadi dia 6 (evento E)? In totale ho 36 eventi possibili (combinazioni possibili del lancio di due dadi) ciascuno con Probabilità = 1/36 Si verifica F: lancio il dado ed esce 4 Possibili esiti al lancio del secondo dado, dato luscita di 4 al lancio del primo dado: (4,1); (4,2); (4,3); (4,4); (4,5); (4,6); Le possibili 6 combinazioni hanno pari probabilità: P = 1/6 –Esito favorevole (4,2) con P = 1 / 6

6 6 Probabilità condizionata (1) Si considerino gli eventi: A = estrazione di una fiala prodotta dalla macchina A D = estrazione di una fiala difettosa Quale è la probabilità di estrarre una fiala difettosa dato che la fiala è prodotta dalla macchina A ? In questo caso, si fa riferimento non all'insieme I di tutti i casi, ma al sottoinsieme dei casi che verificano l'evento A": su tale sottoinsieme va calcolata la probabilità di estrarre una fiala difettosa. Tale probabilità viene indicata con la notazione P(D|A), che si legge probabilità condizionata a A (il simbolo | denota condizione e si legge: dato che).

7 7 Probabilità condizionata (2) La probabilità condizionata è data dal rapporto tra il numero di fiale che sono sia difettose e sia prodotte da A ed il numero di fiale prodotte da A. In modo equivalente:

8 8 Probabilità condizionata (3) Numericamente otteniamo: N.B. Cambia lo spazio campione : non è il totale degli eventi possibili, ma solo degli eventi legati al verificarsi di A.

9 9 Probabilità dellintersezione Da quanto detto, possiamo ora calcolare P(A B) Data: consegue che: Notare quanto segue: P(D A) = P(A) P(D|A) = 0.10 * = P(D A) = P(D) P(A|D) = 0.05 * = P(D|A) * P(A) = P(A|D) * P(D) = P(D A)

10 10 Eventi indipendenti Consideriamo unurna contenente 8 sfere colorate: 5 rosse, 3 blu –Evento A = estrazione 1° sfera rossa: P(A)= 5/8 1)Si estragga una seconda sfera, dopo aver reimmesso la prima sfera estratta: –Evento B = estrazione 2° sfera rossa P(1° sfera rossa) P(2° sfera rossa | colore 1° sfera ) P(1° sfera blu) La probabilità dellevento B non dipende dallesito di A P(B) = P(B|A)

11 11 Eventi indipendenti (2) 2) Estraggo una seconda sfera senza reimmettere la prima estratta che era una sfera rossa P(1° sfera rossa) P(2° sfera rossa | colore 1° sfera) P(1° sfera blu) P(B) P(B|A) La Dipendenza o la Indipendenza di due eventi può essere determinata dal tipo di campionamento

12 12 Consegue che... Due eventi A e B sono indipendenti se la probabilità non condizionata di un evento è uguale alla probabilità di quell'evento condizionata al verificarsi dell'altro : A e B indipendenti se: P(A) = P(A|B) o P(B) = P(B|A) Vale anche l'affermazione simmetrica. Se due eventi sono indipendenti, la probabilità non condizionata di un evento è uguale alla probabilità di quell'evento condizionata al verificarsi dell'altro: P(A) = P(A|B) o P(B) = P(B|A) se A e B indipendenti Ne consegue che la probabilità dell'intersezione di due eventi indipendenti è data dal prodotto delle loro probabilità [TEOREMA DEL PRODOTTO]: P(A B) = P(A) * P(B) o P(B A) = P(B) * P(A)

13 13 Esempio Insieme J di 4000 fiale difettose e non prodotte dalle macchine A e B A+BBAFIALE TOTALEMACCHINA Domanda: nellinsieme J di 4000 fiale quale è la probabilità di estrarre una fiala che sia difettosa e prodotta dalla macchina A? Si noti che nell'insieme J: P( d | A ) = P(d) = 80 / 1000 = 320 / 4000 = La frequenza di fiale difettose non dipende dalla macchina che le ha prodotte: d e A sono eventi indipendenti.

14 14 Indipendenti o Incompatibili? E chiara la differenza? Facciamo un esempio: –P(A) = La Juve vince un incontro –P(B) = LInter vince un incontro Se Juve e Inter giocano insieme: A B = Gli eventi sono incompatibili (o mutualmente esclusivi), ma non indipendenti (il verificarsi di A fa sì che B non si possa verificare!! P(B|A) = 0) Se Juve e Inter giocano contro altre squadre: entrambe possono vincere e lesito di un incontro non determina (?) lesito dellaltro: Gli eventi sono indipendenti, non incompatibili.

15 15 Esempio di riepilogo Essendo A i B j e A k B l (i k: 0, 1, 2; j l: 0, 1) mutualmente esclusivi ho: Distribuzione Congiunta di A e B = P(A i B j ) P(A 0 ) = P(A 0 B 0 ) + P(A 0 B 1 ) = = 0.3 P(B 0 ) = P(A 0 B 0 ) + P(A 1 B 0 ) + P(A 2 B 0 ) = 0.4 Probabilità Marginali Probabilità Condizionate di A|B 0


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