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Matematica I: Calcolo differenziale, Algebra lineare, Probabilità e statistica Giovanni Naldi, Lorenzo Pareschi, Giacomo Aletti Copyright © 2003 - The McGraw-Hill Companies, srl Capitolo 11 Probabilità

Matematica I: Calcolo differenziale, Algebra lineare, Probabilità e statistica Giovanni Naldi, Lorenzo Pareschi, Giacomo Aletti Copyright © 2003 - The McGraw-Hill Companies, srl Fenomeni deterministici e fenomeni casuali. Sistema meccanico deterministico: moto rettilineo uniforme (Velocità costante: 10m/s) – Dopo 1s: percorsi 10m, – Dopo 2s: percorsi 20m, –... Siamo quindi in grado di predire esattamente il suo moto. Sistema non deterministico (casuale): immaginiamo di lanciare un dado a sei facce senza mai averne visto uno, né averne sentito parlare. – Al primo lancio: esce 4, – Al secondo lancio: esce 2, – Al terzo lancio: esce 1, –... Il risultato non è prevedibile prima del lancio stesso. Un solo lancio non porta a ipotizzare il concetto di casualità; ma – quando mi accorgo che il dado può dare diversi risultati ; – quando mi accorgo che questi risultati non sono prevedibili ; Si tratta di un fenomeno la cui realizzazione è condizionata dal caso. La casualità è quindi legata a fenomeni che ammettono più di un esito. Un fenomeno casuale, o aleatorio, è un fenomeno osservabile ma non prevedibile.

Matematica I: Calcolo differenziale, Algebra lineare, Probabilità e statistica Giovanni Naldi, Lorenzo Pareschi, Giacomo Aletti Copyright © 2003 - The McGraw-Hill Companies, srl Dado e casualità Lunica certezza che abbiamo è che il punteggio che otteniamo in ogni lancio è compreso tra 1 e 6. Spazio ambiente S. Lesperienza ci suggerisce che non cè nesso tra lesito di un lancio e i successivi. Indipendenza dei risultati di lanci consecutivi. Lesperienza ci suggerisce che a ogni lancio ci aspettiamo che possa uscire indifferentemente una qualsiasi delle sei facce. Legge della casualità di ogni singolo lancio. Come vedremo questo non significa che non siamo in grado di dire nulla sullesito del lancio, ad esempio lesperienza quotidiana ci insegna che su dieci lanci consecutivi ottenere per dieci volte lo stesso punteggio sia un evento in qualche modo eccezionale, almeno psicologicamente. Scopo di questo capitolo è imparare a trattare analiticamente queste informazioni per ricavarne delle leggi che regolano la casualità.

Matematica I: Calcolo differenziale, Algebra lineare, Probabilità e statistica Giovanni Naldi, Lorenzo Pareschi, Giacomo Aletti Copyright © 2003 - The McGraw-Hill Companies, srl Spazio Ambiente S Prendiamo un dado e indichiamo con S = {f 1, f 2, f 3, f 4, f 5, f 6 } linsieme costituito dalle sue 6 facce. S contiene tutti i possibili esiti del fenomeno ed è detto spazio ambiente. I suoi elementi saranno detti eventi elementari. In tutto abbiamo 2 6 = 64 sottoinsiemi di S tra cui unico sottoinsieme senza elementi {f 1 }, {f 4 } sottoinsiemi con un solo elemento {f 1, f 2 }, {f 3, f 5 } sottoinsiemi con due elementi... Ogni possibile sottoinsieme di S sarà chiamato evento.

Matematica I: Calcolo differenziale, Algebra lineare, Probabilità e statistica Giovanni Naldi, Lorenzo Pareschi, Giacomo Aletti Copyright © 2003 - The McGraw-Hill Companies, srl Operazioni tra eventi Indichiamo con A e B gli eventi A = {f 2, f 4, f 6 } (ho un risultato pari) B = {f 1, f 2, f 3 } (ho un risultato più piccolo di 4) Indicheremo con AB lintersezione e con A + B lunione. intersezione di due eventi: entrambi gli eventi accadano, AB = {f 2, f 4, f 6 } {f 1, f 2, f 3 } = {f 2 }, avere un risultato pari più piccolo di 4. unione di due eventi corrisponde al fatto che almeno uno degli eventi accada, A + B = {f 2, f 4, f 6 } {f 1, f 2, f 3 } = {f 1, f 2, f 3, f 4, f 6 }. Il complementare di un evento corrisponde al fatto che quellevento non accada, A = {f 2, f 4, f 6 } = {f 1, f 3, f 5 }, ossia se non esce un numero pari.

Matematica I: Calcolo differenziale, Algebra lineare, Probabilità e statistica Giovanni Naldi, Lorenzo Pareschi, Giacomo Aletti Copyright © 2003 - The McGraw-Hill Companies, srl Insiemi mutuamente esclusivi (partizioni) Due insiemi A e B si dicono mutuamente esclusivi se hanno intersezione vuota, ossia se AB =. Più insiemi (A 1,A 2,..., A n ) sono mutuamente esclusivi se lo sono a due a due in tutti i modi possibili A i A j =, i j. Tre o più insiemi possono avere intersezione nulla ma non essere mutuamente esclusivi. Definizione di partizione dello spazio ambiente S. Chiamiamo partizione dello spazio ambiente S una classe di sottoinsiemi (eventi) mutuamente esclusivi la cui unione è linsieme S. Quindi, A 1,... A n,...sono una partizione di S se valgono le seguenti due proprietà: Gli insiemi sono mutuamente esclusivi, i j, A i A j =. Lunione degli insiemi è tutto S, ossia A 1 + A 2 +... + A n +... = S.

Matematica I: Calcolo differenziale, Algebra lineare, Probabilità e statistica Giovanni Naldi, Lorenzo Pareschi, Giacomo Aletti Copyright © 2003 - The McGraw-Hill Companies, srl... la probabilità è il grado di fiducia in una scala tra 0 e 1 con cui un evento occorre. Per convenzione, un evento impossibile ha probabilità 0, mentre un evento certo ha probabilità 1...J.Bernoulli Assiomi della probabilità Sia S un insieme e A la classe di eventi. La probabilità è una funzione P :AR+ 0 che associa a ogni evento A A un numero P(A). Questa funzione deve soddisfare le seguenti proprietà: 1. per ogni evento A, P(A) 0; 2. P(S) = 1; 3. se AB =, allora P(A + B) = P(A) + P(B). Osservazione: la probabilità in uno spazio infinito non viene definita su ogni sottoinsieme di S, ma solamente su ogni evento della famiglia A. Quindi, ogni volta che scriveremo P(A), dovremo essere sicuri che A sia un evento di A. La terna (S, A, P) è detta spazio di probabilità.

Matematica I: Calcolo differenziale, Algebra lineare, Probabilità e statistica Giovanni Naldi, Lorenzo Pareschi, Giacomo Aletti Copyright © 2003 - The McGraw-Hill Companies, srl Conseguenze degli assiomi della probabilità Dagli assiomi della probabilità discendono le seguenti relazioni P( ) = 0. Per ogni evento A, P(A) = 1 P(A). Per ogni coppia A e B di eventi, P(A) = P(AB) + P(AB). Se A è un evento e B 1,B 2,..., B n sono eventi che formano una partizione di S, P(A) = P(AB 1 ) + P(AB 2 ) + · · · + P(AB n ). Per ogni coppia A e B di eventi, P(A + B) = P(A) + P(B). P(AB). Per ogni coppia A e B di eventi, P(A + B) P(A) + P(B). Se B A, allora P(B) P(A). Esempio: il modo più intuitivo di introdurre la probabilità di un evento si basa sul rapporto tra il numero dei casi favorevoli e il numero dei casi possibili. Si pensi alla situazione del lancio di una moneta.

Matematica I: Calcolo differenziale, Algebra lineare, Probabilità e statistica Giovanni Naldi, Lorenzo Pareschi, Giacomo Aletti Copyright © 2003 - The McGraw-Hill Companies, srl Fenomeni casuali Sesso del nascituro. Luisa aspetta un bambino. Indichiamo con X il sesso del nascituro. X può assumere i valori M (maschio) e F (femmina) con probabilità 1/2. I risultati possibili sono 2. I valori che X può assumere sono M e F, quindi S = {x 1, x 2 }, con x 1 = M e x 2 = F. Ipotizzando che la probabilità che X assuma il valore M o F sia 1/2, abbiamo p 1 = 1/2, p 2 = 1/2. Dado equilibrato. Prendiamo un dado non truccato e indichiamo con X il risultato di un lancio. I risultati possibili sono 6. I valori che il dado può assumere sono i numeri interi tra 1 e 6 e quindi S = {x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6 }, dove x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3, x 4 = 4, x 5 = 5, x 6 = 6. La probabilità che X assuma ogni valore intero tra 1 e 6 è 1/6 e quindi p 1 = 1/6, p 2 = 1/6, p 3 = 1/6, p 4 = 1/6, p 5 = 1/6, p 6 = 1/6. La probabilità quindi si distribuisce sui possibili risultati.

Matematica I: Calcolo differenziale, Algebra lineare, Probabilità e statistica Giovanni Naldi, Lorenzo Pareschi, Giacomo Aletti Copyright © 2003 - The McGraw-Hill Companies, srl Variabile aleatoria o casuale Definizione. Dato uno spazio di probabilità (S,A, P) si chiama variabile aleatoria unapplicazione X : S R tale che per ogni x R, linsieme {s S : X(s) x} sia in A. Perché questa definizione? Dire che X è una variabile aleatoria significa che è possibile calcolare P({s S : X(s) I}) (infatti si può calcolare la probabilità solo sugli eventi).

Matematica I: Calcolo differenziale, Algebra lineare, Probabilità e statistica Giovanni Naldi, Lorenzo Pareschi, Giacomo Aletti Copyright © 2003 - The McGraw-Hill Companies, srl V.a. (caso discreto) Sono quei fenomeni che hanno un numero finito o numerabile di risultati. I risultati di una variabile aleatoria discreta X formano linsieme dei possibili valori assunti R = {x 1, x 2,..., x N,...}. Gli eventi sono tutti gli insiemi del tipo A = {X I}, dove I è un qualunque sottoinsieme dellinsieme dei possibili risultati R. Diremo che è assegnata la legge della variabile aleatoria discreta X se è assegnato linsieme dei possibili valori assunti R, e la probabilità con cui X assume ciascun valore dove pX è la probabilità che X assuma il valore x k.

Matematica I: Calcolo differenziale, Algebra lineare, Probabilità e statistica Giovanni Naldi, Lorenzo Pareschi, Giacomo Aletti Copyright © 2003 - The McGraw-Hill Companies, srl V.a. (caso continuo) Sono quei fenomeni che possono assumere tutti i possibili valori di un intervallo reale Nel caso continuo tutti i risultati x di un intervallo R = {x R : a < x < b} = (a, b) sono possibili (anche se non equiprobabili). Sono ammessi intervalli del tipo R = (, b), R = (a,+) oppure R = R. Gli eventi legati a una variabile aleatoria continua sono tutti gli insiemi del tipo A = {X I}, La numerosità dei possibili risultati ci costringe a parlare di densità di probabilità al posto di probabilità di ogni singolo risultato (che è nulla).

Matematica I: Calcolo differenziale, Algebra lineare, Probabilità e statistica Giovanni Naldi, Lorenzo Pareschi, Giacomo Aletti Copyright © 2003 - The McGraw-Hill Companies, srl Esempio: estrazione da unurna. Segue…

Matematica I: Calcolo differenziale, Algebra lineare, Probabilità e statistica Giovanni Naldi, Lorenzo Pareschi, Giacomo Aletti Copyright © 2003 - The McGraw-Hill Companies, srl Esempio: legge dei grandi numeri e dado a 6 facce

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