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Matematica I: Calcolo differenziale, Algebra lineare, Probabilità e statistica Giovanni Naldi, Lorenzo Pareschi, Giacomo Aletti Copyright © 2003 - The.

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1 Matematica I: Calcolo differenziale, Algebra lineare, Probabilità e statistica Giovanni Naldi, Lorenzo Pareschi, Giacomo Aletti Copyright © The McGraw-Hill Companies, srl Capitolo 7 Vettori e matrici algebrici

2 Matematica I: Calcolo differenziale, Algebra lineare, Probabilità e statistica Giovanni Naldi, Lorenzo Pareschi, Giacomo Aletti Copyright © The McGraw-Hill Companies, srl Vettori e matrici Definizione 7.1 (Matrice) Tabella di numeri ordinata per righe e colonne. Si indica con a ij l'elemento della matrice A che si trova all'incrocio della riga i-esima con la colonna j-esima. Se m è il numero di righe ed n quello delle colonne abbiamo m ed n sono dette dimensioni della matrice; se m = n la matrice è detta quadrata. Nota. Se tutti gli elementi sono nulli, si parla di matrice nulla indicata con O. L'insieme di tutte le matrici con m righe e n colonne sarà indicato con R mXn e tali matrici saranno dette di tipo m X n. Gli elementi che hanno il primo e il secondo indice uguale 11 ; a 22 ; a 33 ; :::; a kk, k = min{m, n}, formano la diagonale principale della matrice A. Due matrici si dicono uguali se hanno la stessa dimensione e inoltre sono uguali i rispettivi elementi.

3 Matematica I: Calcolo differenziale, Algebra lineare, Probabilità e statistica Giovanni Naldi, Lorenzo Pareschi, Giacomo Aletti Copyright © The McGraw-Hill Companies, srl Vettori e matrici Definizione 7.2 (Vettori) Sono matrici particolari formate da una sola riga, per cui m = 1 detto vettore riga, oppure da una sola colonna, per cui n = 1 detto vettore colonna.

4 Matematica I: Calcolo differenziale, Algebra lineare, Probabilità e statistica Giovanni Naldi, Lorenzo Pareschi, Giacomo Aletti Copyright © The McGraw-Hill Companies, srl Matrici quadrate…per tutti i gusti 1. Matrici triangolari inferiori:

5 Matematica I: Calcolo differenziale, Algebra lineare, Probabilità e statistica Giovanni Naldi, Lorenzo Pareschi, Giacomo Aletti Copyright © The McGraw-Hill Companies, srl Matrici quadrate…per tutti i gusti 2. Matrici triangolari superiori:

6 Matematica I: Calcolo differenziale, Algebra lineare, Probabilità e statistica Giovanni Naldi, Lorenzo Pareschi, Giacomo Aletti Copyright © The McGraw-Hill Companies, srl Matrici quadrate…per tutti i gusti 3. Matrici diagonali: Caso particolare se Detta matrice identità.

7 Matematica I: Calcolo differenziale, Algebra lineare, Probabilità e statistica Giovanni Naldi, Lorenzo Pareschi, Giacomo Aletti Copyright © The McGraw-Hill Companies, srl Operazioni con matrici Definizione 7.3 (Trasposta) Data una matrice A di tipo m X n definiamo la trasposta di A la matrice A T i cui elementi sono ottenuti da quelli di A scambiando righe e colonne; A T è quindi di tipo n X m: Nota. Una matrice A è detta simmetrica se A = A T. Definizione 7.4 Siano A e B matrici di tipo m X n; definiamo, con in R, i) C = A + B ponendo c ij = a ij + b ij per ogni valore di i e j; ii) C = A ponendo c ij = a ij per ogni valore di i e j. Tali operazioni sono dette rispettivamente somma di matrici e prodotto per uno scalare.

8 Matematica I: Calcolo differenziale, Algebra lineare, Probabilità e statistica Giovanni Naldi, Lorenzo Pareschi, Giacomo Aletti Copyright © The McGraw-Hill Companies, srl Operazioni con matrici Definizione 7.5 (Prodotto righe per colonne) Sia A di tipo m X q e B di tipo q X n: Allora iii) C = AB ha dimensione m X n e si ottiene ponendo per ogni valore di i e j. Nota. Il prodotto tra matrici non e commutativo.

9 Matematica I: Calcolo differenziale, Algebra lineare, Probabilità e statistica Giovanni Naldi, Lorenzo Pareschi, Giacomo Aletti Copyright © The McGraw-Hill Companies, srl Proprietà algebriche Proposizione 7.1 (Proprietà prodotto) Siano A, B matrici tali che il prodotto AB risulta definito e in R. Allora 1. ( A)B = A( B) = (AB). 2. Se D ha le stesse dimensioni di A si ha (A + D)B = AB + DB. 3. Se C ha le stesse dimensioni di B si ha A(B + C) = AB + BC. 4. Se A di tipo m X q, B di tipo q X p e C di tipo p X n: Allora A(BC) = (AB)C. 5. (AB) T = B T A T.

10 Matematica I: Calcolo differenziale, Algebra lineare, Probabilità e statistica Giovanni Naldi, Lorenzo Pareschi, Giacomo Aletti Copyright © The McGraw-Hill Companies, srl Prodotto scalare Nel caso di vettori di uguali dimensioni e possibile eseguire i prodotti di tipo 1 X q con q X 1 ossia vettore riga per vettore colonna x T y = (x 1 y 1 + x 2 y 2 + …+ x q y q ) detto anche prodotto scalare e restituisce quanto restituisce un numero. Nota. Il prodotto scalare non dipende dall'ordine con cui viene eseguito. Non si deve confondere il prodotto scalare con il prodotto di un vettore di tipo m X 1 per un vettore di tipo 1 X n.

11 Matematica I: Calcolo differenziale, Algebra lineare, Probabilità e statistica Giovanni Naldi, Lorenzo Pareschi, Giacomo Aletti Copyright © The McGraw-Hill Companies, srl Inversa di una matrice Definizione 7.6 (Matrice inversa) Sia A quadrata n X n. Se esiste una matrice avente la stessa dimensione di A, tale che A -1 A = I = AA -1 allora la matrice A -1 è detta inversa della matrice A. Proposizione 7.2 (Proprietà dell'inversa) Siano A e B due matrici invertibili. Allora risultano invertibili anche A -1, A T e AB e si ha (A -1 ) -1 = A, (A T ) -1 = (A -1 ) T, (AB) -1 = B -1 A -1. Altre proprietà delle matrici. Proposizione 7.3 Siano A matrice quadrata, I matrice identità e O matrice nulla di dimensione n. Allora 1. A + O = O + A = A; 2. A + (-A) = (-A) + A = O; 3. AO = OA = O; 4. AI = IA = A.


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