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Dipartimento di Economia Università degli Studi di Cagliari ___________________________ CORSO DI ECONOMETRIA ___________________________ Prof. Paolo Mattana.

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Presentazione sul tema: "Dipartimento di Economia Università degli Studi di Cagliari ___________________________ CORSO DI ECONOMETRIA ___________________________ Prof. Paolo Mattana."— Transcript della presentazione:

1 Dipartimento di Economia Università degli Studi di Cagliari ___________________________ CORSO DI ECONOMETRIA ___________________________ Prof. Paolo Mattana Lez. 7 – Il modello multivariato

2 Finora: Abbiamo trovato uno stimatore per la relazione fra X e Y; Abbiamo sviluppato regole decisionali che permettono di usare lo stimatore per testare ipotesi sulla relazione tra X e Y; Ma abbiamo sempre preso in considerazione una sola X (ed un solo beta, coefficiente angolare) Il mondo è spesso più complicato!! Cosa succede se Y ha piu di una causa? IL MODELLO MULTIVARIATO

3 Lestensione al caso multivariato è semplice Invece di avere a che fare con lo spazio in due dimensioni dobbiamo considerare lo spazio multi-dimensionale Se abbiamo X 1 e X 2, allora stimiamo i parametri di un piano in mezzo ad una nuvola (di punti) tridimensionale. Oltre 3 dimensioni ….non possiamo visualizzare. IL MODELLO MULTIVARIATO

4 Lequazione da stimare diventa (in notazione scalare): dove le X j sono le variabili indipendenti (o regressori) e i beta sono parametri (sconosciuti) oggetto di stima. La logica OLS è la stessa NB: qual è ora linterpretazione dei beta? Possono essere visti come derivate parziali: misurano cioè leffetto sulla variabile dipendente di variazioni delle relative variabili indipendenti (ceteris paribus). IL MODELLO MULTIVARIATO

5 NB: Dare le dimostrazioni delle proprietà degli stimatori OLS con questa notazione è inutilmente complicato. Passaggio alla notazione matriciale Possiamo rappresentare le derivazioni in termini di algebra lineare Lequazione generica da stimare diventa: dove X è un vettore i cui componenti valgono sempre uno. IL MODELLO MULTIVARIATO

6 In termini scalari abbiamo: NB NB: Stiamo post-moltiplicando perchè, per le proprietà delle matrici, solo così ri-otteniamo il modello in forma scalare IL MODELLO MULTIVARIATO

7 Ripassare: operazioni con le matrici; trasposizione di matrici inversione di matrici …in particolare IL MODELLO MULTIVARIATO

8 Matrice inversa Data una matrice quadrata A,, definiamo la matrice inversa B tale che AB = I (= matrice identità) Linversa esiste solo se Una matrice invertibile è detta non-singolare Una matrice non invertibile è detta singolare

9 Una matrice importante: = SSR IL MODELLO MULTIVARIATO

10 Altra importante matrice: Come è fatta nel caso trivariato? IL MODELLO MULTIVARIATO

11 Calcoliamo le derivate parziali rispetto ad ogni elemento di beta Problema dal punto di vista matematico nel contesto multivariato: Abbiamo bisogno di trovare il vettore dei beta che minimizza ee=RSS IL MODELLO MULTIVARIATO

12 Imponendo che le derivate siano uguali a 0 otteniamo Ovviamente generiamo k equazioni diverse (dove k è sconosciuto) IL MODELLO MULTIVARIATO

13 Otteniamo Dividiamo per Ciò significa che nessuna riga o colonna di X è una combinazione lineare di unaltra riga o colonna di X. esiste solo senon è singolare (ha rango pieno) IL MODELLO MULTIVARIATO

14 Ciascun elemento del vettore beta è una pendenza associata ad una X. Esattamente come in un contesto bivariato, tranne per il fatto che 1 (generico) rappresenta la variazione attesa di Y per una unità di incremento di X 1, (tenendo costanti X 2 …X n ); Quindi il coefficiente generico i rappresenta leffetto diretto di X i su Y (controllando per le diverse altre cause) IL MODELLO MULTIVARIATO

15 Il coefficiente 1 è calcolato sulla base dellarea in giallo che si sovrappone a quella in blu, ma non a quella in rosso. Larea centrale non è presa in considerazione. Non sappiamo quale variabile la spieghi Problema (serio) della multicollinarità (studieremo bene) Y X1X1 X2X2 IL MODELLO MULTIVARIATO

16 Tutto il discorso fatto per il modello bivariato si applica anche qui Bisogna aggiungere lassenza di multicollinearità OLS è BLUE se: IL MODELLO MULTIVARIATO

17 è una matrice (Sum of squared errors)Diversa da Gli elementi della diagonale principale sono le varianze di e 1, e 2,…e n Gli elementi fuori diagonale sono le covarianze IL MODELLO MULTIVARIATO NB:

18 Forma desiderabile della matrice varianza – covarianza dove I è la matrice identità IL MODELLO MULTIVARIATO

19 Violazione dellassunzione Gli elementi sulla diagonale non sono costanti (Eteroschedasticità); Gli elementi fuori diagonale sono diversi da zero (Autocorrelazione) Abbiamo già visto (nel caso bivariato) che sono due distinti problemi che si manifestano con differenti tipi di dati IL MODELLO MULTIVARIATO

20 ETEROSCHEDASTICITA E un problema che si trova in dati cross-section (specialmente dati aggregati); Laccuratezza delle misurazioni può differire tra le unità prese in considerazione; Lerrore può essere proporzionale alla grandezza dellunità presa in considerazione (esempio PIL). COME E FATTA LA MATRICE VAR/COV DEGLI ERRORI? IL MODELLO MULTIVARIATO

21 AUTOCORRELAZIONE È un problema tipico delle serie temporali Può essere generato da errori di misura (autocorrelati) forma funzionale errata struttura dinamica COME E FATTA LA MATRICE VAR/COV DEGLI ERRORI? IL MODELLO MULTIVARIATO


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