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___________________________ CORSO DI ECONOMETRIA ___________________________ Prof. Paolo Mattana Lezione n° 8 La violazione delle assunzioni classiche.

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2 ___________________________ CORSO DI ECONOMETRIA ___________________________ Prof. Paolo Mattana Lezione n° 8 La violazione delle assunzioni classiche Dipartimento di Economia Università degli Studi di Cagliari

3 Dobbiamo considerare: - la presenza di regressori stocastici e la multicollinearità - la violazione delle assunzioni classiche …….più tardi non stazionarietà VIOLAZIONI DELLE IPOTESI CLASSICHE

4 REGRESSORI STOCASTICI Abbiamo finora considerato il caso di regressori deterministici Tuttavia, abbiamo sempre sottolineato che questo caso non si attaglia ai dati econometrici Cosa succede alle proprietà degli stimatori quando prendiamo in considerazione regressori stocastici? Dobbiamo aggiungere lassunzione di indipendenza fra residui e regressori NB: studieremo bene le implicazioni della violazione di questa particolare assunzione sui residui

5 REGRESSORI STOCASTICI Correttezza: lo stimatore OLS continua a essere corretto Partendo da:

6 REGRESSORI STOCASTICI Efficienza: lo stimatore OLS presenta varianza minima Consideriamo la seguente matrice simmetrica k x k:

7 REGRESSORI STOCASTICI Siccome :

8 REGRESSORI STOCASTICI Siccome:

9 Consistenza: lo stimatore OLS preserva le proprietà di consistenza PLIM Efficienza asintotica: lo stimatore OLS collassa più velocemente (tra tutti gli stimatori della sua classe) sul valore della popolazione (Non diamo le dimostrazioni) REGRESSORI STOCASTICI

10 Sembrerebbe che la generalizzazione delle ipotesi classiche per tener conto di regressori stocastici non abbia fatto troppi danni. Tuttavia, come avremo modo di studiare nel dettaglio: Lipotesi di indipendenza fra errori e variabili indipendenti è spesso violata nella realtà Dovremo studiare opportuni rimedi MULTICOLLINARITÀ

11 Nel caso di regressori stocastici, un problema che diventa rilevante è quello della multicollinarità Abbiamo già visto la multicollinarità (perfetta) quando le X sono linearmente legate luna con laltra. Cosa succede nel caso di regressori stocastici? NB: non è un problema di causalità, basta che le X siano correlate In questo caso, la multicollinarità non è PERFETTA: può essere calcolata e lanalisi può procedere MULTICOLLINARITÀ

12 Tuttavia, la multicollinarità può causare problemi A mano a mano che il grado di multicollinarità aumenta lammontare di informazione indipendente si riduce Il problema della multicollinarità, nel caso di regressori stocastici diventa linsufficiente informazione campionaria MULTICOLLINARITÀ

13 Quando la correlazione tra le X è bassa, OLS ha molta informazione con cui procedere a stimare beta. Sono abbastanza sicuro del reale impatto delle due X su Y Y X1X1 X2X2 MULTICOLLINARITÀ

14 Quando invece la correlazione fra le X è elevata, larea di informazione indipendente si riduce. Ciò ci rende relativamente insicuri su quale sia il reale impatto delle due X su Y Y X1X1 X2X2 MULTICOLLINARITÀ

15 Dal punto di vista matematico ciò dipende dal fatto che il Det di XX tende a zero e quindi gli elementi della matrice diventano arbitrariamente grandi. In un contesto con 2 variabili indipendenti X, può dimostrarsi che: dove r è il coefficiente di correlazione campionaria fra le due X MULTICOLLINARITÀ

16 Pur essendo OLS è ancora BLUE deduciamo che la multicollinarità aumenta lo SE dei beta. NB: Ciò implica che i t-ratio tenderanno a essere bassi e a non farci rifiutare lipotesi nulla di non significatività dei regressori In conclusione, la multicollinità è un problema solo se porta al non Rifiuto dellipotesi nulla di non significatività statistica dei regressori MULTICOLLINARITÀ

17 SEGNI RIVELATORI La statistica F è significativa ma i singoli coefficienti no R 2 molto elevato ma i singoli t-stat sono bassi; non esiste un particolare valore/soglia per sostenere che R-squared è troppo elevato. In linea generale, se R 2 è più elevato di 0.9 e i beta non sono significativi cè da preoccuparsi I coefficienti sono elevati ma statisticamente non significativi Gli SE dei beta cambiano ragguardevolmente quando altre variabili sono incluse o rimosse, ma non così i coefficienti MULTICOLLINARITÀ

18 DIAGNOSTICA Metodologia di Farrar/Glauber Regredire ciascuna X su tutte le altre e computare i coefficienti di determinazione (ausiliari); Se esiste una (quasi) relazione lineare, allora almeno un R- squared sarà molto elevato; MULTICOLLINARITÀ

19 Abbiamo già discusso il fatto che: esistono 2 motivi (principali) che possono portare a E(ee) σ 2 I Gli elementi lungo la diagonale principale possono variare; Gli altri elementi possono non essere tutti zero. RESIDUI NON SFERICI

20 Il problema della non-constanza della varianza dellerrore è conosciuto come HETEROSKEDASTICITY Il problema delle covarianze non nulle degli errori è conosciuto come AUTOCORRELATION Sono problemi differenti che nascono in contesti diversi (dati di natura diversa) Le implicazioni per le proprietà degli stimatori OLS sono le stesse RESIDUI NON SFERICI

21 -IMPLICAZIONI (uguali per heteroschedasticità e corr. seriale) -DIAGNOSI (test diversi per ogni problema) -EVENTUALI RIMEDI (trasformazioni GLS del modello) RESIDUI NON SFERICI

22 Le cause delleteroschedasticità E un problema che si trova in dati cross-section (specialmente dati aggregati); Laccuratezza delle misurazioni può differire tra le unità prese in considerazione; Lerrore può essere proporzionale alla grandezza dellunità presa in considerazione (esempio GDP). ….abbiamo già visualizzato nel modello bivariato RESIDUI NON SFERICI

23 Le cause dellautocorrelazione. Nasce nelle time-series E possibile anche lautocorrelazione nelle cross section. Si parla allora di correlazione spaziale che ha un significato preciso ed è difficile da trattare Errori di misurazione (autocorrelati) Struttura dinamica Forma funzionale errata (non genuina) ….abbiamo già visualizzato nel caso bivariato Proviamo a generare una serie artificiale autocorrelata RESIDUI NON SFERICI

24 Cosa succede se abbiamo una violazione delle assunzioni sul comportamento dei disturbi? NB: la matrice ee non si conforma alle ipotesi classiche Lo stimatore OLS: non è coinvolto e continua ad essere lineare - corretto - consistente RESIDUI NON SFERICI

25 La varianza e lo S.E. del coefficiente sono invece coinvolti. Si ricordi che avevamo dimostrato che: per cui, se: stiamo supponendo che la varianza dei disturbi non sia cost - La formula per il calcolo dello SE di beta è ora sbagliata RESIDUI NON SFERICI

26 a)non possiamo utilizzare le procedure inferenziali viste fin qua; b)OLS non è più BLUE; c)Dobbiamo ricorrere alle procedure GLS che stimano (che è lo stimatore BLUE del vettore β vero della popolazione) Tuttavia V non è conosciuta. La si deve stimare: Abbiamo a che fare con Feasible Least Squares RESIDUI NON SFERICI

27 NB: Le stime GLS implicano una trasformazione del modello di regressione lineare. Ne studieremo diverse: Cochrane-Orcutt per il caso dellautocorrelazione; WLS per il caso delleteroschedasticità. RESIDUI NON SFERICI


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