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Analisi dei dati per i disegni ad un fattore. t di Student La statistica t di Student é definita come t = (Y- s 2 /N) -1/2 dove Y é la variabile, il parametro.

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1 Analisi dei dati per i disegni ad un fattore

2 t di Student La statistica t di Student é definita come t = (Y- s 2 /N) -1/2 dove Y é la variabile, il parametro valor medio della popolazione, s é la deviazione standard stimata ed N il numero delle osservazioni.

3 t di Student Essa rappresenta lo scarto dalla media misurato in unità dellerrore standard della distribuzione campionaria. Può essere utilizzato per costruire intervalli di confidenza attorno alla stima puntuale della media campionaria,

4 t di Student Il parametro con livello di confidenza (1- si trova allinterno dellintervallo: ± (t /2 ) s 2 /N) -1/2

5 t di Student La statistica t di Student consente di realizzare un test di inferenza statistica per il confronto tra due medie campionarie. In questo caso H 0 prevede che la differenza tra le due medie campionarie sia nulla.

6 t di Student La statistica t di Student per il confronto tra medie campionarie ha quindi al numeratore la differenza delle medie campionarie e al denominatore lerrore standard della distribuzione della differenza delle medie campionarie.

7 t di Student Se i due campioni sono composti da N 1 ed N 2 valori rispettivamente, la statistica risulterà avere (N 1 +N 2 -2) gradi di libertà o gdl, perché sia lo scarto tra le medie che il corrispondente errore standard sono stimati a partire dai dati.

8 Inferenza statistica Si rifiuta H 0 in base ai dati Si accetta H 0 in base ai dati H 0 è veraErrore di I tipo False Alarm ( Decisione corretta Hit H 0 è falsaDecisione corretta Correct Rejection Errore di II tipo Omission (

9 La statistica del 2 La statistica del é costituita da somme di punti Z al quadrato. Il numero dei gdl è pari al numero di punti Z sommati.

10 La statistica del 2 La distribuzione del con pochi gdl è asimmetrica e ha come valore atteso lo zero; allaumentare dei gdl il valore atteso tende ad essere pari al valore dei gdl, mentre la varianza tende ad essere pari a 2

11 La statistica F di Fisher La statistica F di Fisher é costituita dal rapporto tra due F = (

12 La statistica F di Fisher La distribuzione F è asimmetrica, non negativa e ha una forma che dipende dai gdl. Tra la statistica F e la t intercorre unovvia relazione: F = (t

13 Lanalisi della varianza LANOVA è una tecnica statistica che sottopone a verifica lipotesi nulla secondo la quale le medie campionarie di J gruppi sono estratte dalla medesima popolazione, e quindi sono pari al parametro della popolazione : H 0 : 1 = 2 = 3 =..... = J =

14 Lanalisi della varianza NellANOVA ad una via i gruppi sono individuati a partire dai livelli di un unico fattore o trattamento. Si chiamano effetti del trattamento ( ) gli scarti tra la media di un gruppo e la media generale: J = ( J -

15 Lanalisi della varianza LANOVA fornisce un modello dei dati, nel senso che permette di esprimere il valore delle osservazioni in termini dei parametri del modello più un termine di errore; per il modello tra i soggetti abbiamo: Y ij = + e ij

16 Lanalisi della varianza Il punto di partenza dellanalisi è la scomposizione della devianza totale: SQ TOTALE = i,j (Y ij - ) 2 = = i,j ( (Y ij - ) + ( - ) ) 2 = = i,j (Y ij - ) 2 + n j j ( - ) 2 = =SQ INTRAGRUPPO + SQ INTERGRUPPO dove n j è la numerosità del gruppo j-esimo.

17 Lanalisi della varianza Per valutare lentità e la significatività statistica degli effetti (nel loro insieme), lANOVA confronta la media dei quadrati intgruppo QM INTERGRUPPO = SQ INTERGRUPPO /(J-1) con la media dei quadrati intragruppo QM INTRAGRUPPO = SQ INTraGRUPPO /(N - J)

18 Lanalisi della varianza Sotto lipotesi nulla, queste due quantità riflettono due stime equivalenti della varianza dellerrore. Quindi se la variabilità interna ai gruppi e quella tra i gruppi così stimate sono equivalenti allora lipotesi nulla sarà verificata.

19 Lanalisi della varianza Per realizzare il confronto si utilizza la statistica F di Fisher, che per un confronto ad N soggetti e J gruppi ha la forma: F J-1,N-J = QM INTERGRUPPO / QM INTRAGRUPPO

20 Lanalisi della varianza Ricordiamo che lANOVA assume lomoschedasticità, ovvero luguaglianza delle varianze tra i gruppi. Lipotesi di uguaglianza delle varianze è verificata con il test di Levène. Se il test di Levène è significativo sarebbe necessario rinunciare allANOVA e ricorrere ad un confronto non parametrico, ad esempio usando il test di Wilcoxon.

21 Lanalisi della varianza Ciò é specialmente vero nel caso di gruppi non bilanciati, cioè di gruppi con numerosità molto diverse tra loro.

22 Lanalisi della varianza Tuttavia, dato che gli effetti della eteroschedasticità consistono in un aumento della probabilità di commettere errori di primo tipo, in caso di moderata eteroschedasticità (fino ad un rapporto 3:1 tra la varianza massima e la minima) si può procedere con lANOVA considerando però un valore più restrittivo.

23 Lanalisi della varianza LANOVA assume inoltre la normalità e lindipendenza degli errori. Se queste assunzioni non sono rispettate la possibilità di commettere errori di I tipo aumenta e la sensibilità del test diminuisce.

24 Lanalisi della varianza Il modello ANOVA consente di stimare lentità degli effetti attraverso il quoziente 2, che fornisce la quota di varianza spiegata dalla variabile indipendente; 2 é definito in termini di somma dei quadrati: 2 =SQ INTERGRUPPO / SQ TOTALE

25 Lanalisi della varianza Dato che SQ TOTALE = SQ INTERGRUPPO + SQ INTraGRUPPO, si ha che 2 varia tra zero ed uno. Quando si analizzano fenomeni complessi è possibile che la quota di varianza spiegata da una singola variabile indipendente sia anche molto piccola.


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