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1 LAnalisi della Varianza ANOVA (ANalysis Of VAriance)

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Presentazione sul tema: "1 LAnalisi della Varianza ANOVA (ANalysis Of VAriance)"— Transcript della presentazione:

1 1 LAnalisi della Varianza ANOVA (ANalysis Of VAriance)

2 2 Concetti generali: Confronto simultaneo tra più di due popolazioni, esempi..... La analisi della varianza estende il confronto a p gruppi con p>2.

3 3 Concetti generali Fattore: variabile utilizzata per differenziare un gruppo da un altro gruppo. Livello (o trattamento): uno dei possibili valori/stati/caratteristiche che il fattore può assumere Variabile risposta: variabile quantitativa oggetto dello studio Esempio: Si vuole verificare se la razza dei vitelli (FATTORE) considerando tre razze (LIVELLI) influenza il peso di 20 vitelli (VARIABILE RISPOSTA): boviniRazza 1Razza 2Razza 3 163,372,882,

4 4 Il disegno completamente randomizzato E il disegno sperimentale più semplice Si utilizza quando si considera un solo fattore sperimentale a più livelli. I trattamenti/livelli sono assegnati alle unità sperimentali in modo casuale (randomizzazione). Se il numero di repliche è uguale per tutti i trattamenti il disegno è detto bilanciato (preferibile), altrimenti è detto sbilanciato.

5 5 Concetti generali In genere i livelli o gruppi possono essere non solo numerici ma anche qualitativi. I fattori che definiscono i gruppi possono essere più di uno. Con un solo fattore analisi della varianza ad un fattore o ad una via Con due (o più) fattori analisi della varianza a due ( o più) fattori o a due vie (o più vie)

6 6 Predisposizione dei dati Fattore repliche i....p 1y 11 y y i1 y p1 2y 12 y y i2 y p Jy 1j y 2j....y ij y pj nini Y 1n(i) Y 2n(i)....Y in(i) Y pn(i) Medie....

7 7 ESEMPIO: peso di 20 vitelli

8 8 Il modello lineare:

9 9 Il modello lineare Il modello può essere rappresentato in questa forma: Y ij = + α i + ε ij con μ media di tutte le popolazioni rappresentate nellesperimento α i = μ μ i effetto delli-esimo trattamento/livello Generalmente si assume i = 1,..., p (p numero dei livelli) j = 1,..., n i (n i numero di repliche) Se il disegno è bilanciato, n 1 = n 2 =... = n p = n.

10 10 Scomposizione della variabilità totale Variabilità allinterno dei gruppi (SSE) errore sperimentale Variabilità tra i gruppi (SSA) effetti del trattamento Si ha che:SST = SSA + SSE

11 11 Assumendo che i p gruppi (popolazioni) da cui vengono estratte casualmente le osservazioni siano distribuiti normalmente e abbiano uguali varianze, lipotesi sottoposta a verifica è: H 0 : 1 = 2 = … = p oppure H 0 : α i = 0 H A : non tutte le i sono uguali Come fare inferenza

12 12 Come costruire il test? Il test è basato sulle seguenti considerazioni: Se è vera lipotesi nulla, i dati differiscono tra loro per il solo effetto della variabilità casuale. Se invece è vera lipotesi alternativa (quindi rifiuto lH 0 ), entrambe le fonti di variabilità contribuiscono a determinare la variabilità complessiva. Il test è quindi basato sullanalisi della variabilità complessiva in funzione delle diverse cause (da cui il termine Analisi della Varianza).

13 13 La VARIABILITA TOTALE è descritta dalla SST: Devianza totale: Scomposizione della variabilità totale

14 14 La VARIABILITA TRA I GRUPPI è descritta dalla SSA (devianza tra i gruppi) Devianza tra i gruppi: Scomposizione della variabilità totale FORMULA CALCOLATORIA:

15 15 La VARIABILITA NEI GRUPPI (o ENTRO I GRUPPI) è descritta dalla SSE: devianza entro i gruppi Devianza entro i gruppi: Scomposizione della variabilità totale FORMULA CALCOLATORIA

16 16 Cosa ci aspettiamo Se lipotesi nulla è vera, ci possiamo attendere uno scarso contributo della devianza tra gruppi alla devianza totale. Sellipotesi nulla è falsa, ci possiamo attendere che entrambe le devianze contribuiscano a determinare la devianza totale. A questo livello non è però possibile fare confronti, perchè le devianze hanno un numero di addendi diverso. Dobbiamo quindi rendere confrontabili le devianze....

17 17 I gradi di libertà Ad ognuna delle devianze sono associati i gradi di libertà: la devianza totale ha n 1 gradi di libertà la devianza tra gruppi ha p 1 gradi di libertà la devianza entro i gruppi ha n - p gradi di libertà Dividendo ciascuna devianza per i rispettivi gradi di libertà si ottengono le media dei quadrati, cioè le VARIANZE: Varianza tra i gruppi Varianza entro i gruppi

18 18 Test F per la ANOVA a un fattore statistica-test F Per verificare lipotesi di uguaglianza delle medie utilizzo la statistica-test F che confronta MSA e MSE. La statistica F segue una distribuzione F di Fisher con (p-1, n t -p) gradi di libertà. La regola decisionale è: Rifiuto H 0 se F>F α

19 19 Il valore critico F u viene determinato in funzione del livello di significatività del test. Se H 0 è falsa ci aspettiamo che F assuma valori maggiori rispetto ai valori tabulati nella tavola della F la variabilità totale è dovuta soprattutto alleffetto del trattamento/fattore. Se H 0 è vera ci aspettiamo che il valore osservato di F sia minore al valore tabulato. Test F per la ANOVA a un fattore I valori critici si individuano nelle tavole della distribuzione F in base ai gradi di libertà e al livello di significatività scelto

20 20 I risultati del test F per la ANOVA a un fattore vengono sintetizzati in una tabella come quella seguente: Test F per la ANOVA a un fattore

21 21 Esempio Esempio:Peso dei vitelli di 3 razze diverse: Output di excel:


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