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Variabili casuali a più dimensioni Capita talvolta di osservare su una stessa unità statistica due o più caratteristiche. per esempio (x i,y j ) Per rappresentare.

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Presentazione sul tema: "Variabili casuali a più dimensioni Capita talvolta di osservare su una stessa unità statistica due o più caratteristiche. per esempio (x i,y j ) Per rappresentare."— Transcript della presentazione:

1 Variabili casuali a più dimensioni Capita talvolta di osservare su una stessa unità statistica due o più caratteristiche. per esempio (x i,y j ) Per rappresentare il numero delle volte in cui le diverse modalità si presentano si impiegano le tabelle a più entrate (tabella a doppia entrata nel caso di 2 caratteristiche )

2 Tabella a doppia entrata Consideriamo un fenomeno casuale che si presenti con due caratteristiche X ed Y rispettivamente, ciascuno dei quali presenta valori discreti con n e m occorrenze Possiamo dunque costruire una tabella dove per ogni caratteristica x i ed y j rilevata congiuntamente viene riportata la frequenza (assoluta) congiunta, cioè il numero di volte N ij con cui si sono presentate contemporaneamente le due caratteristiche.

3 Tabella a doppia entrata frequenza congiunta relativa

4 Variabile casuale a più dimensioni continua Analogamente a quanto visto per una variabile casuale a più dimensioni discreta si può pensare ad una variabile casuale a più dimensioni continua. Siano X e Y le due caratteristiche. La funzione densità di probabilità e la funzione di probabilità cumulativa assumeranno dunque le forme di:

5 Distribuzioni marginali A questo punto ha senso chiedersi come si distribuisce la caratteristica X indipendentemente dai valori assunti dalla caratteristica Y e viceversa. Nel caso discreto si ha: Mentre nel caso continuo:

6 Media Le distribuzioni marginali si presentano come delle variabili casuali ad una dimensione e dunque è possibile calcolare la media di X e di Y semplicemente con: e nel caso continuo: viene chiamata media della variabile casuale doppia

7 Varianza e covarianza Analogamente a quanto visto per la media è possibile calcolare la varianza delle distribuzioni marginali di X e di Y con: e nel caso continuo:

8 Varianza e covarianza Per la variabile casuale nel suo complesso è possibile calcolare la quantità e nel caso continuo: La quantità viene chiamata (matrice di) covarianza

9 Distribuzioni condizionate Analogamente a quanto visto per la definizione di probabilità condizionata, ha senso chiedersi come si distribuisce la caratteristica X fissato un ben determinato valore della caratteristica Y e viceversa. Quindi si ha:

10 Regressione La distribuzione di X condizionata ad Y è una variabile casuale con argomento x che dipende da un parametro y. Di questa variabile casuale posso calcolare la media che è data da: E viceversa

11 Variabile casuale funzione di variabile casuale Analogamente a quanto visto per le variabili casuali ad una dimensione è interessante considerare una variabile casuale Y (ad m dimensioni) funzione di una variabile casuale X (ad n dimensioni), cioè:

12 Variabile casuale funzione di variabile casuale In alcuni casi semplici è possibile calcolare la distribuzione di Y nota quella di X, tuttavia, sotto alcune condizioni particolari è possibile pervenire ad una stima di media e (matrice di ) covarianza di Y. Siano le relazioni Y=g(X) morbide, cioè si possano pensare come sviluppo in serie troncate al termine del primo ordine; Siano tutte le X i ben concentrate attorno alla media.

13 Media Allora è possibile calcolare la media di Y nel seguente modo:

14 Covarianza E la matrice di covarianza può essere calcolare nel seguente modo: Legge di propagazione della Covarianza

15 Jacobiano


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