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VARIABILI DOPPIE: UN ESEMPIO n Con riferimento agli esiti del lancio di due dadi da gioco, si considerino le seguenti funzioni: n Z 1 = punteggio realizzabile.

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1 VARIABILI DOPPIE: UN ESEMPIO n Con riferimento agli esiti del lancio di due dadi da gioco, si considerino le seguenti funzioni: n Z 1 = punteggio realizzabile con il primo dado: z 1 = 1, 2, …, 6; n Z 2 = punteggio realizzabile con il secondo dado: z 2 = 1, 2, …, 6; n Y = punteggio somma: y := z 1 + z 2 ; y = 2, 3, …, 12; n X = differenza tra i punteggi dei due dadi in valore assoluto: x :=|z 1 - z 2 |; x = 0, 1, 2,..., 5. n Nella tabella seguente sono riportate allinterno delle celle i valori di probabilità per ciascuna coppia di valori (x,y) possibili riguardanti le due variabili (o numeri) aleatorie X e Y riportati rispettivamente nella prima colonna e prima riga.

2 PROBABILITA CONGIUNTA PROBABILITA MARGINALI n.n.

3 VARIABILI DOPPIE: PROPRIETA Si considerino: n la v.a doppia (X,Y) con: n f.p. congiunta p(x,y), (x,y) S (X,Y) = S X S Y ; f.r. congiunta F(x,y), (x,y) 2 ; n la v.a. marginale X con f.p. p 1 (x) e f.r. F 1 (x); n la v.a. marginale Y con f.p. p 2 (y) e f.r. F 2 (y); n le v.a. condizionate X|y, y S Y, con f.p. p 1|2 (x|y) e f.r. F 1|2 (x|y); n le v.a. condizionate Y|x, x S X, con f.p. p 2|1 (y|x) e f.r. F 2|1 (y|x). Per la v.a. X con f.r. marginale F 1 (x), valgono i seguenti risultati: n (1) E F 1 (X) = E F 2 {E F 1|2 (X|Y)}; n (2) Var F 1 (X) = E F 2 {Var F 1|2 (X|Y)} + Var F 2 {E F 1|2 (X|Y)}. Risultati analoghi si ottengono per la v.a. Y con f.r. marginale F 2 (y).

4 MISURE DI DIPENDENZA PER VARIABILI DOPPIE CONTINUE: LA COVARIANZA Si definisce covarianza tra le v.a. X e Y, denotata con Cov(X,Y), il seguente valore medio: n Cov(X,Y) := E{[x-E(X)][y-E(Y)]}. Valgono: n (1) Cov(X,Y) = Cov(Y,X); n (2) - Cov(X,Y) + ; n (3) Cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y); n (4) X Y E(XY) = E(X)E(Y); n (5) X Y Cov(X,Y) = 0; n (6) Cov(X,Y) = 0 X Y.

5 MISURE DI DIPENDENZA PER VARIABILI DOPPIE CONTINUE: IL COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE Si definisce coefficiente di correlazione tra le v.a. X e Y, denotata con Corr(X,Y) o più brevemente con (X,Y), il seguente rapporto: n Corr(X,Y) := Cov(X,Y)/[var(X)var(Y)] 1/2. Valgono: n (1) Corr(X,Y) = Corr(Y,X); n (2) Corr{(a+bX),(c+dY)} = Corr(X,Y); n (3) X Y (X,Y) = 0. n (4) (X,Y) = 0 X Y. Disuguaglianza di Schwarz: n (5) [E(XY)] 2 E(X 2 )E(Y 2 ); segue: n (6) -1 Corr(X,Y) +1. Si pone: n 2 (X,Y) =[ (X,Y)] 2. Valgono inoltre: con b>0, Corr{(a+bX),X} = 1; con b<0, Corr{(a+bX),X} = -1.

6 MISURE DI DIPENDENZA PER VARIABILI DOPPIE CONTINUE: IL RAPPORTO DI CORRELAZIONE Tenendo presente la scomposizione della varianza della v.a. X: n Var(X) = E F 2 {Var F 1|2 (X|Y)} + Var F 2 {E F 1|2 (X|Y)}; Si definisce rapporto di correlazione tra le v.a. X e Y, denotato con 2 (X|Y), il seguente rapporto: n 2 (X|Y) := Var F 2 {E F 1|2 (X|Y)} / Var(X). Analogamente si ha: n 2 (Y|X) := Var F 1 {E F 2|1 (Y|X)} / Var(Y). Risultando in generale: 2 (X|Y) 2 (Y|X) Risultano: n (1) 0 2 (Y|X) 1; n (2) 2 (Y|X) = 0 E F 2|1 (Y|x) = E F 2 (Y), x S X ; n (3) 2 (Y|X) = 1 Var F 2|1 (Y|x) = 0, x S X ; n (4) 2 (X,Y) min{ 2 (Y|X), 2 (X|Y) }; n (5) X Y 2 (Y|X) = 2 (X|Y) = 0. n (6) [ 2 (Y|X) = 2 (X|Y) = 0] X Y.

7 RISULTATI DELLESEMPIO CONSIDERATO n Per le v.a. (X,Y) considerate nellesempio introduttivo si ottengono i seguenti risultati: n v.a. Y|x, x = 0,1,…,5. n x n E(Y|x) n Var(Y|x) 70/ /3 1 0 n v.a. Y: E(Y) = 2(3.5) = 7; Var(Y) = 2(35/12) = 35/6. n Var{E(Y|X)} = 0; 2 (Y|X) = 0. n v.a. X|y, y = 2,3,…,12. n y n E(X|y) 0 1 4/ /3 1 0 n Var(X|y) 0 0 8/ / /9 0 0 n v.a. X: E(X) = 35/18; Var(X) = 665/324; n E{Var(X|Y)} = 38.8/27. n 2 (X|Y) = 1 - [(38.8/27)/(665/324)] = n (X,Y) = 0.

8 DISTANZA TRA FUNZIONI DI RIPARTIZIONE n Date le due funzioni di ripartizione F(x,y) e G(x,y)=F 1 (x)F 2 (y), si può considerare la seguente distanza di ordine p (p 0): n d p (F,G): = [ |F(x,y)-G(x,y)| p dxdy] 1/p. n Si osservi che per le f.r. F, G e H, risultano: n (1) F = G d p (F,G) = 0; n (2) d p (F,G) = d p (G,F); n (3) d p (F,G) d p (F,H) + d p (H,G), f.r. H(x,y). n Per v.a. positive, risulta: n Cov(X,Y) = [F(x,y) - F 1 (x)F 2 (y)]dxdy.

9 ALCUNI RISULTATI OPERATIVI DI ALGEBRA DELLE V.A. n Valgono i seguenti risultati: n E(aX ± bY) = aE(X) bE(Y); n Var(aX ± bY) = a 2 Var(X) + b 2 Var(Y) ± 2abCov(X,Y). n Esempio. Media, varianza e correlazione nella scelta di un portafoglio: il criterio media-varianza. n Dati due portafogli Alfa e Beta con rendimenti aleatori riferiti a un determinato periodo rispettivamente X e Y, diremo che il rendimento aleatorio X e preferibile al rendimento aleatorio Y, scriveremo X Y, se: n E(X) E(Y); n Var(X) Var(Y).


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