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DISTRIBUZIONE CAMPIONARIA CONGIUNTA DI DUE VARIABILI (1) Finora ci siamo occupati di medie e scarti ma dobbiamo anche affrontare il problema di studiare.

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Presentazione sul tema: "DISTRIBUZIONE CAMPIONARIA CONGIUNTA DI DUE VARIABILI (1) Finora ci siamo occupati di medie e scarti ma dobbiamo anche affrontare il problema di studiare."— Transcript della presentazione:

1 DISTRIBUZIONE CAMPIONARIA CONGIUNTA DI DUE VARIABILI (1) Finora ci siamo occupati di medie e scarti ma dobbiamo anche affrontare il problema di studiare le relazioni tra insiemi di dati. La media e la deviazione standard possono essere usate per descrivere una singola distribuzione di frequenza ma non ci dicono nulla sulle eventuali relazioni tra due variabili.

2 DISTRIBUZIONE CAMPIONARIA CONGIUNTA DI DUE VARIABILI(2) Potremmo, ad esempio, essere interessati a valutare il grado di associazione tra l'altezza e il peso della stessa persona allinterno di un gruppo di persone, tra il reddito medio pro-capite di un Paese e il tasso di mortalità neonatale, tra età della madre e numero di nati affetti da sindrome di Down e così via. Il primo passo da compiere quando si vuole studiare una relazione tra due variabili consiste nell'elencare le coppie di valori relative alle due variabili in studio e rappresentarle graficamente

3 DISTRIBUZIONE CAMPIONARIA CONGIUNTA DI DUE VARIABILI(2) Si consideri un insieme di coppie (x i, y i ) di valori di uricemia, misurati con due metodi (X ed Y) in un gruppo di 10 uomini anziani. Si consideri che ciascun prelievo di sangue (uno per soggetto) è stato ripartito in due aliquote, l'una analizzata con il metodo X e l'altra con il metodo Y.

4 DISTRIBUZIONE CAMPIONARIA CONGIUNTA DI DUE VARIABILI (2) L'esame visivo del grafico (diagramma di dispersione) fornisce una prima idea dell'entità e della forma della relazione. Grafico di Dispersione I dati della tabella sono riportati nel diagramma cartesiano qui a fianco. Ogni punto rappresenta una coppia (x i, y i ), la linea rossa verticale la media (x) delle x i, e La linea rossa orizzontale la media (y) delle y i.

5 CORRELAZIONE LINEARE Poiché ogni coppia di misure si riferisce a un differente valore i tipico del soggetto in esame, ci si aspetta che, se una misura x i è maggiore della media, anche la corrispondente misura y i sia maggiore della media. In altre parole, ci si attende che a scarti dalla media (x i -x m ) positivi sull'asse x corrispondano scarti dalla media(y i - y m ) positivi sull'asse y, e che a scarti negativi sullasse x corrispondano scarti negativi sull'asse y: in effetti, i punti (x i,y i ) sono addensati nel primo e nel terzo quadrante.

6 ASSENZA DI CORRELAZIONE LINEARE Un singolo prelievo di sangue viene suddiviso in 10 provette, ed il contenuto di ogni provetta è ripartito in due aliquote, analizzate l'una con il metodo X e l'altra con il metodo Y. Nell'insieme di 10 coppie (x i, y i ) di misure di un unico valore, le fluttuazioni attorno alle medie e sono dovute solo ad errori di misura.

7 Perciò non ci si aspetta che a scarti positivi sull'asse x corrispondano scarti positivi sull'asse y: in effetti, i punti(x i,y i ) si disperdono uniformemente nei quadranti della figura Grafico di Dispersione I dati della tabella sono riportati nel diagramma cartesiano qui a fianco. Ogni punto rappresenta una coppia (x i, y i ), la linea rossa verticale la media (x m ) delle x, e la linea rossa orizzontale la media (y m ) delle y.

8 La somma dei prodotti degli scarti prende il nome di codevianza: Tale somma è positiva se le coppie di scarti concordi (+,+ o -,-) prevalgono su quelle di scarti discordi, negativa in caso contrario, e nulla se coppie concordi e discordi si equivalgono: In analogia con quanto visto per la varianza campionaria, si definisce un indice detto covarianza dato dal rapporto tra codevianza e numerosità (n) del campione diminuita di un'unità

9 INDICI DI COVARIAZIONE: Il rapporto tra la covarianza e il prodotto delle deviazioni standard (s x e s y ) delle variabili x e y è detto coefficiente di correlazione lineare: Il coefficiente di correlazione lineare può assumere valori compresi tra -1 e +1.

10 ESEMPIO DI CALCOLO (1) La tabella seguente riporta lo schema di calcolo (basato sugli scarti dalla media) degli indici di Correlazione Lineare per l'esempio 1

11 ESEMPIO DI CALCOLO (2) La tabella seguente riporta lo schema di calcolo (basato sulle somme dei quadrati e le somme dei prodotti) degli indici di covariazione per l'esempio 1. ESEMPIO di calcolo (2)

12 COME APPARE LA CORRELAZIONE: Gli esempi qui riportati si riferiscono alla correlazione tra i valori di uricemia rilevati, in differenti condizioni, con due metodi di misura (X e Y) su un campione di 100 soggetti anziani. uno studente alla 1° lezione uno studente alla 2° lezione uno studente all'ultima lezione un analista esperto

13 La FORZA e il TIPO dell'ASSOCIAZIONE Il coefficiente di correlazione lineare è indice di quanto i punti si allineano su di una retta, e non risente dell'inclinazione della retta, salvo che per due importanti eccezioni.

14 La FORZA e il TIPO dell'ASSOCIAZIONE Grafici di dispersione per variabili a correlazione elevata o molto elevata.

15 La FORZA e il TIPO dell'ASSOCIAZIONE Grafici di dispersione per variabili a correlazione nulla o lieve.

16 La FORZA e il TIPO dell'ASSOCIAZIONE Il coefficiente di correlazione è positivo se la retta giace nei quadranti I e III, negativo in caso contrario. Se i punti si allineano perfettamente su una retta parallela ad uno dei due assi, il coefficiente di correlazione è indeterminato.

17 La FORZA e il TIPO dell'ASSOCIAZIONE Il coefficiente di correlazione lineare è indice di quanto i punti si allineano su di una retta: vi possono essere associazioni anche forti, ma di tipo non lineare per le quali il coefficiente di correlazione è prossimo a 0.


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