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DIFFERENZA TRA LE MEDIE In campioni non indipendenti.

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Presentazione sul tema: "DIFFERENZA TRA LE MEDIE In campioni non indipendenti."— Transcript della presentazione:

1 DIFFERENZA TRA LE MEDIE In campioni non indipendenti

2 Appaiati Si considerino di nuovo i metodi analitici V ed N per la determinazione dell'uricemia, e si supponga di voler saggiare la loro accuratezza su un ampio spettro di concentrazioni ematiche. A tale scopo, 7 soggetti sono stati sottoposti a un prelievo di sangue. Ciascun prelievo (uno per soggetto) è stato poi ripartito in due aliquote, l'una analizzata col metodo V e l'altra col metodo N. Si sono ottenute le misure (mg/dl) riportate nella seguente tabella:

3 Prefissato un rischio d'errore di tipo I =0.05, si vuole saggiare se i due metodi hanno il medesimo grado di inaccuratezza. soggetto: Metodo V Metodo N differenza Ciò significa scegliere tra le due ipotesi: H 0 :( V - N ) = 0 le vere medie delle distribuzioni delle misure coincidono per i due metodi H 1 :( V - N ) 0 le vere medie delle distribuzioni delle misure differiscono tra i due metodi Nel caso in esame, i due campioni di misure non sono indipendenti. (Cfr. analogo esempio è illustrato a proposito del coefficiente di correlazione).

4 Da quanto detto si possono ricavare il valore atteso e la varianza della differenza (d) entro ciascun soggetto: Valore atteso della differenza E[d] ed Var[d] Dalla NOTA* e sotto gli assunti ora specificati, si ha che:

5 Da quanto illustrato si ricava che, sotto ipotesi nulla, la media ( ) delle differenze ( ), calcolate per ciascuno degli n soggetti, ha distribuzione gaussiana con media 0 e varianza pari a 2 2 /n. N (0, 2 2 /n) Il rapporto tra la media delle differenze e la stima del suo errore standard (ricavabile direttamente dalla deviazione standard delle differenze) ha, come sappiamo, distribuzione t di Student con gradi di libertà: differenza tra le medie nel caso di campioni appaiati t t (con =n-1 g.d.l.)

6 Nel nostro esempio si calcola che:

7 continua Poiché il valore calcolato (2.973) è maggiore del centile 97.5 della distribuzio-ne t con 6 g.d.l. (2.447), l'ipotesi nulla viene rifiutata al livello di significatività =0.05. Si può concludere che il metodo V tende a dare misure significativa-mente più elevate rispetto al metodo N. Se il fine è quello di stimare quanto i due metodi analitici differiscono per inaccuratezza, anziché eseguire il test posso calcolare l'intervallo di confidenza per la vera differenza tra le medie dei due metodi ( = V - N ):

8 Nel nostro esempio Nel nostro esempio la confidenza corrispondente ad un rischio d'errore di tipo I =0.05 è (1- )=0.95: I.C.95% = = [0.025; 0.261] Posso pertanto affermare che la vera differenza ( ) di inaccuratezza tra i due metodi è un qualunque valore incluso tra e Si noti che l'intervallo di confidenza non contiene lo 0: la probabilità che sia nullo è minore del 5%, in coerenza con l'esito del test di ipotesi. Segue nota * La probabilità che tale affermazione corrisponda a verità è del 95%.

9 NOTA * Covarianza (x V,x N ) non nulla = Infatti ogni coppia (x V,x N ) di misure si riferisce ad un valore ( ) tipico dell'individuo in esame, che si scosta per una quantità ( - ) dalla media ( ) della popolazione da cui si è estratto il campione. Inoltre, la differenza tra i valori x V ed x N entro ciascuna coppia è dovuta in parte alla sistematica differenza di accuratezza tra i due metodi ( V - N ), ed in parte agli errori di misura ( V, N ): Il termine casuale ( - ), che rappresenta la variabilità (o eterogeneità) biologica dell'uricemia, ha valore atteso nullo (infatti è uno scarto dalla media) e varianza :

10 NOTA* L'errore casuale di misura Assumiamo inoltre che l'errore casuale di misura abbia identica distribuzione gaussiana per i due metodi analitici: E( V ) =E( N ) = 0 V( V ) = V( N ) = 2 Dai precedenti assunti si ricava che E(x V )= V e E(x N )= N Cosa vale la covarianza tra le variabili casuali x V e x N ? Per l'indipendenza tra gli errori di misura, e tra l'errore di misura ed il termine di variabilità biologica si ha che: Ne consegue che:


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