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Corso di biomatematica Lezione 2: Probabilità e distribuzioni di probabilità Davide Grandi.

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Presentazione sul tema: "Corso di biomatematica Lezione 2: Probabilità e distribuzioni di probabilità Davide Grandi."— Transcript della presentazione:

1 Corso di biomatematica Lezione 2: Probabilità e distribuzioni di probabilità Davide Grandi

2 Sommario Definizione di probabilità la frequenza Assiomi Definizioni Distribuzioni di probabilità: Valor medio e varianza Discrete - esempi

3 La probabilità Davide Grandi - Dottorato in Biologia La probabilità P(E) di un evento E è il rapporto tra il numero di casi favorevoli F (al realizzarsi di E) ed il numero di casi N possibili, giudicati egualmente possibili (stesso peso) P(E)=F/N con 0 P(E) 1[N finito] Se F=0 non esistono casi favorevoli, e levento è IMPOSSIBILE ovvero P(E)=0 Se F=N ovvero tutti i casi sono favorevoli, levento è CERTO e P(E)=1. N.B. difficile determinare leguaglianza di tutti i casi possibili

4 La probabilità Davide Grandi - Dottorato in Biologia definizione di frequenza definizione di frequenza Si definisce frequenza relativa di un evento in n prove effettuate nelle stesse condizioni, il rapporto tra il numero v delle prove in cui levento si è verificato e il numero n delle prove effettuate: f=v/n con 0 f 1 f=0 evento mai verificato, f=1 evento sempre verificato La frequenza dipende dal numero di prove Se il numero di prove è sufficientemente alto il rapporto f=v/n tende a stabilizzarsi

5 La probabilità Davide Grandi - Dottorato in Biologia legge empirica del caso legge empirica del caso In una serie di prove, ripetute un gran numero di volte, eseguite tutte nelle stesse condizioni, la frequenza tende ad assumere valori prossimi alla probabilità dellevento e lapprossimazione è tanto maggiore quanto più sono numerose le prove eseguite. Definizione frequestista di probabilità: La probabilità di un evento è la frequenza relativa ad un numero elevato di prove.

6 Assiomi della probabilità Davide Grandi - Dottorato in Biologia definizione matematica di probabilità (Kolmogorov) Sia S un insieme di possibili risultati (A i ) di un esperimento, cioè S{A 1, A 2, A 3,……A n } se tali eventi sono mutualmente escludentesi allora per ognuno di essi esiste una probabilità P(A) rappresentata da un numero reale che soddisfa le seguenti proprietà: P(A) 0 Se come abbiamo ipotizzato A 1, A 2, A 3,…… sono eventi mutualmente escludentesi, allora deve valere: P(A 1 oppure A 2 ) = P(A 1 ) + P(A 2 ) Dove P(A 1 oppure A 2 ) è la probabilità di avere il risultato A 1 o il risultato A 2

7 Assiomi della probabilità Davide Grandi - Dottorato in Biologia i P(A i ) = 1 dove la sommatoria è estesa su tutti gli eventi mutualmente escludentesi Le conseguenze dei tre assiomi sono: P(non A i ) = 1 P(A i ) ovvero la probabilità di non ottenere A i é uno meno la probabilità di ottenerlo P(A i ) 1 La probabilità è un numero reale compreso tra 0 e 1, ovvero in pratica 0 P(A i ) 1 dove 1 rappresenta la certezza di ottenere levento e 0 di non ottenerlo

8 Definizioni Davide Grandi - Dottorato in Biologia EventoEvento Nel calcolo delle probabilità si definisce evento ogni fatto che in seguito ad una prova può accadere oppure no. Ad ogni evento è associato un numero reale che è tanto maggiore quanto più elevata è la possibilità che si verifichi: chiamiamo tale evento probabilità dellevento. Eventi dipendenti ed indipendentiEventi dipendenti ed indipendenti Sia dice che levento A è dipendente dallevento B, se la probabilità dellevento A dipende dal fatto che levento B si sia verificato o meno. A è indipendente da B se la probabilità dellevento A non dipende dal verificarsi di B

9 Definizioni Davide Grandi - Dottorato in Biologia Eventi certi e impossibiliEventi certi e impossibili Definiamo evento certo quellevento che in seguito ad un esperimento DEVE obbligatoriamente verificarsi. Esso costituisce lunità di misura della probabilità: gli si attribuisce probabilità uguale allunità. Tutti gli altri eventi, probabili ma non certi, avranno probabilità minore dellunità. Levento contrario allevento certo è detto impossibile, ossia NON può accadere nella prova in questione. Ad esso è associata una probabilità uguale a zero.

10 Definizioni Davide Grandi - Dottorato in Biologia Eventi mutualmente escludentesiEventi mutualmente escludentesi Si dicono eventi mutualmente escludentesi o incompatibili quegli eventi aleatori che non possono verificarsi simultaneamente in una data prova (es moneta). Eventi equiprobabiliEventi equiprobabili Degli eventi casuali si dicono equiprobabili in una data prova se la simmetria dellesperimento permette di supporre che NESSUNO di essi sia più probabile di un altro ( ad esempio lancio di UN dado)

11 Definizioni Davide Grandi - Dottorato in Biologia Eventi contrariEventi contrari Si dicono eventi contrari due o più eventi mutualmente escludentesi che formano un gruppo completo. Somma degli eventiSomma degli eventi Si dice somma di due eventi A e B levento C che consiste nel verificarsi dellevento A o dellevento B o di entrambe. La probabilità dellevento C si scrive come: P(C)= P(A B)=P(A+B) =P(A oppure B)

12 Definizioni Davide Grandi - Dottorato in Biologia Prodotto degli eventiProdotto degli eventi Si chiama prodotto di due eventi A e B levento C che consiste nel verificarsi simultaneo degli eventi A e B. La probabilità dellevento C si indica così: P(C)=P(A B) = P(AxB) = P(A e B) Probabilità condizionataProbabilità condizionata La probabilità che si verifichi levento A calcolata a condizione che si verifichi levento B si dice appunto probabilità condizionata e si denota con: P(A|B)

13 Definizioni Davide Grandi - Dottorato in Biologia Gruppo completo di eventiGruppo completo di eventi Si dice che eventi casuali formano un gruppo completo di eventi se almeno uno di essi deve definitivamente accadere (da 1 a 6 per il dado). Variabili aleatorieVariabili aleatorie Si dicono variabili aleatorie quelle grandezze che possono assumere nel corso di una prova un valore sconosciuto a priori. Si distinguiono tra discrete (numero finito) e continue (riempino densamente un intervallo), e miste.

14 Definizioni Davide Grandi - Dottorato in Biologia Valore atteso di una variabile aleatoriaValore atteso di una variabile aleatoria Si dice valore atteso o speranza matematica la somma di tutti i possibili valori della variabile per la probabilità. Il valore atteso è legato al valor medio per un gran numero di prove poichè la media tende alla speranza matematica.

15 Definizioni Davide Grandi - Dottorato in Biologia Prodotto delle probabilitàProdotto delle probabilità Si intende il verificarsi simultaneamente di due eventi (esempio estrazione del due ed estrazione di picche da un mazzo di carte…. ovvero il due di picche!) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) oppure P(AxB) =P(A) + P(B) P(A+ B)

16 Definizioni Davide Grandi - Dottorato in Biologia Addizione delle probabilitàAddizione delle probabilità Si intende il verificarsi di due (o più) eventi sia che accadano insieme oppure in alternativa P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) oppure P(A+B) =P(A) + P(B) P(AXB)

17 Definizioni Davide Grandi - Dottorato in Biologia Probabilità compostaProbabilità composta Legato al teroema di moltiplicazione delle probabilità, dice che: la probabilità del prodotto di due eventi è uguale al prodotto della probabilità di uno degli eventi per la probabilità condizionata dellaltro, calcolata a condizione che il primo abbia luogo ovvero: P(A B) = P(A) P(B|A)=P(B)P(A|B) Se gli eventi sono mutualmente escludentesi, abbiamo che P(B|A)=P(B) e P(A|B)=P(A) e quindi P(A B) = P(A) P(B)

18 Distribuzioni di probabilità Davide Grandi - Dottorato in Biologia Gli assiomi (3°) della probabilità ci dicono che i P(A i ) = 1 Dato un insieme di valori possibili mutualmente escludentisi, quindi questa probabilità si distribuisce in un certo modo tra i valori della variabile. Per descrivere una variabile aleatoria dal punto di vista probabilistico specifichiamo questa distribuzione, ovvero stabiliamo la legge di distribuzione della variabile aleatoria. La legge di distribuzione è quindi una relazione che stabilisce una corrispondenza tra i valori possibili di tale variabile e la loro probabilità

19 Distribuzioni di probabilità Davide Grandi - Dottorato in Biologia Il fatto che una variabile aleatoria si distribuisca secondo una data distribuzione ci permette di trarre alcune conclusioni importanti tra cui la possibilità di definire quello livello di confidenza che viene chiamato livello di confidenza : ovvero la probabilità che laffermazione a cui esso si riferisce sia vera. Le distribuzioni per variabili aleatorie si distinguono in Discrete Continue

20 Distribuzioni discrete Davide Grandi - Dottorato in Biologia Valor medio e varianzaValor medio e varianza Per una distribuzione discreta di probabilità, di variabile casuale x i il valor medio è dato da: Lo scarto del valore x i dalla media è: Si dice varianza (o scarto quadratico medio) 2 il valor medio del quadrato degli scarti, cioè:

21 Distribuzioni discrete Davide Grandi - Dottorato in Biologia Teorema di Bienaymè-CebicevTeorema di Bienaymè-Cebicev Fissiamo il valore di uno scarto come riferimento, posso mettere in relazione con questo valore gli altri scarti i con esso e con la varianza 2, infatti detto uno scarto in esame vale: Ovvero la probabilità che la distanza di un dato dalla media sia superiore ad un valore predefinito NON SUPERA il rapporto tra la varianza e il quadrato del valore stesso

22 Distribuzioni discrete Davide Grandi - Dottorato in Biologia Distribuzione uniformeDistribuzione uniforme Un esempio tipico è il lancio di un dado (o di una moneta): i sei eventi possibili sono i sei punteggi, a ciascuno corrisponde il valore di probabilità Per il terzo assioma della probabilità: In generale avremo

23 Distribuzioni discrete Davide Grandi - Dottorato in Biologia Teorema delle prove ripetuteTeorema delle prove ripetute Sia p=P(E) la probabilità dellevento E e sia q la probabilità dellevento complementare E c, ci chiediamo qual è la probabilità che su n esperimenti levento E si verifichi k volte (con k<=n) Per il principio della probabilità composta abbiamo che la probabilità di una specifica combinazione di k eventi E e di (n-k) eventi E c è E questa combinazione è realizzata da disposizioni ovvero

24 Distribuzioni discrete Davide Grandi - Dottorato in Biologia Distribuzione binomiale o di BernoulliDistribuzione binomiale o di Bernoulli Dati i valori n e p, il teorema precedente può essere interpretato come una funzione di una variabile casuale, k, con k che assume valori tra 0 ed n, e quindi come funzione di distribuzione discreta detta binomiale o bernoulliana, essa gode della seguente proprietà ed il valor medio ed il valor medio dei quadrati saranno Da cui e

25 Distribuzioni discrete Davide Grandi - Dottorato in Biologia Distribuzione di PoissonDistribuzione di Poisson Un caso tipico è il decadimento di un elemento radioattivo, il numero di prove è costituito dal numero di nuclei che potenzialmente possono decadere (molto grande, per una mole sono circa ) mentre la probabilità di successo è molto piccola. Si suppone che la probabilità p di decadimento sia costante e che la probabilità di successo in un intervallo [t, t+ t] sia in prima approssimazione proporzionale a t. Una variabile aleatoria si distribuisce in modo poissoniano se

26 Distribuzioni discrete Davide Grandi - Dottorato in Biologia Distribuzione di PoissonDistribuzione di Poisson Dove la grandezza a è detta parametro della legge di Poisson e rappresenta la frequenza media di accadimento dellevento osservato. Ad esempio la probabilità di ottenere due successi è La probabilità di ottenere tre successi, e cosi via Valor medio e deviazione standard sono


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