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Chiamiamo esperimento aleatorio ogni fenomeno del mondo reale al quale può essere associata una situazione di incertezza. Es: Lancio di un dado, un sondaggio,

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Presentazione sul tema: "Chiamiamo esperimento aleatorio ogni fenomeno del mondo reale al quale può essere associata una situazione di incertezza. Es: Lancio di un dado, un sondaggio,"— Transcript della presentazione:

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2 Chiamiamo esperimento aleatorio ogni fenomeno del mondo reale al quale può essere associata una situazione di incertezza. Es: Lancio di un dado, un sondaggio, lestrazione del Lotto … Linsieme dei possibili risultati di un esperimento aleatorio si dice spazio campionario, e viene indicato con.

3 Individua lo spazio campionario dei seguenti esperimenti aleatori Esperimento aleatorioSpazio campionario Lancio di un dado Lancio di una moneta estrazione numeri tombola estrazione di uno studente per una interrogazione di matematica

4 Chiamiamo evento uno dei possibili esiti di un esperimento aleatorio. In particolare si parla di evento elementare se levento aleatorio coincide con uno degli elementi dello spazio campionario, di evento composto negli altri casi. Esempio: Esperiemento: Estrazione di un numero della tombola: Evento elementare: esce il numero 5 Evento composto: esce un numero pari, oppure esce un numero maggiore di 50

5 Ad ogni evento corrisponde un sottoinsieme dello spazio campionario, costituito da tutti e soli gli elementi che lo verificano: questo sottoinsieme è linsieme di verità dellevento Esempio: Esperimento: lancio del dado Evento aleatorio: esce un numero pari Insieme di verità: A = {2,4,6} 1 Spazio campionario Insieme di verità evento elementare Insieme di verità evento composto

6 Levento che ha come insieme di verità lintero spazio campionario, e quindi si verifica sempre, viene detto evento certo. Levento che ha come insieme di verità linsieme vuoto è detto evento impossibile, in quanto non si verifica mai. Es: Evento aleatorio certo: esce un numero minore di 7 Evento aleatorio impossibile: esce il numero 8. RICORDA I SOTTOINSIEMI BANALI: LINSIEME STESSO E LINSIEME VUOTO

7 Evento aleatorioInsieme di verità ESCE UN NUMERO DISPARI ESCE UN NUMERO MAGGIORE O UGUALE A 2 ESCE UN NUMERO MULTIPLO DEL 3 ESCE IL NUMERO 7 Individua linsieme di verità dei seguenti eventi relativi al lancio di un dado.

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9 Chiamiamo probabilità di un evento E un numero che esprime una stima della possibilità che esso si verifichi, e si indica p(E). LA DEFINIZIONE CLASSICA UTILE PER ESTRAZIONI DEL LOTTO, CARTE, DADI… La probabilità di un evento è il rapporto tra il numero dei casi favorevoli f e il numero degli eventi elementari n dello spazio campionario, nellipotesi che questo sia un insieme finito.

10 Evento aleatorio Efnp(E) Estrazione del primo numero della tombola che esca un numero minore di 10. Nel lancio di un dado la probabilità che esca 5. Nel lancio del dado la probabilità che esca un numero minore di 4. Nel mazzo di 40 carte la probabilità che esca un re. Nel mazzo di 40 carte che esca bastoni

11 Un astuccio contiene 4 biro blu, 6 biro rosse, 3 matite, 8 pennarelli. Calcola al probabilità che prendendo a caso un oggetto esso sia: a) Un pennarello b) Una matita c) Una biro blu d) Una biro rossa

12 Supponiamo di aver estratto già un pennarello, calcoliamo nuovamente le probabilità per una seconda estrazione: a) Un pennarello b) Una matita c) Una biro blu d) Una biro rossa

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15 Consideriamo un esperimento aleatorio : estrazione di una carta da un mazzo di 52 carte Eventi : esce una carta di cuori e non esce una carta di cuori Questi due eventi sono uno la negazione dellaltro, dal punto di vista insiemistico se E è linsieme di verità delluno il suo complementare Ē è linsieme di verità dellaltro. Allora p(E) + p(Ē) = 1 Infatti se n è il numero dei casi possibili e f è il numero dei casi favorevoli allevento E, il numero dei casi favorevoli allevento Ē è n - f quindi

16 Se p è la probabilità di un evento E, allora la probabilità Ē dellevento contrario è p(Ē) = 1 – p Se il mazzo ha 52 carte: Dato levento E: esce una carta di cuori p(E)= 13/52=1/4 Allora Ē: non esce una carta di cuori p(Ē)= 1 - 1/4=3/4

17 Esperimento aleatorio: estrazione di una carta da un mazzo di 52 carte EVENTOSIMBOLOPROBABILITÀ Esce una donnaE Ē

18 Esperimento aleatorio: estraiamo una pallina da unurna che ne contiene di rosse, nere e gialle. Evento aleatorio: esce una pallina rossa o nera Possiamo considerare E come lunione dei seguenti eventi: A : esce una pallina rossa B : esce una pallina nera E = A U B

19 Eventi incompatibili A B = vuoto F1 casi favorevoli evento A F2 casi favorevoli evento B Il numero dei casi favorevoli allevento E sarà f1+f2 Eventi compatibili A B vuoto F1 casi favorevoli evento A F2 casi favorevoli evento B K in numero degli elementi dellinsieme A B Il numero dei casi favorevoli allevento E sarà f1+f2-k In definitiva:

20 Considera i due eventi relativi al lancio di un dado si ottiene il numero 5 e si ottiene un numero pari. Calcola la probabilità dellevento unione di quelli considerati. E se gli eventi dei quali si considera lunione fossero si ottiene il numero 5 e si ottiene un numero dispari?

21 Si estrae una carta a caso da un mazzo da 40. Calcola la probabilità dellevento E : esce un sette o una carta di spade dopo aver individuato i due eventi che formano E.

22 Esercizio 12/3; 1/2 Esercizio 2: 13/40

23 Avere delle informazioni in più, modifica il valore della probabilità di un evento? ESEMPIO 1: Estrazione di una carta da un mazzo di 52 e consideriamo levento A: esce una figura. Possiamo dire subito che p(A) = Supponiamo che qualcuno abbia visto che è B: uscita una carta di fiori, come cambia la valutazione di p(A) con questa nuova informazione? p*(A) =

24 ESEMPIO: Unurna contiene 20 palline rosse, 10 palline nere tutte uguali per forma, dimensione e peso; di quelle rosse si sa che 15 sono di vetro e le altre sono di plastica, mentre di quelle nere 2 sono di vetro e 8 sono di plastica. Sia A: la pallina estratta è di vetro. Possiamo dire subito che p(A) = Supponiamo che qualcuno abbia visto che la pallina estratta è rossa, come cambia la valutazione di p(A) con questa nuova informazione? p*(A) =

25 Considerati due eventi aleatori di un medesimo esperimento aleatorio, si dice che la probabilità condizionata di A rispetto a B, e si indica col simbolo La probabilità che si verifichi A supposto di sapere che si è verificato B. Diremo eventi INDIPENDENTI se Come nellesempio 1 Diremo che i due eventi sono DIPENDENTI se Come nellesempio 2

26 ESEMPIO 1: Estrazione di una carta da un mazzo di 52 e consideriamo levento E: esce una figura di fiori. Lo pensiamo come evento intersezione di A: esce una figura e B: esce una carta di fiori p(E) = p( A B ) p(B)p(A|B)

27 ESEMPIO 2: Estrazione di una pallina dallurna dellesempio, consideriamo leventodellesempio, E: la pallina estratta è rossa e di vetro. Lo pensiamo come evento intersezione di A: la pallina è di vetro e B: la pallina è rossa p(E) = p( A B ) P(B)p(A|B)

28 Dati gli eventi A e B di un medesimo esperimento aleatorio, la probabilità dellevento A B è uguale al prodotto della probabilità di uno dei due eventi per la probabilità condizionata dellaltro, supposto che il primo si sia verificato. p(A B) = p(A|B) p(B) oppure p(A B) = p(B|A) p(A)

29 Si lancia una moneta e contemporaneamente di estrae una pallina da unurna che ne contiene 2 rosse, 3 bianche e 5 nere e si vuole valutare la probabilità dellevento E: esce testa e viene estratta una pallina rossa.

30 Da unurna che contiene 2 palline rosse, 3 bianche e 5 nere e si vuole valutare la probabilità dellevento E: escono due palline bianche nei due casi: a)La pallina estratta viene rimessa nellurna (reimbussolamento) b)La pallina estratta non viene rimessa nellurna.

31 Un dado viene truccato in modo che i numeri dispari abbiano una probabilità di uscire maggiore di quella dei numeri pari ed in particolare ciascun numero pari ha probabilità 1/9 mentre ciascun numero dispari ha probabilità 2/9. Se si lancia un dado tre volte, calcoliamo la probabilità dei seguenti eventi: a)Escono tre numeri dispari b)Escono due numeri pari e un numero dispari. Per valutare le probabilità composte di un esperimento che viene ripetuto più volte, è utile ricorrere al DIAGRAMMA AD ALBERO. bisogna applicare sia l'unione che l'intersezione

32 Esempio 1:1/10 Esempio 2:9/100; 1/15 Esempio 3:8/27; 2/9

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37 Quale tra i seguenti eventi ha maggiore probabilità di verificarsi? A.Ottenere testa sette volte di seguito nel lancio di una moneta. B.Ottenere somma 3 nel lancio simultaneo di tre dadi a sei facce. C.Estrarre uno dopo laltro i quattro assi da un mazzo di quaranta carte. D.Ottenere 6 per tre volte di seguito nel lancio ripetuto di un dado a sei facce.

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40 Nella città di Springfield sono in circolazione solamente due tipi di automobile, le Furlong, che sono i 2/5 del totale, e le Toyoma, che costituiscono i rimanenti 3/5. Qual è la probabilità di vedere per strada due Furlong, una di seguito allaltra?

41 NUMERO DIAPOSITIVA RISPOSTA CORRETTA 301/6 31A 32B 33B

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43 Osservando per un intervallo di tempo le automobili in transito in un certo punto della città, si è potuta compilare la seguente tabella relativamente al colore delle automobili di una marca X: Dovendo fare una previsione riguardo alla prossima automobile di marca X che si osserverà, in base a questa tabella, quale tra le seguenti affermazioni ritieni falsa? A.Se è di modello C, è più probabile che sia nera piuttosto che rossa. B.Se è blu, è più probabile che sia di modello A piuttosto che B o C. C.È più probabile che sia bianca o nera piuttosto che di qualsiasi altro colore. D.La probabilità che sia blu e di modello C è 1/6

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46 NUMERO DIAPOSITIVARISPOSTA CORRETTA 35C 36 37C 38A


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