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Corso di biomatematica lezione 4: La funzione di Gauss Davide Grandi.

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Presentazione sul tema: "Corso di biomatematica lezione 4: La funzione di Gauss Davide Grandi."— Transcript della presentazione:

1 Corso di biomatematica lezione 4: La funzione di Gauss Davide Grandi

2 Sommario Distribuzione di Gauss: Rappresentazione matematica integrali valor medio Stima della varianza Somma in quadratura

3 Distribuzioni continue Davide Grandi - Dottorato in Biologia Funzione di distribuzione normale o di GaussFunzione di distribuzione normale o di Gauss Partendo dallidea di distribuzioni limite, abbiamo il passaggio da una serie di valori discreti ad una funzione continua (distribuzione di probabilità). Quindi x i f(x) quindi avremo che f(x)dx saranno le misure che cadono in un intervallo compreso tra x e x+ dx La sommatoria si sosituirà con lintegrale

4 Distribuzioni continue Davide Grandi - Dottorato in Biologia Funzione di distribuzione normale o di GaussFunzione di distribuzione normale o di Gauss E avremo in particolare il valor medio Ed inoltre la varianza sarà Corrispondente allo scarto quadratico medio (detti i gli scarti)

5 Distribuzione Normale Davide Grandi - Dottorato in Biologia Valore vero di una grandezza: quello a cui ci si avvicina sempre più facendo un gran numero di misure (vedi esempi dei dadi) Se le misure sono soggette ad errori casuali piccoli e posso trascurare gli errori sistematici, la loro distribuzione può assumere la forma di una campana centrata sul valore più probabile, in altre parole da funzione di distribuzione di probabilità che meglio approssima la mia distribuzione di dati può essere la funzione di Gauss:

6 Distribuzione Normale Davide Grandi - Dottorato in Biologia La curva è centrata sul valore x=m ed in corrispondenza di esso assume il valore La funzione è normalizzata posso partire dalla distribuzione e trovare il coefficiente di normalizzazione dalla condizione

7 Distribuzione Normale Davide Grandi - Dottorato in Biologia Teorema del limite centraleTeorema del limite centrale Le medie di campioni di dimensioni n sufficientemente grandi estratti da una popolazione comunque distribuita, seguono la legge di distribuzione normale con media m e varianza 2 /n Da questo si deduce immediatamente limportanza di studiare la distribuzione normale o gaussiana Il teorema si può utilizzare anche nel limite della somma di un numero relativamente piccolo di variabili, dellordine della decina

8 Distribuzione Normale Davide Grandi - Dottorato in Biologia Integrali della funzioneIntegrali della funzione Lintegrale della funzione di Gauss non è risolvibile matematicamente, ma attraverso metodi numerici. La probabilità che una variabile aleatoria cada in un intervallo centrato su m (valor medio) di larghezza è data da:

9 Distribuzione Normale Davide Grandi - Dottorato in Biologia Integrali della funzioneIntegrali della funzione Nel grafico si vede la probabilità che la mia variabile aleatoria cada in un intervallo di larghezza t centrato sempre sul valo medio m Questo corrisponde al un limite di confidenza del 68% t=1, 95% t=2 etc.

10 Distribuzione Normale Davide Grandi - Dottorato in Biologia Integrali della funzioneIntegrali della funzione Ricapitolando: Probabilità che le misure siano comprese tra 1.m – e m+ 68,27% 2.m – 2 e m+ 2 95,45% 3.m –3 e m+ 3 99,73%

11 Distribuzione Normale Davide Grandi - Dottorato in Biologia Distribuzione standardizzataDistribuzione standardizzata Eseguendo la sostituzione X=(x – m)/ riduco alla stessa forma tutte le distribuzioni normali, rendendo m=0 il valor medio (distribuzione centrata nello zero) e prendo come unità di misura, ovvero ho una distribuzione con Gli scarti x – m diventano scarti ridotti (x – m)/ e la probabilità sarà

12 Distribuzione Normale Davide Grandi - Dottorato in Biologia Utilizzo distribuzione standardizzataUtilizzo distribuzione standardizzata ricordiamo che ora abbiamo lo scarto standardizzato z=(x – m)/ Data una popolazione di pesci di lunghezza media m=35 cm e deviazione standard =5 cm Calcoliamo la probabilità di avere l 40(a destra di z=1) l<40(a sinistra di z=1) l<25(a sinistra di z= – 2) l 40 e l 50(tra z=1 e z=3) l 30 e l 40(tra z=– 1 e z=1)

13 Distribuzione Normale Davide Grandi - Dottorato in Biologia Utilizzo distribuzione standardizzataUtilizzo distribuzione standardizzata Sapendo che area sottesa tra m e z=+1 è 34,13% a sinistra z= – 22,28% Avremo….

14 Distribuzione Normale Davide Grandi - Dottorato in Biologia Utilizzo distribuzione standardizzataUtilizzo distribuzione standardizzata Sapendo che area sottesa tra m e z=+1 è 34,13% a sinistra z= – 22,28% Avremo…. l 40(a destra di z=1)15,87% l<40(a sinistra di z=1)84,13% l<25(a sinistra di z= – 2)2,28% l 40 e l 50(tra z=1 e z=3)15,73% l 30 e l 40(tra z=– 1 e z=1)68,26%

15 Distribuzione Normale Davide Grandi - Dottorato in Biologia Applicazione alle distribuzioni discreteApplicazione alle distribuzioni discrete Molte distribuzioni discrete sono approssimate dalla distribuzione gaussiana Le distribuzioni discrete forniscono probabilità per singoli valori, cioè la probabilità di ottenere esattamente il numero x, mentre con le distribuzioni continue si calcola larea sottesa, quindi per applicarlo a distribuzioni discrete si deve o meglio dovrebbe calcolare larea sottesa nellintervallo x 0,5

16 Distribuzione Normale Davide Grandi - Dottorato in Biologia Media come migliore stimaMedia come migliore stima Non essendo mai nota la funzione f(x) eventualmente gaussiana, abbiamo solo a che fare con le misure (discrete) {x 1, x 2, x 3,……x n } e vorrei arrivare alla miglior stima di X Se fossero noti X e potrei risalire alla f(x) e quindi anche alla probabilità di ottenere i valori x 1, x 2, x 3,……x n Ovvero per ottenere x compreso tra x 1 e x+dx 1 abbiamo

17 Distribuzione Normale Davide Grandi - Dottorato in Biologia Media come migliore stimaMedia come migliore stima Semplificando avremo La probabilità di ottenere lintero insieme di N valori sarà il prodotto delle probabilità, quindi

18 Distribuzione Normale Davide Grandi - Dottorato in Biologia Media come migliore stimaMedia come migliore stima Le stime migliori per X e sono quelle più probabili, ovvero quelle che massimizzano P(x..), cioè dobbiamo minimizzare lesponente, quindi dovremo avere Ovvero da cui

19 Distribuzione Normale Davide Grandi - Dottorato in Biologia Media come migliore stimaMedia come migliore stima La stima migliore per si ottiene derivando rispetto a e ponendo la derivata uguale a zero, quindi O sostituendo il valor medio al valore vero

20 Distribuzione Normale Davide Grandi - Dottorato in Biologia Stima dello scarto quadratico medioStima dello scarto quadratico medio Partendo da una serie di dati vogliamo confrontarci con la distribuzione gaussiana, ovvero stimare i parametri che la caratterizzano (m e ). Ricordiamo lerrore di una singola misura: Dove z i è lo scarto dalla media della misura i-esima, al quadrato avrò

21 Distribuzione Normale Davide Grandi - Dottorato in Biologia Stima dello scarto quadratico medioStima dello scarto quadratico medio Sommando otteniamo Divido per N otteniamo Ora abbiamo che (distribuzione gaussiana)

22 Distribuzione Normale Davide Grandi - Dottorato in Biologia Stima dello scarto quadratico medioStima dello scarto quadratico medio Ovvero Ed infine

23 Distribuzione Normale Davide Grandi - Dottorato in Biologia Stima dello scarto quadratico medioStima dello scarto quadratico medio Inoltre dalla relazione Deduco lerrore della media che sarà dunque E non semplicemente

24 Distribuzione Normale Davide Grandi - Dottorato in Biologia Somma in quadraturaSomma in quadratura Per introdurre la propagazione degli errori vediamo come ad esempio stimare lerrore nella misura di una grandezza Z=X+Y date le misure delle due grandezze X e Y e le rispettive deviazioni standard sono x e y. Date le due distribuzioni di probabilità avremo:

25 Distribuzione Normale Davide Grandi - Dottorato in Biologia Somma in quadraturaSomma in quadratura Essendo X e Y misurati indipendentemente, la probabilità di ottenere X e Y è data dal prodotto delle due, ovvero: Ora possiamo calcolare la probabilità di ottenere X+Y si può dimostrare che:

26 Distribuzione Normale Davide Grandi - Dottorato in Biologia Somma in quadraturaSomma in quadratura Cioè che vale Da cui ovvero

27 Distribuzione Normale Davide Grandi - Dottorato in Biologia Media pesata e deviazione standardMedia pesata e deviazione standard Ricordiamo la definizione IMPRECISA data della media pesata e ridefiniamola correttamente, date le incertezze i definiamo il peso i da cui ottengo il valor medio Davide Grandi - Dottorato in Biologia

28 Distribuzione Normale Davide Grandi - Dottorato in Biologia Ed ottengo lespressione dellerrore che sarà: Che per i = si riduce a


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