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Questo lavoro può essere da supporto alla lezione e può essere considerato come un valido aiuto per lo studente soprattutto nellapprendimento graduale.

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Presentazione sul tema: "Questo lavoro può essere da supporto alla lezione e può essere considerato come un valido aiuto per lo studente soprattutto nellapprendimento graduale."— Transcript della presentazione:

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2 Questo lavoro può essere da supporto alla lezione e può essere considerato come un valido aiuto per lo studente soprattutto nellapprendimento graduale del concetto ed è per questo motivo che ci si è preoccupati della semplicità della trattazione pur nel rispetto della correttezza logica e terminologica. Lalunno può utilizzarla per rivedere autonomamente le parti fondamentali dellunità didattica. Sono state inoltre introdotte alcune diapositive di approfondimento sugli insiemi infiniti e i paradossi che ne derivano. Al termine sono stati proposti alcuni esercizi grazie ai quali lalunno può autoverificare il proprio grado di preparazione. Presentazione

3 CONCETTO DINSIEME Nel linguaggio corrente ci sono numerose parole dal significato collettivo, per esempio, i termini comunità, folla, squadra, gregge, stormo, collezione indicano raggruppamenti di persone, di animali o di cose. Il termine corrispondente, usato in matematica è quello di insieme; gli oggetti che ne fanno parte si chiamano elementi

4 INSIEMI IN SENSO MATEMATICO I QUADRATI CHE HANNO IL PERIMETRO DI 100CM Gli studenti della tua classe che Hanno 16 anni I capoluoghi di Provincia della Calabria In matematica si considerano insiemi solo quei raggruppamenti di oggetti per cui è possibile stabilire, secondo un criterio oggettivo, se un oggetto appartiene o no a quel raggruppamento

5 Non sono insiemi In senso matematico I quadrati che hanno Perimetro molto piccolo Gli studenti della tua classe che sono simpatici I capoluoghi di Provincia più importanti dItalia

6 RAPPRESENTAZIONE Per rappresentare un qualsiasi insieme possiamo utilizzare tre diversi metodi. Si voglia ad esempio rappresentare linsieme che chiameremo A di tutti gli amici di Anna che sono: Rita, Maria, Giuseppe, Marco, Lina, Romeo. Con i diagrammi di Eulero Venn: 1 A Rita Marco Maria Romeo Lina 2 Attraverso la rappresentazione tabulare (estensiva): 3 Enunciando la proprietà caratteristica (intensiva): A = Maria; Rita; Marco; Giuseppe; Romeo; Lina A = x x è amico di Anna Giuseppe

7 SOTTINSIEMI Dati due insiemi A e B si dice che B è un sottoinsieme di A se ogni elemento di B appartiene ad A A= a,e,i,o,u B = i,o,u e i o a u A B

8 SOTTOINSIEMI PROPRI E IMPROPRI Sono sottoinsiemi impropri di U Linsieme vuoto Lintero insieme U Si dice che U è un sottoinsieme Proprio di U se e solo se S é un sottoinsieme di U diverso dallinsieme vuoto e dallinsieme U Linsieme vuoto è un qualsiasi insieme privo di elementi U consonanti a e i o u S

9 APPARTENENZA A U a b B c e d f a A, a U, a B, U = a; b; c; d; e; f A = a; b; d; e; f B = b; d b B, b A, b U c U, c B, c A

10 SOTTOINSIEMI, INCLUSIONE, B è un SOTTOINSIEME IMPROPRIO di A A è un SOTTOINSIEME DI U Ogni insieme è un SOTTOINSIEME (IMPROPRIO) di sé stesso A U a b B c d B A A U A A, B B,….. Linsieme vuoto è un SOTTOINSIEME (IMPROPRIO) di ogni insieme C, B, ….. C C è un SOTTOINSIEME DI B C B

11 SOTTOINSIEMI, INCLUSIONE A U a b B c e d f U = a; b; c; d; e; f A = a; b; d; e; f B = b; d a; b; d A d B b; d B

12 APPARTENENZA e INCLUSIONE INCLUSIONEAPPARTENENZA b A b A Lelemento b appartiene allinsieme A Linsieme b è strettamente incluso nellinsieme A b A d Linsieme d;b è uguale ad A d;b A oppure d;b = A

13 INSIEME COMPLEMENTARE. A A U a b c e f g d A = a; b; g E linsieme degli elementi di U Che non appartengono ad A A = C u A= x x U e x A

14 INSIEME COMPLEMENTARE. C B A A B a b c e f g d C B A = a; b; g E linsieme degli elementi di B Che non appartengono ad A C B A= x x B e x A

15 INTERSEZIONE A B A B A B E linsieme degli elementi che appartengono sia ad A sia a B A B = x x A e x B

16 CASI PARTICOLARI DELLINTERSEZIONE A A = A A = Se B A allora A B = B A A = A U = A Se A B =, A e B si dicono DISGIUNTI

17 UNIONE A B A B A B E linsieme degli elementi che appartengono ad A o a B, cioè ad almeno uno dei due insiemi dati. A B = x x A o x B

18 UNIONE di insiemi DISGIUNTI AB LUNIONE degli insiemi A e B è linsieme degli elementi che appartengono ad A o a B, cioè ad almeno uno dei due insiemi dati. A B

19 CASI PARTICOLARI DELLUNIONE A A = A A = A Se B A allora A B = A A A = U

20 A B A B a d c b e f g h l i A = a; b; c; d; e; f B = d; e; f; g; h; i; l A B = d; e; f A B = a; b; c; d; e; f; g; h; i; l

21 DIFFERENZA. A - B A B A - B Si tolgono ad A tutti gli elementi che appartengono a B E costituito dagli elementi di A che NON appartengono a B E linsieme formato da tutti gli elementi di A che non appartengono a B

22 DIFFERENZA. A - B, B - A. A B a d c b e f g h l i A = a; b; c; d; e; f B = d; e; f; g; h; i; l A - B = a; b; c B - A = g; h; i; l

23 DIFFERENZA. A - B, B - A. AB a d c b e f g h l i A - B = a; b; c B - A = g; h; i; l A B a d c b e f g h l i A B a d c b e f g h l i

24 CASI PARTICOLARI DELLA DIFFERENZA TRA INSIEMI A - A = A - = A Se A B = allora A - B = A e B - A = B Se B A allora B - A =

25 INSIEME DELLE PARTI P(A) A a c b A = a; b; c; a; b; c Dato un insieme A, linsieme di tutti i suoi SOTTOINSIEMI propri e impropri, si definisce insieme delle parti di A e si indica con P (A) I possibili SOTTOINSIEMI di A sono: abc a; b a; c b; c P (A) = ; a ; b ; c ; a; b ; a; c ; b; c ; a; b; c Gli elementi di P (A) sono INSIEMI Se A contiene n elementi, P (A) ne contiene 2 n Linsieme delle parti di A è:

26 PARTIZIONE DI UN INSIEME A Si consideri un numero n di sottoinsiemi di A. Si dice che questi sottoinsiemi costituiscono una PARTIZIONE di A se: Ai A e Ai, i A1A1 A2A2 A3A3 A4A4 A5A5 Ogni sottoinsieme è proprio Ai Ak = con i k I sottoinsiemi sono a due a due disgiunti A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 = A Lunione di tutti i sottoinsiemi dà linsieme A 1 2 3

27 PRODOTTO CARTESIANO Si definisce prodotto cartesiano di due insiemi A e B, e si indica A x B, linsieme formato da tutte le coppie ordinate (x;y) dove il primo elemento appartiene ad A e il secondo a B A x B = (x;y) x A e y B Si legge A cartesiano B Dati gli insiemi: A = a; b; c; e B = 1;2 A a b c B 1 2 A x B = (a ;1), (a ;2), (b ;1), (b ;2), (c ;1), (c ;2)

28 RAPPRESENTAZIONE GRAFICA DEL PRODOTTO CARTESIANO Linsieme A x B = (a; 1); (a; 2); (b; 1); (b; 2); (c; 1); (c; 2) può essere rappresentato graficamente nei seguenti modi: A a b c B 1 2 Rappresentazione SAGITTALE Rappresentazione mediante tabella a DOPPIA ENTRATA a b c 1 2 Rappresentazione CARTESIANA

29 OSSERVAZIONI SUL PRODOTTO CARTESIANO La coppia (x;y) è diversa dalla coppia (y;x) Gli elementi dellinsieme cartesiano sono coppie A x A = A 2 A x B B x A Se A e B hanno rispettivamente n e m elementi, linsieme A x B possiede nxm elementi.

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31 Rispondi : Linsieme dei numeri pari P è un sottoinsieme proprio dellinsieme dei numeri naturali N? N = 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12;.. P = 0; 2; 4; 6; 8; 10…. Si! Infatti per costruire P scelgo solo alcuni elementi di N. Quale insieme ha più elementi? N o P? Se P ha meno elementi, come si è portati a pensare essendo P un sottoinsieme proprio di N, contando gli elementi di P ad un certo punto ci si dovrà fermare, invece….. Strano no!!!!! Rappresentiamo tutto cio graficamente (diapositiva seguente)

32 N = 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12;.. P = 2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18…. Proviamo a contare quanti elementi (numeri) ha P., utilizziamo linsieme N e delle frecce. Per ora trascurando lo zero. Ci chiediamo a quale numero ci fermiamo? Quanti sono gli elementi di P? e proviamo a rispondere chi ha più elementi N o P? Abbiamo ottenuto un risultato molto strano! Dato un insieme con un numero infinito di elementi è possibile che un suo SOTTOINSIEME PROPRIO abbia lo stesso numero di elementi!!!

33 PARADOSSO DEL GRAND HOTEL DI HILBERT Tale paradosso inventato dal celebre matematico David Hilbert mostra alcune caratteristiche del concetto di infinito, e le differenze fra operazioni con insiemi infiniti e finiti. Hilbert immagina un hotel con infinite stanze, tutte occupate, ed afferma che qualsiasi sia il numero di altri ospiti che sopraggiungeranno, sarà sempre possibile ospitarli tutti, anche se il loro numero è infinito. Nel caso semplice. Arriva un singolo nuovo ospite, il furbo albergatore sposterà tutti i clienti nella camera successiva, in questo modo, benchè lalbergo fosse pieno è comunque,essendo infinito, possibile sistemare il nuovo ospite. Un caso meno intuitivo, si ha quando arrivano infiniti nuovi ospiti. Sarebbe possibile procedere nel modo visto in precedenza, ma solo scomodando infinite volte gli ospiti(già spazientiti dal precedente spostamento): sostiene Hilbert che la soluzione stà semplicemente nello spostare ogni ospite nella stanza con il numero doppio rispetto a quello attuale, lasciando ai nuovi ospiti tutte le camere con i numeri dispari, che sono essi stessi infiniti,risolvendo dunque il problema. Gli ospiti sono dunque tutti sistemati, benchè lalbergo fosse pieno

34 LHOTEL DI HILBERT

35 ESERCIZIO N. 1….. A B a d c b e f g h l i Trova: A B C A B C = g; h; i; l C m n A B C = d; e; f A B C = d A B C = e; f Clicca sulla risposta corretta

36 ESERCIZIO N. 2….. A B a d c b e f g h l i Trova: C - (A B) C - (A B) = m; n C m n C - (A B) = m; n; d Clicca sulla risposta corretta C - (A B) = e; f C - (A B) = g; h; i; l Esercizio Successivo Soluzione

37 ESERCIZIO N. 3….. A B Quale espressione rappresenta larea evidenziata? C - (A B) C (C B) - A Clicca sulla risposta corretta C B (A B) - C Esercizio Successivo

38 ESERCIZIO N. 4….. A B Quale espressione rappresenta larea evidenziata? C - (A B) C (C B) - A Clicca sulla risposta corretta C B (A B) - C Esercizio Successivo

39 ESERCIZIO N. 5 A B Quale espressione rappresenta larea evidenziata? (C - (A B)) ((A B) - C) C (C B) - A Clicca sulla risposta corretta C B (A B) - C Esercizio Successivo

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41 SOLUZIONE ESERCIZIO N. 2….. A B a d c b e f g h l i Trova: C - (A B) C m n Torna allesercizio Un clic del mouse per avanzare passo- passo Si tolgono a C gli elementi di A B Soluzione = m; n

42 Ritorna alla diapositiva precedente

43 Ritorna alla diapositiva precedente


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