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Le disequazioni di secondo grado Metodo di risoluzione 1 Per risolvere la disequazione ax 2 + bx + c > 0 oppure ax 2 + bx + c 0: consideriamo la parabola.

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1 Le disequazioni di secondo grado Metodo di risoluzione 1 Per risolvere la disequazione ax 2 + bx + c > 0 oppure ax 2 + bx + c 0: consideriamo la parabola y = ax 2 + bx + c associata al trinomio al primo membro troviamo le sue intersezioni con lasse x risolvendo lequazione ax 2 + bx + c = 0; si possono presentare i seguenti casi a seconda del valore del discriminante: Δ > 0: ci sono due intersezioni x 1 e x 2 con lasse x ed il trinomio è positivo per x x 2 negativo per x 1 < x < x 2 Δ = 0: cè una sola intersezione x 1 con lasse delle x ed il trinomio è: sempre positivo tranne per x = x 1 dove si annulla Δ < 0: non ci sono intersezioni con lasse x ed il trinomio è: sempre positivo scegliamo lintervallo delle soluzioni a seconda del verso della disequazione: nella disequazione ax 2 + bx + c > 0 ricerchiamo gli intervalli di positività nella disequazione ax 2 + bx + c < 0 ricerchiamo gli intervalli di negatività.

2 Le disequazioni di secondo grado ESEMPI 2 Metodo di risoluzione Calcoliamo il discriminante e, se è positivo o nullo, troviamo le radici dellequazione associata: Disegniamo la parabola corrispondente: Scegliamo lintervallo delle soluzioni (stiamo cercando gli intervalli in cui il trinomio è positivo): 1.

3 Le disequazioni di secondo grado 3 Metodo di risoluzione Calcoliamo il discriminante: Poiché Δ < 0, la parabola non interseca lasse delle ascisse. II trinomio è sempre positivo e quindi, poiché stiamo cercando gli intervalli in cui il trinomio è negativo, la disequazione non è mai verificata: 2.

4 Le disequazioni di secondo grado 4 Metodo di risoluzione 3. Cambiamo i segni e il verso: Calcoliamo il discriminante: La parabola interseca lasse x in un solo punto (corrispondente al vertice) dove assume valore zero ed è positiva in tutti gli altri punti. Poiché stiamo cercando gli intervalli in cui il trinomio è positivo (abbiamo cambiato segni e verso), la disequazione è verificata

5 Le disequazioni di secondo grado Disequazioni frazionarie 5 Ricordiamo che in una disequazione frazionaria non si devono mai eliminare i denominatori dei quali non si conosce il segno. Una volta scritta la disequazione nella formaoppure studiamo i segni dei fattori che si trovano al numeratore e al denominatore costruiamo la tabella dei segni deduciamo il segno finale della frazione in base alle regole sul prodotto dei segni individuiamo linsieme delle soluzioni.

6 Le disequazioni di secondo grado ESEMPIO Disequazioni frazionarie 6 deve essere x 0 x 2 Il dominio della disequazione è R {0, 2}. Studiamo il segno dei polinomi al numeratore e al denominatore: Poiché Δ < 0, la disequazione è verificata Lequazione associata ha soluzioni x = 0 x = 2, quindi la disequazione è verificata se x 2 continua

7 Le disequazioni di secondo grado Disequazioni frazionarie 7 Costruiamo la tabella dei segni: Linsieme delle soluzioni è quindi lintervallo 0 < x < 2 02R segno di x segno di x 2 2x frazione S

8 Le disequazioni di secondo grado ESEMPIO Disequazioni di grado superiore al secondo 8 Qualunque disequazione di grado superiore al secondo nella forma E(x) 0 oppure E(x) 0 si risolve scomponendo in fattori al più di secondo grado lespressione E(x) e studiando poi il segno di ciascuno di tali fattori; se E(x) non è scomponibile, la disequazione non può essere risolta per via algebrica. Scomponiamo il polinomio al primo membro: Studiamo il segno di ogni fattore del prodotto: 3R segno di x segno di x 3 prodotto S

9 Le disequazioni di secondo grado ESEMPIO 9 Un sistema di disequazioni è verificato nellinsieme intersezione delle soluzioni di ciascuna disequazione; conviene quindi: Sistemi di disequazioni risolvere ciascuna disequazione costruire la tabella delle soluzioni in modo da mettere in evidenza le eventuali intersezioni. Risolviamo la prima disequazione: S1S1 Risolviamo la seconda disequazione: S2S2 Il sistema è verificato se 0 x R S1S1 S2S2 S 0 Tabella delle soluzioni:


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