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Cap. 3 Il piano Cartesiano. Retta e punto Consideriamo una retta r e un punto P su di essa Se la retta è formata da un numero infinito ed illimitato di.

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1 Cap. 3 Il piano Cartesiano

2 Retta e punto Consideriamo una retta r e un punto P su di essa Se la retta è formata da un numero infinito ed illimitato di punti allora se inserisco un punto di fatto la divido in due parti Si viene a formare un nuovo ente che necessita di nome e definizione (che dipenderà strettamente dalloperazione svolta)

3 Semiretta S i d e f i n i s c e s e m i r e t t a c i a s c u n a d e l l e d u e p a r t i i n c u i u n a r e t t a è d i v i s a d a u n s u o p u n t o

4 Semiretta orientata Una semiretta si dice orientata se su di essa è stato fissato un verso positivo Or Verso positivo Semiretta orientata

5 Semiretta orientata e graduata Graduare una semiretta orientata significa far corrispondere a ciascun punto della semiretta un valore Assegnare il valore 0 al punto di origine è relativamente semplice Ma per proseguire come si può fare, non posso mettere dei numeri a caso Mi serve un segmento da utilizzare come unità di misura (AC =1) Faccio coincidere lestremo A con O e dove cade C assegno il valore 1

6 Si dice che il punto C è limmagine di 1 Adesso ho uno strumento per assegnare a ciascun punto della semiretta un valore ripetendo consecutivamente lunità di misura Se la ripeto 2 volte troverò il punto D che sarà limmagine di 2 3 volte il punto 3 e così via

7 Corrispondenza biunivoca La corrispondenza biunivoca è una relazione che fa corrispondere a ciascun elemento di uninsieme A (es. i punti di una semiretta) un elemento dellinsieme B (es. i numeri reali) e viceversa (a ciascun elemento dellinsieme B corrisponde un solo elemento dellinsieme A)

8 Esiste una corrispondenza biunivoca fra i punti della semiretta ed il loro valore

9 A ciascun punto della semiretta corrisponde un numero reale e ogni numero reale ha la sua immagine in un punto della semiretta

10 Come ottenere la stessa cosa sul piano Per ottenere una corrispondenza biunivoca fra punti delle retta ed il loro valore è bastata una retta orientata Come possiamo fare la stessa cosa su di un piano? Può bastare una sola retta? Pensate a quante dimensioni ha un piano e a quante ne ha una retta

11 Il piano cartesiano In realtà, visto che ci troviamo in prima media, non considereremo tutto il piano cartesiano ma solo un quadrante, più che sufficiente per i nostri scopi Prendiamo in considerazione un piano e due semirette orientate e graduate aventi un origine in comune e perpendicolari fra loro Due semirette sono perpendicolari se formano un angolo di 90° Solitamente si indica con O lorigine delle semirette, con x la semiretta orizzontale e con la y la semiretta verticale Pertanto il riferimento cartesiano è chiamato anche Oxy Se le semirette sono graduate significa che è stata fissata ununità di misura generalmente (ma non necessariamente) identica per i due assi o x y

12 Si dice asse delle ascisse lasse x Si dice asse delle ordinate lasse y Ma a cosa serve tutto questo? Consideriamo un punto P del piano Dal punto P tracciamo la retta verticale r Asse delle ordinate Asse delle scisse Questa incontra lasse x nel punto E E è limmagine di 2 e prende il nome di ascissa del punto P Come si vede hanno questo valore tutti i punti della retta r perciò il punto P non può essere individuato solo da questo valore r

13 Mi serve un modo per trovare fra gli infiniti punti che costituiscono la retta r che hanno ascissa E quello che a me interessa cioè P Tracciamo ora la retta orizzontale passante per P (retta s) Essa incontra lasse y nel punto F r Il punto F è limmagine di 2 sullasse delle ascisse e prende il nome di ordinata del punto P A questo punto il gioco è fatto, il punto P risulta determinato senza equivoci dai due numeri di cui E ed F costituiscono limmagine E ed F prendono il nome di coordinate cartesiane del punto P e si scrive P (E;F) oppure P(2;2) Per convenzione si mette prima il valore dellascissa e poi quello dellordinata

14 Una nuova corrispondenza biunivoca Esiste una corrispondenza biunivoca fra i punti del piano e una coppia di coordinate cartesiane

15 … ma anche gli assi hanno le loro coordinate Consideriamo il punto G Anchesso fa parte del piano perciò avrà la sua coppia di coordinate Lascissa è 1 Ripetiamo il procedimento precedente, se tracciamo la retta orizzontale passante per G troviamo il punto O di coordinate (0;0) come si conviene ad un punto che costituisce lorigine degli assi Questo ci porta alla conclusione che tutti i punti situati sullasse delle ascisse (asse x) avranno lordinata 0 Il punto G avrà coordinate (1;0) – ricordiamo che per convenzione si mette prima lascissa e poi lordinata-

16 Consideriamo ora il punto H Trovandosi sullasse y avrà come ascissa la stessa del punto cioè 0 Tutti i punti che si trovano sullordinata hanno per ascissa il valore 0 Le coordinate del punto H saranno H(0;4)

17 Trovare i punti conoscendo le coordinate trovare il punto P (4;2) Dal punto di ascissa 4 (asse x) traccio una retta verticale Dal punto di ordinata 2 (asse y) traccio una retta orizzontale Vedo che si incontrano in un punto Quello è il punto P cercato Punto Q (3;5)


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