La presentazione è in caricamento. Aspetta per favore

La presentazione è in caricamento. Aspetta per favore

Retta reale La RETTA REALE è una retta su cui sono stati fissati: unorigine un orientamento una unità di misura O u.

Copie: 1
Numeri razionali I numeri RAZIONALI sono i numeri che possono essere rappresentati come frazioni. I razionali comprendono i numeri interi e quelli decimali.

Presentazioni simili


Presentazione sul tema: "Retta reale La RETTA REALE è una retta su cui sono stati fissati: unorigine un orientamento una unità di misura O u."— Transcript della presentazione:

1 Retta reale La RETTA REALE è una retta su cui sono stati fissati: unorigine un orientamento una unità di misura O u

2 Retta reale Sulla retta reale cè CORRISPONDENZA BIUNIVOCA tra punti e numeri, per cui i suoi elementi possono essere designati indifferentemente come punti o come numeri. O u

3 Ordinamento La retta reale è ORDINATA: dati due punti distinti x 1 e x 2 allora: o x 2

4 Intervallo chiuso Si dice INTERVALLO CHIUSO di estremi a, b, e lo si indica con [a;b] Linsieme di tutti i punti compresi tra a e b, estremi inclusi O a b

5 Intervallo chiuso Geometricamente, un intervallo chiuso non è altro che un segmento O a b

6 Intervallo aperto Si dice INTERVALLO APERTO di estremi a, b, e lo si indica con ]a;b[ Linsieme di tutti i punti compresi tra a e b, estremi esclusi O a b

7 Intervallo aperto Si considerano intervalli aperti anche: ]-;b[ Insieme di tutti i numeri minori di b, e: ]a;+[ Insieme di tutti i numeri maggiori di a

8 Intervallo aperto Linsieme dei reali, R, si considera sia aperto che chiuso, e lo si può indicare anche con: ]-;[

9 Aperto a sinistra e chiuso a destra Come prima, solo che a non è incluso mentre b lo è ]a;b] O a b

10 Aperto a destra e chiuso a sinistra Come prima, solo che b non è incluso mentre a lo è [a;b[ O a b

11 Intorno Si dice INTORNO DI UN PUNTO un intervallo aperto che contiene il punto Ad esempio, ]a;b[ è intorno di P O a P b

12 Intorno destro Si dice INTORNO DESTRO DI UN PUNTO un intervallo aperto a destra e chiuso a sinistra che ha come estremo sinistro il punto Ad esempio, [P;b[ è intorno destro di P O P b

13 Intorno sinistro Si dice INTORNO SINISTRO DI UN PUNTO un intervallo aperto a sinistra e chiuso a destra che ha come estremo destro il punto Ad esempio, ]a;P] è intorno sinistro di P a P

14 Intorno sinistro ]1;5[ è un intorno di 2 [3;4[ è intorno destro di 3 ]-5;0] è intorno sinistro di 0 [2;10] non è intorno di 5, perché non è aperto ]1,2[ non è intorno di 2, perché 2 non ne fa parte

15 Punto interno Dato un insieme A, il punto P appartenente ad A si dice PUNTO INTERNO di A se esiste un intorno U di P tutto contenuto in A A P U

16 Punto interno Il punto 3 è interno allintervallo [1;5]: infatti, ]2;4[ è un intorno di 3 tutto contenuto nellintervallo Invece, il punto 5 non lo è, perché la metà destra di ogni intorno di 5 cade al di fuori dellintervallo

17 Punto interno Tutti i punti sono interni ad R Al contrario, Z è privo di punti interni; infatti un intorno di un intero non contiene solo numeri interi

18 Punti interni e intervalli aperti In un intervallo aperto TUTTI I PUNTI SONO PUNTI INTERNI

19 Punto di frontiera Dato un insieme A, il punto P dice PUNTO DI FRONTIERA di A se ogni intorno di P contiene sia punti di A che punti non appartenenti ad A A P U

20 Punto di frontiera Un punto non può essere contemporaneamente di frontiera e interno: i due ruoli si escludono a vicenda Un insieme può non avere punti di frontiera; ad esempio R Un punto può non essere né di frontiera né interno Un insieme può essere fatto di soli punti di frontiera Un punto di frontiera di un insieme non deve necessariamente appartenere allinsieme

21 Esempi 3 è punto di frontiera dellintervallo A=]3;5[. Infatti, ogni intorno di 3 sta con la sua parte destra in A e con la sinistra fuori da A. Lintervallo A ha come unici punti di frontiera 3 e 5; gli altri o sono interni o sono staccati da A Linsieme degli interi, Z, coincide con linsieme dei suoi punti di frontiera; infatti ogni intorno di un intero contiene anche numeri non interi

22 Punto isolato Dato un insieme A, il punto P appartenente ad A si dice PUNTO ISOLATO di A se esiste un intorno di P che non contiene alcun altro elemento di A, oltre a P stesso A P U

23 Punto isolato Un punto isolato non può essere punto interno, ma può essere punto di frontiera Esistono insiemi privi di punti isolati; ad esempio gli intervalli Esistono insiemi fatti di soli punti isolati: ad esempio Z

24 Punto di accumulazione Dato un insieme A, il punto P dice PUNTO DI ACCUMULAZIONE di A se ogni intorno di P contiene almeno un punto di A distinto da P A P U

25 Punto di accumulazione Può sembrare che la definizione sia uguale a quella dei punti di frontiera, ma non è così: qui non si chiede che nellintorno ci siano anche punti fuori da A, inoltre P stesso non può essere conteggiato tra i punti di A Tutti i punti interni sono anche di accumulazione I punti isolati non possono essere di accumulazione I punti non isolati di frontiera sono di accumulazione

26 Esempi Il punto 0 è punto di accumulazione sia per ]0;1[ che per [0;1] Linsieme dei numeri interi è privo di punti di accumulazione. Linsieme dei reciproci degli interi maggiori di 0: I={1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5…..} ha come unico punto di accumulazione il punto 0. Questo mostra che un insieme può essere fatto di soli punti isolati eppure possedere un punto di accumulazione (non appartenente allinsieme.

27 Insiemi superiormente limitati Un insieme A si dice SUPERIOREMENTE LIMITATO se esiste un punto P maggiore o uguale a tutti gli elementi di A. P si dice MAGGIORANTE di A A P

28 Estremo superiore Il minore di tutti i maggioranti di un insieme superiormente limitato si dice ESTREMO SUPERIORE dellinsieme e si indica con Sup(A) A P

29 Massimo Se lestremo superiore di un insieme appartiene allinsieme allora lo si chiama MASSIMO e lo si indica con Max(A) A P

30 Insiemi inferiormente limitati Un insieme A si dice INFERIOREMENTE LIMITATO se esiste un punto P minore o uguale a tutti gli elementi di A. P si dice MINORANTE di A A P

31 Estremo inferiore Il maggiore di tutti i minoranti di un insieme inferiormente limitato si dice ESTREMO INFERIORE dellinsieme e si indica con Inf(A) A P

32 Minimo Se lestremo inferiore di un insieme appartiene allinsieme allora lo si chiama MINIMO e lo si indica con Min(A) A P

33 Insiemi limitati Un insieme limitato sia superiormente che inferiormente si dice LIMITATO

34 Esempi Lintervallo [0;3[ è limitato: 0 è estremo inferiore e anche minimo 3 è estremo superiore ma non massimo N è limitato inferiormente ma non superiormente: il suo minimo è 0

35 Esempi Linsieme dei reciproci degli interi A={1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5…..} È limitato sia inferiormente che superiormente: 1 è estremo superiore e massimo 0 è estremo inferiore ma non minimo

36 Funzioni limitate Una funzione si dice LIMITATA se il suo codominio è limitato. Se gli estremi superiore e inferiore fanno parte del codominio allora si dicono rispettivamente MASSIMO ASSOLUTO e MINIMO ASSOLUTO della funzione. I punti in cui la funzione assume tali valori si dicono PUNTO DI MASSIMO ASSOLUTO e PUNTO DI MINIMO ASSOLUTO

37 Funzioni limitate Max X Min X Max Min Graficamente massimo e minimo assoluti sono il punto più alto e quello più basso del grafico

38 Funzioni limitate La funzione: y=x 2 +1 È limitata inferiormente e ha 1 come minimo assoluto. Il punto di minimo è x=0 La funzione: y=e x È limitata inferiormente ma non ha minimo; infatti 0 non appartiene al codominio

39 Funzioni limitate La funzione: y=senx È limitata sia superiormente che inferiormente, e gli estremi sono 1 e -1. I punti di massimo sono tutti i punti X max =/2+2k, mentre i punti di minimo sono tutti i punti X min = 3/2+2k


Scaricare ppt "Retta reale La RETTA REALE è una retta su cui sono stati fissati: unorigine un orientamento una unità di misura O u."

Presentazioni simili


Annunci Google