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Circonferenza e cerchio. Definizione di circonferenza Si definisce circonferenza il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto detto.

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Presentazione sul tema: "Circonferenza e cerchio. Definizione di circonferenza Si definisce circonferenza il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto detto."— Transcript della presentazione:

1 Circonferenza e cerchio

2 Definizione di circonferenza Si definisce circonferenza il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto detto centro della circonferenza

3 Definizione di cerchio Si definisce cerchio la porzione di piano racchiusa da una circonferenza

4 Raggio Si definisce raggio di una circonferenza in segmento che unisce il centro con un qualsiasi punto della circonferenza

5 Corda e diametro Si definisce corda qualsiasi segmento che unisce due punti della circonferenza Si definisce diametro una corda che passa per il centro della circonferenza È facile vedere che : d = 2r

6 Rapporto fra circonferenza e diametro Il rapporto fra circonferenza e diametro è uno dei numeri che più ricorrono e non solo in matematica Il rapporto fra circonferenza e diametro è uno dei numeri che più ricorrono e non solo in matematica Si tratta di un numero che non può essere espresso come rapporto di numeri interi perciò appartiene alla categoria dei numeri irrazionali Si tratta di un numero che non può essere espresso come rapporto di numeri interi perciò appartiene alla categoria dei numeri irrazionali Abbiamo già trovato un numero di questo tipo quando abbiamo studiato i quadrati ricordate ….. d/l = 2 Abbiamo già trovato un numero di questo tipo quando abbiamo studiato i quadrati ricordate ….. d/l = 2 Nel nostro caso abbiamo che: Nel nostro caso abbiamo che: C d 3,14…

7 Formule C = x d Ma d = 2 x r allora Circonferenza uguale a p greco per il diametro C = x 2r Circonferenza uguale a p greco per due volte il raggio Formu le invers e C d C r

8 problemi Trovare la lunghezza di una circonferenza sapendo che il suo diametro misura 12 cm Trovare la lunghezza di una circonferenza sapendo che il suo diametro misura 12 cm c = x d c = x d c = 3,14 x 12 cm = 37,68 cm c = 3,14 x 12 cm = 37,68 cm Una circonferenza misura 75,36 cm ; trovare il raggio Una circonferenza misura 75,36 cm ; trovare il raggio r = c/2 r = c/2 r = 75,36 cm / (2 x 3,14) = 75,36 / 6,28 = 12 cm r = 75,36 cm / (2 x 3,14) = 75,36 / 6,28 = 12 cm Trovare la lunghezza di una circonferenza il cui raggio misura 15 cm Trovare la lunghezza di una circonferenza il cui raggio misura 15 cm c = 2 x x r c = 2 x x r c = 2 x 3,14 x 15 cm = 2,28 x 15 cm = 94,2 cm c = 2 x 3,14 x 15 cm = 2,28 x 15 cm = 94,2 cm Una circonferenza misura 72,22 cm trovare il diametro Una circonferenza misura 72,22 cm trovare il diametro d = c/ d = c/ d = 72,22 cm / 3,14 = 23 cm d = 72,22 cm / 3,14 = 23 cm

9 Area del cerchio Consideriamo i seguenti poligoni regolari Un poligono a 6 lati Un poligono a 10 lati Un poligono a 24 lati La formula per calcolare larea di questi poligoni è sempre la stessa: A = (2P x a) : 2 dove a è lapotema (celeste) 2P = n x l (n = numero dei lati l lato) Ogni poligono è inscritto in un circonferenza ed in rosso è mostrato il raggio Asserviamo cosa succede al poligono allaumentare del numero dei lati fissando prima la nostra attenzione sulla differenza fra poligono e circonferenza circoscritta

10 Puoi osservare che allaumentare del numero dei lati il poligono tende sempre di più ad assomigliare ad una circonferenza tanto che già a 24 lati si fa fatica a distinguerli Adesso fissiamo la nostra attenzione sul raggio e sullapotema Si nota che nella prima figura la differenza e percettibile ma nellultima essa diventa trascurabile Se noi facciamo diventare infinito il numero dei lati il poligono coinciderà con la circonferenza e lapotema con il raggio

11 Conclusioni Nella formula diventa Formula della lunghezza di una circonferenza diventa segue A = (2 r x r) : 2 infi ne L a r e a d e l c e r c h i o è d a t a d a l p r o d o t t o d i p g r e c o p e r i l r a g g i o a l q u a d r a t o

12 Formula inversa

13 problemi Un cerchio ha il raggio di 10 cm trovare circonferenza e area del cerchio c = 2 r A = r2 Un cerchio ha larea di 1256 cm2 trovare raggio, diametro e circonferenza del cerchio r = (A/) r = (1256 cm2 /3,14) = 400 cm = 20 cm d = 2 x r = 2 x 20 cm = 40 cm c = d = 3,14 x 40 cm = 125,6 cm La somma delle circonferenze di due cerchi è di 60 cm, una è i 7/5 dellaltra. Trovare le aree dei due cerchi c = 2 x 3,14 x 10 cm = 62,4 cm A = 3,14 x (10 cm ) 2 = 314 cm 2 c 1 +c 2 = 60 cm c 2 = 7/5 c 1 c 1 + 7/5 c 1 = 60 cm 5 5 c c 1 = 60 cm 12 5 c 1 60 cm c1c1 60 cm x 5 12 c 1 = 25 cm C 2 = 35 cmd 1 = 25 cm/ r1 = 12,5 cm A1 = (12,5 cm) 2 = 152,5 cm 2

14 Arco di circonferenza Prendiamo una circonferenza e mettiamo su di essa due punti Si definisce arco di circonferenza ciascuna delle in cui la circonferenza risulta suddivisa dai due punti I punti B e C individuano larco c e larco d

15 Arco e angolo al centro Se degli estremi di un arco di circonferenza traccio i due raggi si forma un angolo al centro Tale angolo prende il nome di angolo al centro Si dice che larco AB sottende un angolo e langolo a è sotteso da un arco AB Cosa succede se in una circonferenza aumento lampiezza dellarco? Cosa succede allangolo ? Vediamo che esso aumenta e questo aumento è proporzionale allampiezza dellarco

16 Calcolo della lunghezza dellarco Se il valore il valore dellangolo al centro arriva a 360° il corrispondente valore dellarco sarà lintera circonferenza Questo valore sarà uguale a rapporto di un arco e del corrispondente angolo al centro Da cui ottengo il modo di calcolarmi l Sapendo che c = x 2r C 360° l = l = C 360° x l = x 2r x 360°

17 Formule Inverse = c 360° x x l d = 360°l x x r = 360°l x = c 360° xl d = 360°l x x x r = 360°l x

18 Settore circolare Prendiamo un cerchio e un suo arco BC Tracciamo i due raggi che uniscono gli estremi dell arco con il centro Otteniamo cosi una porzione di cerchio Si dice settore circolare la porzione di cerchio racchiusa da due raggi e un arco di circonferenza. Cosa succede se aumento ?

19 Calcolo dellarea settore circolare Larea del settore circolare è proporzionale al valore dellangolo al centro Se il valore il valore dellangolo al centro arriva a 360° il corrispondente settore circolare coinciderà con larea del cerchio Questo rapporto e quello precedente saranno uguali Da questa constatazione posso impostare la proporzione per calcolarmi larea de settore circolare La cui soluzione mi darà larea del settore circolare AsAs = AcAc AsAs = A c x AsAs = r 2 x

20 Formule Inverse = AcAc 360° x x AsAs r = 360° x = 360° x x r2r2 = 360° x AsAs AcAc AsAs AsAs

21 Segmento circolare Consideriamo un cerchio ed una sua corda a La corda divide il cerchio in due parti Si definisce segmento circolare ciascuna delle due parti Si definisce segmento circolare una porzione di cerchio delimitata da una corda

22 Caso 1 il segmento non contiene il centro In questo caso debbo considerare il settore circolare il cui arco sottende al corda AB e il triangolo ABO Larea del segmento circolare sarà data dalla differenza fra larea del settore circolare a larea del triangolo A sc = A s - A t

23 Caso 2 il segmento contiene il centro In questo caso debbo considerare il settore circolare il cui arco sottende al corda AB e il triangolo ABO Larea del segmento circolare sarà data dalla somma fra larea del settore circolare a larea del triangolo Asc = As + At Se non diversamente specificato il segmento circolare si riferisce allangolo convesso

24 Corona circolare Consideriamo due circonferenze concentriche di raggio r1 ed r2 con r1 > r2 fra le due circonferenze si trova una porzione di piano Chiamiamo questa porzione di piano corona circolare Si definisce corona circolare la porzione di piano racchiusa fra due circonferenze

25 Area della corona circolare Larea della corona circolare si ottiene sottraendo allarea del cerchio maggiore quella del cerchio minore Acc = r 2 2 – r 1 2 Acc = (r 2 2 – r 1 2 )


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