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1 OMOLOGIA. 2 3 La relazione omologica è una corrispondenza fra enti geometrici di seconda specie (figure piane) Lomologia si ottiene sovrapponendo le.

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1 1 OMOLOGIA

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3 3 La relazione omologica è una corrispondenza fra enti geometrici di seconda specie (figure piane) Lomologia si ottiene sovrapponendo le proiezioni di una medesima figura effettuate da due centri di proiezione differenti. In sintesi possiamo dire che lomologia è un principio di trasformazione

4 4 Quali sono gli elementi necessari per individuare unomologia? I due centri di proiezione, i due piani sovrapposti, il piano π oggetto di proiezione, il centro dellomologia e lasse dellomologia. Inoltre è possibile sviluppare una relazione omologica, passare cioè da un forma di secondo grado ad unaltra quando sono noti nel piano: il centro dellomologia, lasse dellomologia, e due punti corrispondenti o due rette corrispondenti.

5 5 Piani sovrapposti (π e π) Centri di proiezione S e S Centro U dellomologia Asse u dellomologia Punti corrispondenti A e A Punti corrispondenti sono le immagini dello stesso punto proiettate da due centri di proiezione su due piani diversi.

6 6 Fascio di rette di centro U Il centro U dellomologia è allineato con i centri S e S di proiezione. Le rette che uniscono i punti corrispondenti convergono nel centro U

7 7 Definizione di retta unita La retta a su π la sua immagine sui piani sovrapposti π e π è una retta unita poiché le sue due proiezioni (a e a) si sovrappongono La retta unita congiunge punti corrispondenti

8 8 (per ulteriori delucidazioni su questo argomento vedi pagg di Docci, Migliari, La scienza della rappresentazione) Lasse u dellomologia è dato dallintersezione del piano π con i piani sovrapposti π e π. Lasse u dellomologia è una retta di punti uniti. Qui si incontrano tutte le rette corrispondenti

9 9 In una omologia sono unite le rette che appartengono a punti corrispondenti, esse appartengono ad un fascio che ha centroU nel punto in cui la retta che passa per i centri di proiezione interseca i piani di proiezione sovrapposti π e π Il punto U si chiama centro dellomologia In una omologia sono uniti i punti che appartengono a rette corrispondenti, essi appartengono alla retta u intersezione del piano rigato e punteggiato, oggetto della proiezione, con i piani di proiezione sovrapposti π e π. La retta u si chiama asse dellomologia Punti corrispondenti sono allineati con il centro dellomologia Rette corrispondenti si intersecano sullasse dellomologia Asserti omologici in forma duale

10 10 Dato lasse dellomologia u, il centro dellomologia U, e due punti corrispondenti A e A, trovare la trasformata omologica della circonferenza data

11 11 r r U u A Dato lasse u, il centro U dellomologia, due rette corrispondenti r e r e il punto A trovare il punto A P P A

12 12 U A A B u Dato lasse u, il centro U dellomologia, due punti corrispondenti A e A e il punto B trovare il punto B

13 13 RETTA LIMITE (vista assonometrica) Le rette limite sono parallele allasse dellomologia infatti sono proiezioni di rette parallele allasse u e al quadro π.

14 14 RETTA LIMITE Le rette limite i e j in una vista di profilo

15 15 Dato il quadrilatero (ABCD) il centro U e lasse u dellomologia, determinare la trasformata omologica (ABCD), posto che la retta j dove convergono i lati della figura data sia la retta limite dellomologia E F

16 16 FIGURE PIANE

17 17 TRIANGOLI

18 18 POLIGONI REGOLARI

19 19 TANGENTE AD UNA CIRCONFERENZA

20 20 RAPPORTI PROPORZIONALI FRA I LATI DI UN RETTANGOLO

21 21 RETTANGOLO 1:2

22 22 SEZIONE AUREA

23 23 si dice sezione aurea del segmento AC, il segmento AB, con B compreso tra A e C, medio proporzionale tra l'intero segmento AC e la parte rimanente BC. SEZIONE AUREA SERIE DI FIBONACCI

24 24 Come si costruisce un rettangolo aureo

25 25 Spirale armonica

26 26 TETRAEDRO FUOCO CUBO TERRA OTTAEDRO ARIA ICOSAEDRO ACQUA DODECAEDRO UNIVERSO

27 27

28 28

29 29 il lato del decagono regolare convesso è uguale alla sezione aurea del raggio della circonferenza circoscritta:sezione aurea

30 30 TRIANGOLO CON ANGOLI DI MISURA: 72°, 72°, 36°. Dato un triangolo isoscele i cui angoli alla base misurano 72° ciascuno, e langolo al vertice misura 36°, la bisettrice di un angolo alla base divide il lato obliquo opposto nel punto dintersezione in due segmenti in modo tale da creare una sezione aurea. Infatti il triangolo ABC è simile al triangolo BCD.

31 31 TRIANGOLO CON ANGOLI DI MISURA: 36°, 36°, 108°. Dato un triangolo isoscele i cui angoli alla base misurano 36° ciascuno, e langolo al vertice misura 108°, il lato obliquo e la differenza tra la base e il lato obliquo danno vita a una sezione aurea. Infatti il triangolo CDE è simile al triangolo ABD della figura precedente.

32 32 PENTAGONO E TRIANGOLI IN ESSO CONTENUTI Allinterno di un pentagono, ogni lato forma con due diagonali (il segmento che unisce due punti non adiacenti) un triangolo dagli angoli con misura 72°, 72°, 36°, con le proprietà spiegate in precedenza. Ogni lato forma, con il punto dincontro di due diagonali consecutive, un triangolo dagli angoli 36°, 36°, 108°, con le proprietà descritte in precedenza. Cioè il lato del pentagono regolare è la sezione aurea di una sua diagonale e il punto d' intersezione tra due diagonali divide ciascuna di esse in due segmenti che stanno nel rapporto aureo. Il pentagono stellato è sicuramente la figura geometrica che più di ogni altra rappresenta, all'infinito, la sezione aurea. E' forse per questo motivo che questo fu scelto come simbolo della scuola pitagorica.Il pentagono stellato

33 33 RAPPORTI PROPORZIONALI

34 34 RAPPORTI PROPORZIONALI E ARCHITETTURA

35 35 RAPPORTI PROPORZIONALI E ARCHITETTURA

36 36 RAPPORTI PROPORZIONALI E ARCHITETTURA

37 37 RAPPORTI PROPORZIONALI E ARCHITETTURA

38 38 MODULOR

39 39

40 40

41 41 La serie rossa ascendente si ottiene moltiplicando la misura 1.13 per il numero aureo 1,618… La serie blu ascendente moltiplicando 2.26 per il numero aureo 1,618…

42 42 La serie rossa discendente si ottiene moltiplicando la misura 1.13 per la sezione aurea 0,618… La serie blu discendente moltiplicando 2.26 per la sezione aurea 0,618…

43 43 Alcuni numeri appartenenti alla serie rossa determinano lasse delle campate in ville Savoye

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