LE FUNZIONI TRIGONOMETRICHE

Presentazione sul tema: "LE FUNZIONI TRIGONOMETRICHE"— Transcript della presentazione:

1 LE FUNZIONI TRIGONOMETRICHE
A. Martini LE FUNZIONI TRIGONOMETRICHE

2 IL SENO DI UN ANGOLO

3 DISEGNAMO UN ANGOLO

4 DISEGNAMO UN ANGOLO c  b

5 E TRACCIAMO UNA PERPENDICOLARE AL LATO b
 b

6 E TRACCIAMO UNA PERPENDICOLARE AL LATO b
 b

7 SI VIENE A FORMARE IL TRIANGOLO ABC
 b

8 SI VIENE A FORMARE IL TRIANGOLO ABC
 A C

9 SI VIENE A FORMARE IL TRIANGOLO ABC
 A C

10 ORA TRACCIAMO UN’ALTRA PERPENDICOLARE
CHE PASSA PER IL PUNTO C’ B  A C

11 ORA TRACCIAMO UN’ALTRA PERPENDICOLARE
CHE PASSA PER IL PUNTO C’ B’ B  A C C’

12 SI VIENE A FORMARE IL TRIANGOLO AB’C’
 A C C’

13 SI VIENE A FORMARE IL TRIANGOLO AB’C’
 A C C’

14 SI VIENE A FORMARE IL TRIANGOLO AB’C’
 A C C’

15 POICHÉ QUESTI DUE TRIANGOLI SONO SIMILI
POSSIAMO SCRIVERE LA RELAZIONE: B’ B  A C C’

16 c’ a’ c a POICHÉ QUESTI DUE TRIANGOLI SONO SIMILI
POSSIAMO SCRIVERE LA RELAZIONE: B’ c’ B a’ c a  A C C’

17 a a’ = c c’ c’ a’ c a POICHÉ QUESTI DUE TRIANGOLI SONO SIMILI
POSSIAMO SCRIVERE LA RELAZIONE: B’ c’ B a’ c a  A C C’ a a’ = c c’

18 a a’ = c c’ c’ a’ c a SE ORA MANDIAMO UN’ALTRA PERPENDICOLARE
DAL PUNTO C” B’ c’ B a’ c a  A C C’ a a’ = c c’

19 a a’ = c c’ c’ a’ c a SE ORA MANDIAMO UN’ALTRA PERPENDICOLARE
DAL PUNTO C” B” B’ c’ B a’ c a  A C C’ C” a a’ = c c’

20 a a’ = c c’ c’ a’ c a INDIVIDUIAMO UN TERZO TRIANGOLO AB”C” B” B’ B 

21 a a = c c’ c’ a’ c a INDIVIDUIAMO UN TERZO TRIANGOLO AB”C” B” B’ B  A

22 ANCHE QUESTO TRIANGOLO È SIMILE AI PRECEDENTI
B” B’ c’ B a” a’ c a  A C C’ C” a a’ = c c’

23 a a’ = c c’ c” c’ a” a’ c a PER CUI POTREMO SCRIVERE ANCORA: B” B’ B 

24 a a’ a” = = c c’ c” c” c’ a” a’ c a PER CUI POTREMO SCRIVERE ANCORA:
B” B’ c’ B a” a’ c a  A C C’ C” a a’ a” = = c c’ c”

25 a a’ a” = = = COST c c’ c” c” c’ a” a’ c a DUNQUE:
QUESTI RAPPORTI SONO UGUALI AD UNA COSTANTE CHE DIPENDE SOLO DALL’ANGOLO  c” B” B’ c’ B a” a’ c a  A C C’ C” a a’ a” = = = COST c c’ c”

26 a a’ a” = = = COST c c’ c” c” c’ a” a’ c a
DECIDIAMO ALLORA DI DARE UN NOME A QUESTA COSTANTE. LA CHIAMIAMO: SENO DELL’ANGOLO  c” B” B’ c’ B a” a’ c a  A C C’ C” a a’ a” = = = COST c c’ c”

27 a a’ a” = = = COST c c’ c” c” c’ a” a’ c a
DECIDIAMO ALLORA DI DARE UN NOME A QUESTA COSTANTE. LA CHIAMIAMO: SENO DELL’ANGOLO  c” B” B’ c’ B a” a’ c a  A C C’ C” a a’ a” = = = COST c c’ c”

28 a a’ a” = = = sen  c c’ c” c” c’ a” a’ c a
DECIDIAMO ALLORA DI DARE UN NOME A QUESTA COSTANTE. LA CHIAMIAMO: SENO DELL’ANGOLO  c” B” B’ c’ B a” a’ c a  A C C’ C” a a’ a” = = = sen  c c’ c”

29 c a POSSIAMO CALCOLARE IL SENO DI OGNI ANGOLO ,
CALCOLANDO IL RAPPORTO TRA IL CATETO OPPOSTO ALL’ANGOLO (a) E L’IPOTENUSA (c) DI UN TRIANGOLO RETTANGOLO CHE HA UN ANGOLO UGUALE AD  a c

30 c a POSSIAMO CALCOLARE IL SENO DI OGNI ANGOLO ,
CALCOLANDO IL RAPPORTO TRA IL CATETO OPPOSTO ALL’ANGOLO (a) E L’IPOTENUSA (c) DI UN TRIANGOLO RETTANGOLO CHE HA UN ANGOLO UGUALE AD  E COSTRUIRE COSÌ UNA TABELLA DEI SENI DI OGNI ANGOLO a c

31 c a POSSIAMO CALCOLARE IL SENO DI OGNI ANGOLO ,
CALCOLANDO IL RAPPORTO TRA IL CATETO OPPOSTO ALL’ANGOLO (a) E L’IPOTENUSA (c) DI UN TRIANGOLO RETTANGOLO CHE HA UN ANGOLO UGUALE AD  E COSTRUIRE COSÌ UNA TABELLA DEI SENI DI OGNI ANGOLO VEDIAMO ORA IL SENO DI ALCUNI ANGOLI PARTICOLARI a c

32 

33 PARTIAMO DALL’ANGOLO  = 0
c a 

34 PARTIAMO DALL’ANGOLO  = 0
c 

35 c PARTIAMO DALL’ANGOLO  = 0 IN QUESTO CASO
ANCHE IL CATETO OPPOSTO AD  è UGUALE A ZERO c 

36 a c PARTIAMO DALL’ANGOLO  = 0 IN QUESTO CASO
ANCHE IL CATETO OPPOSTO AD  è UGUALE A ZERO a c 

37 a = c a c PARTIAMO DALL’ANGOLO  = 0 IN QUESTO CASO
ANCHE IL CATETO OPPOSTO AD  è UGUALE A ZERO PER CUI: sen  = c a = a c 

38 c PARTIAMO DALL’ANGOLO  = 0 IN QUESTO CASO
ANCHE IL CATETO OPPOSTO AD  è UGUALE A ZERO PER CUI: sen  = 0 c 

39 c sen  = 0 ALL’AUMENTARE DELL’ANGOLO , AUMENTA ANCHE IL RAPPORTO a/c
E QUINDI ANCHE IL SENO DELL’ANGOLO c sen  = 0 

40 c a sen  = 0 ALL’AUMENTARE DELL’ANGOLO ,
AUMENTA ANCHE IL RAPPORTO a/c E QUINDI ANCHE IL SENO DELL’ANGOLO c a  sen  = 0

41 c a sen  = 0 ALL’AUMENTARE DELL’ANGOLO ,
AUMENTA ANCHE IL RAPPORTO a/c E QUINDI ANCHE IL SENO DELL’ANGOLO c a  sen  = 0

42 c a sen  = 0 ALL’AUMENTARE DELL’ANGOLO ,
AUMENTA ANCHE IL RAPPORTO a/c E QUINDI ANCHE IL SENO DELL’ANGOLO c a  sen  = 0

43 c a sen  = 0 ALL’AUMENTARE DELL’ANGOLO ,
AUMENTA ANCHE IL RAPPORTO a/c E QUINDI ANCHE IL SENO DELL’ANGOLO c a  sen  = 0

44 QUANDO L’ANGOLO  È DI 90 GRADI
a È UGUALE A c c a  sen  = 0

45 QUANDO L’ANGOLO  È DI 90 GRADI
a È UGUALE A c c a  sen  = 0

46 a È UGUALE A c 1 c a = sen  = c a sen  = 0
QUANDO L’ANGOLO  È DI 90 GRADI a È UGUALE A c E QUINDI: 1 c a = sen  = c a  sen  = 0

47 a È UGUALE A c c a sen  = 0 sen  = 1
QUANDO L’ANGOLO  È DI 90 GRADI a È UGUALE A c E QUINDI: c a  sen  = 0 sen  = 1

48 POSSIAMO RAPPRESENTARE IL SENO DI UN ANGOLO
COSTRUENDO UN GRAFICO DI sen  IN FUNZIONE DELL’ANGOLO a

49 Disegnamo un cerchio di raggio r=1

50 Disegnamo un cerchio di raggio r=1

51 Disegnamo un cerchio di raggio r=1
Se disegnamo questa perpendicolare r=1

52 Disegnamo un cerchio di raggio r=1
Se disegnamo questa perpendicolare r=1

53 Disegnamo un cerchio di raggio r=1
Se disegnamo questa perpendicolare, il seno di  coincide con a: r=1 a 

54 a a sen  = = 1 Disegnamo un cerchio di raggio r=1
Se disegnamo questa perpendicolare, il seno di  coincide con a: a sen  = a = 1 r=1 a 

55 Tracciamo allora il grafico

56 Tracciamo allora il grafico


57 Tracciamo allora il grafico
sen  

58 Tracciamo allora il grafico
sen  +1  90 180 270 360 - 1

59 Tracciamo allora il grafico
sen  +1  90 180 270 360 - 1

60 Tracciamo allora il grafico
sen  +1  90 180 270 360 - 1

61 Tracciamo allora il grafico
sen  +1  90 180 270 360 - 1

62 Tracciamo allora il grafico
sen  +1  90 180 270 360 - 1

63 Tracciamo allora il grafico
sen  +1  90 180 270 360 - 1

64 Tracciamo allora il grafico
sen  +1  90 180 270 360 - 1

65 Tracciamo allora il grafico
sen  +1  90 180 270 360 - 1

66 Tracciamo allora il grafico
sen  +1  90 180 270 360 - 1

67 Tracciamo allora il grafico
sen  +1  90 180 270 360 - 1

68 Tracciamo allora il grafico
sen  +1  90 180 270 360 - 1

69 Tracciamo allora il grafico
sen  +1  90 180 270 360 - 1

70 Tracciamo allora il grafico
sen  +1  90 180 270 360 - 1

71 Tracciamo allora il grafico
sen  +1  90 180 270 360 - 1

72 Tracciamo allora il grafico
sen  +1  90 180 270 360 - 1

73 Tracciamo allora il grafico
sen  +1  90 180 270 360 - 1

74 Tracciamo allora il grafico
sen  +1  90 180 270 360 - 1

75 Tracciamo allora il grafico
sen  +1  90 180 270 360 - 1

76 Tracciamo allora il grafico
sen  +1  90 180 270 360 - 1

77 Tracciamo allora il grafico
sen  +1  90 180 270 360 - 1

78 Tracciamo allora il grafico
sen  +1  90 180 270 360 - 1

79 Tracciamo allora il grafico
sen  +1  90 180 270 360 - 1

80 Tracciamo allora il grafico
sen  +1  90 180 270 360 - 1

81 Tracciamo allora il grafico
sen  +1  90 180 270 360 - 1

82 Tracciamo allora il grafico
sen  +1  90 180 270 360 - 1

83 Tracciamo allora il grafico
Procedendo in modo analogo si ottiene: sen  +1  90 180 270 360 - 1

84 Tracciamo allora il grafico
Procedendo in modo analogo si ottiene: sen  +1  90 180 270 360 - 1

85 Tracciamo allora il grafico
Procedendo in modo analogo si ottiene: sen  +1  90 180 270 360 - 1

86 Tracciamo allora il grafico
Procedendo in modo analogo si ottiene: sen  +1  90 180 270 360 - 1

87 Tracciamo allora il grafico
Procedendo in modo analogo si ottiene: sen  +1  90 180 270 360 - 1

88 Tracciamo allora il grafico
Procedendo in modo analogo si ottiene: sen  +1  90 180 270 360 - 1

89 Tracciamo allora il grafico
Come si vede, il valore del seno di un angolo non può mai essere maggiore di 1 né minore di -1 sen  +1  90 180 270 360 - 1

90 particolarmente interessanti sen 
Vediamo alcuni casi particolarmente interessanti sen  +1  90 180 270 360 - 1

91 sen  +1  90 180 270 360 - 1

92 sen 0 0 sen  +1  90 180 270 360 - 1

93 sen 0 0 sen  sen 90 1 +1  90 180 270 360 - 1

94 sen 0 0 sen  sen 90 1 sen 180 0 +1  90 180 270 360 - 1

95 sen 0 0 sen 90 1 sen 180 0 sen 270 -1 sen  +1  - 1 90 180
 90 180 270 360 - 1

96 sen 0 0 sen 90 1 sen 180 0 sen 270 -1 sen 360 0 sen  +1 
 90 180 270 360 - 1

97 sen  sen (180 -sen  +1  90 180 270 360 - 1 

98 sen  sen (180 -sen  +1  90 180 270 360 - 1 

99 sen  sen (180 -sen  +1 sen   90 180 270 360 - 1 

100 sen (180 -sen  sen  +1 sen   - 1 
 90 180 270 360 - 1  

101 sen (180 -sen  sen  +1 sen   - 1 
 90 180 270 360 - 1  

102 sen  sen (180 + sen  +1  90 180 270 360 - 1

103 sen  sen (180 + sen  +1  90 180 270 360 - 1 

104 sen  sen (180 + sen  +1  90 180 270 360 - 1 

105 sen  sen (180 + sen  +1 sen   90 180 270 360 - 1 

106 sen  sen (180 + sen  +1 sen   90 180 270 360 - 1 

107 sen  sen (180 + sen  +1 sen   90 180 270 360 - 1 

108 sen  sen (180 + sen  +1 sen   90 180 270 360 - 1 

109 sen (180 + sen  sen  +1 sen   - 1 
 90 180 270 360 - 1  

110 IL COSENO DI UN ANGOLO

111 b b’ b” = = = cos  c c’ c” c” c’ c b b’ b”
ANALOGAMENTE A QUANTO FATTO PER LA FUNZIONE sen, DEFINIAMO UN’ALTRA FUNZIONE, CHE CHIAMIAMO: COSENO DELL’ANGOLO  c” B” B’ c’ B c  C C’ C” A b b’ b” b b’ b” = = = cos  c c’ c”

112 b b cos  = = 1 Consideriamo nuovamente il cerchio di raggio r=1
È chiaro che questa volta è il segmento b, che coincide con il coseno dell’angolo b cos  = b = 1 r=1  b

113 Prova a costruire il grafico della funzione cos , analogamente a quanto abbiamo fatto per sen  e scopri le differenze e le analogie fra queste due funzioni trigonometriche cos  +1 r=1  b  90 180 270 360 - 1 cos  = b

114 Prova a costruire il grafico della funzione cos , analogamente a quanto abbiamo fatto per sen  e scopri le differenze e le analogie fra queste due funzioni trigonometriche cos  +1 r=1  b  90 180 270 360 - 1 cos  = b Quando avrai finito, torna qui per verificare le tue conclusioni

115 Prova a costruire il grafico della funzione cos , analogamente a quanto abbiamo fatto per sen  e scopri le differenze e le analogie fra queste due funzioni trigonometriche sen  +1 VERIFICA r=1  b  90 180 270 360 - 1 cos  = b Quando avrai finito, torna qui per verificare le tue conclusioni

116 cos  +1  b=r=1  90 180 270 360 - 1 cos  = b

117 cos  +1  b  90 180 270 360 - 1 cos  = b

118 cos  +1  b  90 180 270 360 - 1 cos  = b

119 cos  +1  b  90 180 270 360 - 1 cos  = b

120 cos  +1  b=0  90 180 270 360 - 1 cos  = b

121 cos  +1  -b  90 180 270 360 - 1 cos  = b

122 cos  +1  -b  90 180 270 360 - 1 cos  = b

123 cos  +1  -b  90 180 270 360 - 1 cos  = b

124 cos  +1  b=-r= -1  90 180 270 360 - 1 cos  = b

125 cos  +1  b  90 180 270 360 - 1 cos  = b

126 cos  +1  b  90 180 270 360 - 1 cos  = b

127 cos 0 1 cos  +1  b  90 180 270 360 - 1 cos  = b

128 cos 0 1 cos  cos 90 0 +1  b  90 180 270 360 - 1 cos  = b

129 b cos  = cos 0 1 cos 90 0 cos 180 -1 cos  +1  b  - 1 90
 90 180 270 360 - 1 cos  = b

130 b cos  = cos 0 1 cos 90 0 cos 180 -1 cos 270 0 cos  +1  b
 90 180 270 360 - 1 cos  = b

131 b cos  = cos 0 1 cos 90 0 cos 180 -1 cos 360 +1 cos  +1  b
 90 180 270 360 - 1 cos  = b

132 b cos  = cos 0 1 cos 90 0 cos 180 -1 cos 270 0 cos 360 +1
 90 180 270 360 - 1 cos  = b

133 cos  cos (180 -- (cos  +1  b  90 180 270 360 - 1 cos  = b

134 cos  cos (180 -- (cos  +1  b  90 180 270 360 - 1 cos  = b

135 cos  cos (180 -- (cos  +1  b  90 180 270 360 - 1 cos  = b

136 cos  cos (180 +- (cos  +1  b  90 180 270 360 - 1 cos  = b

137 RIEPILOGANDO

138 sen  a/c cos  b/c sen 90 1 sen 0 0 sen 180 0 sen 270 -1
cos (180 -- (cos  sen (180 + sen  cos (180 +- (cos  fine