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I triangoli e i criteri di congruenza 1 Un triangolo è un poligono che ha tre lati e si individua con le lettere dei suoi vertici. AB C ABC per indicare.

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1 I triangoli e i criteri di congruenza 1 Un triangolo è un poligono che ha tre lati e si individua con le lettere dei suoi vertici. AB C ABC per indicare il triangolo di vertici A, B, C Si scrive ad esempio: I triangoli Ogni lato di un triangolo è opposto a uno degli angoli: il lato AB è opposto allangolo C; il lato AC è opposto allangolo B; il lato BC è opposto allangolo A. Poiché anche un angolo si individua con tre lettere, per distinguere il triangolo dallangolo si pone un simbolo diverso al di sopra delle tre lettere. ACB per indicare langolo di vertice C Definizione

2 I triangoli e i criteri di congruenza 2 C LASSIFICAZIONE DEI TRIANGOLI IN BASE AI LATI È possibile fare una prima classificazione dei triangoli in base ai lati: Scaleno: un triangolo che ha tutti i lati disuguali. Isoscele: un triangolo che ha due lati congruenti. I due lati congruenti si dicono obliqui e il terzo lato si chiama base. Equilatero: un triangolo che ha tutti i lati congruenti. Classificazione

3 I triangoli e i criteri di congruenza 3 Si dice inoltre: bisettrice relativa allangolo interno del triangolo sia la semiretta bisettrice dellangolo, sia il segmento di bisettrice che ha un estremo nel vertice dellangolo e laltro sul lato opposto bisettrice mediana di un triangolo il segmento che unisce un vertice con il punto medio del lato opposto mediana Bisettrici e mediane

4 I triangoli e i criteri di congruenza AB C AB C 4 Primo criterio di congruenza. Due triangoli sono congruenti se hanno ordinatamente congruenti due lati e langolo fra essi compreso. I criteri di congruenza CA CB ABC ACB

5 I triangoli e i criteri di congruenza A BC 5 Secondo criterio di congruenza. Due triangoli sono congruenti se hanno un lato e gli angoli ad esso adiacenti ordinatamente congruenti. I criteri di congruenza BC ABC A BC ACB

6 I triangoli e i criteri di congruenza 6 Terzo criterio di congruenza. Due triangoli sono congruenti se hanno i tre lati ordinatamente congruenti. I criteri di congruenza A BC BC ABC A BC AC AB

7 I triangoli e i criteri di congruenza 7 Teorema. In un triangolo isoscele gli angoli adiacenti alla base sono congruenti. Le proprietà del triangolo isoscele AC B AB BC Teorema. Se un triangolo ha due angoli congruenti, esso è isoscele. Viceversa, si può dimostrare anche che BAC BCA I due teoremi si possono esprimere con un solo enunciato dicendo: condizione necessaria e sufficiente affinché un triangolo sia isoscele è che abbia due angoli congruenti.

8 I triangoli e i criteri di congruenza 8 Teorema. In ogni triangolo ogni angolo esterno è maggiore di ciascuno degli angoli interni ad esso non adiacenti. Il teorema dellangolo esterno Da ciò consegue che: un triangolo non può avere più di un angolo retto o di un angolo ottuso; gli angoli alla base di un triangolo isoscele sono acuti. δ > α A BC S α δ β δ > β Le proprietà dei triangoli

9 I triangoli e i criteri di congruenza 9 C LASSIFICAZIONE DEI TRIANGOLI IN BASE AGLI ANGOLI Acutangolo Un triangolo che ha tutti gli angoli acuti. Ottusangolo Un triangolo che ha un angolo ottuso. Rettangolo Un triangolo che ha un angolo retto. Classificazione

10 I triangoli e i criteri di congruenza 10 Quarto criterio di congruenza. Due triangoli sono congruenti se hanno due angoli e il lato opposto a uno di essi ordinatamente congruenti. Il quarto criterio di congruenza A BC A BC BC ABC Il seguente criterio è una conseguenza diretta del teorema dellangolo esterno. ABC BAC

11 I triangoli e i criteri di congruenza 11 In ogni triangolo, se due lati sono disuguali, al lato maggiore è opposto langolo maggiore. Relazioni fra lati e angoli A B C In ogni triangolo, se due angoli sono disuguali, allangolo maggiore è opposto il lato maggiore. Viceversa: Se due triangoli hanno due lati ordinatamente congruenti e gli angoli compresi sono disuguali, allora i lati opposti a questi angoli sono anchessi disuguali nello stesso verso. AB C AB C AB > ACACB > CBA AB > AB C > C AC CB

12 I triangoli e i criteri di congruenza 12 Disuguaglianze triangolari Teorema. In ogni triangolo ciascun lato è minore della somma degli altri due ed è maggiore della loro differenza. C AB AC – CB < AB < AC + CB AC – AB < CB < AC + AB AB – CB < AC < AB + CB Dalle proprietà elencate precedentemente si può dedurre che: in ogni triangolo rettangolo lipotenusa è maggiore di ciascuno dei cateti; in ogni triangolo ottusangolo, il lato opposto allangolo ottuso è maggiore di ciascuno degli altri due lati. Vale poi il seguente importante teorema:


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