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I TRIANGOLI Poligoni di tre lati Con 6 lelementi: 3 lati e 3 angoli.

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Presentazione sul tema: "I TRIANGOLI Poligoni di tre lati Con 6 lelementi: 3 lati e 3 angoli."— Transcript della presentazione:

1 I TRIANGOLI Poligoni di tre lati Con 6 lelementi: 3 lati e 3 angoli

2 CLASSIFICAZIONE DEI TRIANGOLI IN BASE AI LATI Un triangolo avente due lati congruenti si dice isoscele Un triangolo avente tre lati congruenti si dice equilatero Un triangolo che non ha nessuno dei tre lati congruenti si dice scaleno

3 In un triangolo isoscele il punto comune ai lati congruenti si dice vertice del triangolo isoscele, Langolo compreso dai lati congruenti si dice angolo al vertice, Il lato opposto al vertice si chiama base, Gli angoli adiacenti alla base si dicono angoli alla base.

4 CLASSIFICAZIONE DEI TRIANGOLI IN BASE AGLI ANGOLI Un triangolo che abbia un angolo acuto si dice acutangolo, Un triangolo che ha un angolo ottuso si dice ottusangolo, Un triangolo che ha un angolo rettangolo (90°) si dice rettangolo.

5 Un triangolo equilatero si può considerare isoscele in tre modi diveri, potendosi considerare come base uno qualsiasi dei tre lati.

6 ALTEZZA In un triangolo qualsiasi si definisce altezza il segmento di perpendicolare condotto da un vertice alla retta del lato opposto. In un triangolo vi sono tre altezze che passano per uno stesso punto detto ortocentro del triangolo.

7 MEDIANA Si definisce mediana di un triangolo relativa ad un lato il segmento che congiunge il punto medio di quel lato con il vertice opposto. In un triangolo vi sono tre mediane che passano per uno stesso punto detto baricentro del triangolo.

8 BISETTRICE Si definisce bisettrice di un triangolo il segmento, contenuto nella semiretta bisettrice di quellangolo, che ha un ewstremo nel vertice dellangolo e laltro estremo sil lato opposto. In un triangolo vi sono tre bisettrici che passano per uno stesso punto detto incentro del triangolo.

9 CONGRUENZA DEI TRIANGOLI E SUE CONSEGUENZE

10 FIGURE CONGRUENTI Due triangoli sono congruenti se esiste un moviemnto rigido con il quale essi possono essere sovrapposti in modo da coincidere. Questo movimento farà coincidere i vertici, i lati e gli angoli del primo triangolo con i vertici e gli angoli corrispondenti del secondo triangolo.

11 C C1 AB B1 A1 ABC A1B1C1 AB A1B1, AC A1C1, lati omologhi o corrispondenti BC C1B1, A A1, B B1, angoli corrispondenti C C1 Due triangoli sono congruenti se hanno i sei elementi (3lati e 3 angoli) rispettivamente congruenti (angoli congruenti sono opposti a lati congruenti e viceversa). Ma bastano 3 di queste relazioni di congruenza per dire che i triangoli sono congruenti.

12 PRIMO CRITERIO DI CONGRUENZA Se due triangoli hanno rispettivamente congruenti due lati e langolo tra loro compreso, essi sono congruenti. OSSERVAZIONE: ad angoli congruenti stanno opposti lati congruenti, e viceversa, a lati congruenti sono opposti angolicongruenti.

13 C C1 AB B1 A1 IPOTESI: AC A1C1lato AB A1B1lato CAB C1A1B1angolo TESI: ABC A1B1C1triangolo Bastano queste 3 relazioni (2 lati ed un angolo congruenti) per dimostrare che i due angoli sono uguali.

14 DIMOSTRAZIONE (verifica sperimentale) Si parte dallangolo: CAB C1A1B1 Se con un movimento rigido sovrappongo i due angoli, anche le due semirette (lati dei triangoli) si sovrapporranno. La semiretta che contiene AC si sovrappone a quella che contiene A1C1. AB si sovrappone ad A1B1. Poiché AC è congruente ad A1C1 ed AB ad A1B1, Ccoincide con C1, il vertice B coincide con B1, è chiaro che il lato BC coincide e si sovrappone con B1C1. Anche langolo in C1 coincide con C e B coincide con B1. Quindi il triangolo ABC coincide con il triangolo A1B1C1.

15 TEOREMA In un triangolo isoscele, gli angoli alla base sono congruenti. C IPOTESI: AC BC TESI: CAB CBA A E B

16 DIMOSTRAZIONE Si considera la bisettrice dellangolo al vertice CE. Consideriamo i due triangoli ACE e CBE, essi hanno: CE in comune CA CB per ipotesi ACE BCE per costruzione, poiché ho creato e tracciato la bisettrice I due triangoli sono congruenti per il 1° criterio dei congruenza, perché hanno 3 elementi congruenti, 2 lati ed un angolo. Il triangolo ACE CBE, quindi langolo CAB ABC, C.V.D.(come volevasi dimostrare)

17 ANGOLI SUPPLEMENTARI Gli angoli supplementari di uno stesso angolo o di angoli congruenti, sono congruenti tra loro. 1.Angoli supplementari di uno stesso angolo. i due angoli supplementari sono uguali π - π - π -

18 2.Angoli supplementari di angoli congruenti, sono complementari tra loro. ab a1b1 o Angoli Anche gli angoli supplementari π - π - saranno congruenti

19 PROPRIETA Somme o differenze di angoli rispettivamente congruenti, sono congruenti

20 TEOREMA Angoli opposti al vertice sono congruenti A B O Angolo AOB Da dimostrare 1. e sono supplementari dello stesso angolo AOB π- AOB= π- AOB= per la definizione di angoli supplementari 2.π π AOB AOB π-AOB π- AOB perché sono differenze di angoli congruenti

21 SECONDO CRITERIO DI CONGRUENZA Se due triangoli hanno rispettivamente due angoli e il lato tra loro compreso congruenti, essi sono congruenti. C C1 D ABA1 B1 IPOTESI: Angolo A A1 Angolo B B1AB A1B1 TESI: Triangolo ABC A1B1C1

22 DIMOSTRAZIONE per assurdo IPOTESI: vera (Nego la TESI) non TESI: vera Se ottengo una contraddizione o un assurdo…non potendo essere vera la non TESI, non TESI: falsa Vuol dire che la TESI è vera TESI: vera

23 DIMOSTRAZIONE 1. IPOTESI: lato AB A1B1angolo CAB C1A1B1 angolo ABC A1B1C1 TESI: triangolo ABC A1B1C1 2.Nego la TESI: ABC non congruente a A1B1C1 AC A1C1 supponiamo che i leti siano diversi AC A1C1 supponiamo che uno dei due angoli sia maggiore dellaltro; esisterà un punto di AC, detto D, tale che AD sia congruente ad A1C1: AD A1C1 Consideriamo il triangolo ABD e quello A1B1C1, essi hanno: AB A1B1 per ipotesi CAB C1A1B1 per ipotesi AD A1C1 per costruzione Hanno due lati ed un angolo compreso congruenti: per il 1° criterio di congruenza. I rispettivi angoli opposti devono essere congruenti: angolo ABD A1B1C1 perché angoli corrispondenti in triangoli congruenti.

24 Angolo CBA C1B1A1ABD A1B1D1 per la proprietà transitiva della congruenza. 3.Ma angolo ABD CBA è un ASSURDO perché langolo ABD è una parte di ABC, preché DB, la semiretta, è interna allangolo ABC. 4.Resta dimostrata la verità della TESI. C C1 D ABA1 B1


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