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Il Triangolo. Definizione Caratteristiche In un triangolo possiamo individuare: 1.Tre vertici (A; B;C) 2.Tre lati (a; b; c) 3.Tre angoli (α; β; γ) Un.

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1 Il Triangolo

2 Definizione

3 Caratteristiche In un triangolo possiamo individuare: 1.Tre vertici (A; B;C) 2.Tre lati (a; b; c) 3.Tre angoli (α; β; γ) Un triangolo è una figura rigida indeformabile per questo trova applicazione in molte strutture architettoniche

4 Somma degli angoli interni di un triangolo Consideriamo il seguente triangolo Tracciamo la retta passante per CB e la sua parallela passante per A A questo punto noi abbiamo due rette parallele tagliate da due trasversali che sono i lati del triangolo Interessante contributo esterno Gli angoli α e 1 sono uguali perché alterni interni rispetto alla trasversale c

5 Gli angoli e 1 sono uguali per lo stesso motivo perché alterni interni rispetto alla trasversale b Adesso si vede chiaramente come la somma degli angoli interni del triangolo,, sia uguale alla somma degli angoli 1, 1 e perché: 1 = ; 1 = e è in comune 1 = ; 1 = e è in comune con Come si vede chiaramente dalla figura

6 L a s o m m a d e g l i a n g o l i i n t e r n i d i u n t r i a n g o l o v a l e s e m p r e °

7 Angoli esterni di un triangolo Si definisce angolo esterno di un triangolo langolo formato dal prolungamento del lato precedente e il lato successivo di un poligono La somma degli angoli esterni di un triangolo vale sempre 360°

8 Angoli adiacenti Si dicono adiacenti due angoli consecutivi e i cui lati non comuni giacciono sulla stessa retta Noti una qualche somiglianza con gli angoli interni ed esterni di un triangolo?

9 C o n s i d e r i a m o l a s e g u e n t e f i g u r a Le coppie angoli interni ed esterni di un triangolo che fanno capo ad uno stesso vertice costituiscono una coppia di angoli adiacenti

10 Lati e angoli Consideriamo un vertice di un triangolo e un lato che non passi per quel vertice Un lato si dice opposto al vertice A (o allangolo α) se non passa per A Consideriamo il lato b, esso è un lato comune ai due angoli e Due angoli di un triangolo che hanno un lato in comune si dicono adiacenti a quel lato

11 Criterio di esistenza di un triangolo Consideriamo tre segmenti È sempre possibile costruire un triangolo? In teoria sembrerebbe di si perché posso metterli uno dietro laltro Ma il giochetto riesce sempre? Consideriamo altri tre segmenti Ripetiamo loperazione Come si vede non posso costruire un triangolo, uno dei due segmenti è addirittura più grande della somma degli altri due

12 I n u n t r i a n g o l o u n l a t o d e v e e s s e r e m i n o r e d e l l a s o m m a d e g l i a l t r i d u e

13 Classificazione in base ai lati In base ai lati classifichiamo i triangoli in: Triangoli scaleni se hanno tutti i lati disuguali Triangoli isosceli se hanno due lati uguali Triangoli equilateri se hanno tutti i lati uguali

14 I triangoli isosceli Nei triangoli isosceli chiamiamo: Lati obliqui i due lati uguali Lati obliqui i due lati uguali Base il terzo lato Angoli alla base i due angoli adiacenti alla base Angolo al vertice langolo opposto alla base

15 Triangolo equilatero Il triangolo rettangolo ha tutti i lati e gli angoli uguali Se la somma dei 3 angoli interni è di 180° il valore di tali angoli sarà: 180° : 3 = 60°

16 Classificazione in base agli angoli In base agli angoli possiamo suddividere i triangoli in: triangoli acutangoli se hanno tutti gli angoli acuti Triangoli rettangoli se hanno un angolo retto Triangoli ottusangoli se hanno un angolo ottuso

17 Altezza di un triangolo Consideriamo un triangolo Tracciamo la perpendicolare al lato BC passante per A Sia H la proiezione di A su AC Si definisce altezza di un triangolo relativa ad un lato il segmento perpendicolare che partendo dal vertice opposto arriva sul lato medesimo Cioè la distanza di A dal lato BC

18 Quante altezze????? Nella definizione precedente cè una piccolissima parola che ci deve far riflettere! relativa! Esiste unaltezza assoluta in un triangolo? Certamente no, ogni altezza deve essere riferita ad un lato! Ma quanti sono i lati? 3 Allora in un triangolo ci sono tre altezze

19 Non ci resta che vederle! Sorpresa …. Sorpresa …. Passano tutte per uno stesso punto! Questo ci permette di dire che quello sarà certamente un punto notevole del triangolo Se questo è vero esso non merita solo un simbolo per indicarlo Ma anche nome e definizione

20 Ortocentro ortocentro (dal greco ", retto, più, centro … paura! Si definisce ortocentro il punto di incontro delle tre altezze Qui l ortocentro è dentro il triangolo ma è sempre così? Vediamo se è vero!

21 Vediamo cosa succede allortocentro se modifico il triangolo Langolo in B sta aumentando e si osserva che lortocentro si sposta verso questo angolo Quando il triangolo diventa rettangolo ortocentro e vertice B coincidono Quando il triangolo diventa ottusangolo lortocentro va fuori e non si trova più nel punto di incontro delle tre altezze ma dove si incontrano i loro prolungamenti!

22 Nuova definizione di altezza Si definisce altezza di un triangolo relativa ad un lato il segmento perpendicolare che partendo dal vertice opposto arriva sul lato medesimo o sul suo prolungamento

23 Nuova definizione di ortocentro Si definisce ortocentro il punto di incontro delle tre altezze o dei loro prolungamenti Altezze del triangolo ABC Per trovare lortocentro occorre prolungare le altezza

24 Riassunto In un triangolo acutangolo lortocentro è interno In un triangolo rettangolo lortocentro coincide col vertice opposto allipotenusa In un triangolo rettangolo lortocentro è esterno al triangolo

25 Mediana Dal latino medianus, ciò che sta nel mezzo Si definisce mediana il segmento che unisce il vertice opposto di un lato col suo punto medio Anche in questo caso il triangolo ha tre mediane

26 Un nuovo punto notevole Si può facilmente vedere che …… Le tre mediane si incontrano in un punto che sarà ancora una volta un nuovo punto notevole

27 Baricentro Dal greco Dal greco pesante e centro letteralmente centro dei pesi Si definisce baricentro il punto di incontro delle tre mediane È il punto di equilibrio del triangolo

28 Bisettrice A O A1A1 Consideriamo langolo AOA 1 Tracciamo una semiretta che ha origine nel suo vertice e che lo divide a metà Tale retta prende il nome di bisettrice A Definiamo bisettrice la semiretta che partendo dal suo vertice O divide langolo in due parti uguali bisettrice

29 Bisettrici di un triangolo Un triangolo avendo tre angoli avrà anche tre bisettrici Come si vede anche queste si incontrano in un unico punto che sarà il terzo punto notevole del triangolo

30 Incentro Si definisce incentro il punto di incontro delle bisettrici di un triangolo

31 Proprietà dellincentro Lincentro gode di unimportante proprietà: è equidistante dai lati Tale distanza coincide con il raggio di una circonferenza tangente a tutti i lati del poligono Dimostreremo questo quando faremo i criteri di congruenza dei triangoli

32 Secanti e tangenti Una retta si dice secante se interseca una curva in due o più punti Una retta si dice tangente ad una curva se ha un solo punto di contatto (da tangere toccare) con la curva (o meglio la tocca in due punti coincidenti)

33 Asse di un segmento Consideriamo il segmento AB e sia M il suo punto medio Quali saranno le caratteristiche di M? Consideriamo ora la perpendicolare ad AB passante per M Chiamiamo questa perpendicolare asse del segmento Lasse di un segmento è il luogo geometrico dei punti equidistanti dai suoi estremi

34 Assi di un triangolo Solita storia: abbiamo tre lati e quindi tre assi! Ancora una volta un punto notevole; i tre assi si incontrano in un punto che merita nome e definizione

35 Il circocentro Dal latino circum (circolo) e dal greco (centro) Si definisce circocentro il punto di incontro dei tre assi di un triangolo Il nome deriva da una proprietà facilmente ricavabile se si ricorda il significato di asse

36 Proprietà del circocentro Consideriamo lasse del lato CB, per definizione il punto O (appartenente allasse) è equidistante da C e da B OB = OC Prendiamo lasse del lato AC, ancora una volta O è equidistante da A e da C OC = OA A questo punto si ha che: OB=OC=OA Il circocentro è equidistante di vertici del triangolo

37 Il centro del circolo …. È ora chiaro che il circocentro è il centro cella circonferenza che passa per i vertici del triangolo Da cui …. Qualsiasi triangolo può essere inscritto in una circonferenza

38 Tipi di triangolo e posizione del circocentro Nel triangolo acutangolo il circocentro è interno al poligono Nel triangolo rettangolo il circocentro coincide col punto medio dellipotenusa Nel triangolo ottusangolo il circocentro è esterno al triangolo

39 Criteri di congruenza dei triangoli In geometria si parla di congruenza quando due cose sono uguali I criteri sono delle modalità che ci permettono di dire quando due cose sono uguali senza doverle confrontare e si risparmia tempo

40 Primo criterio di congruenza Consideriamo due triangoli che hanno due lati uguali e langolo fra essi compreso uguale Con un movimento rigido facciamo coincidere le due figure Vediamo che si sovrappongono esattamente Perciò i due triangoli sono uguali A B C A B C Due triangoli sono uguali se hanno uguale due lati e l angolo fra essi compreso

41 Secondo criterio di congruenza Consideriamo due triangoli che hanno un lato uguale e uguale i due angoli ad esso adiacenti Siccome noi sappiamo che la somme degli angoli interni di un triangolo è 180° laltro angolo sarà necessariamente uguale Perciò i due triangoli sono uguali 2 triangoli sono uguali sa hanno uguale un lato e gli angoli ad esso adiacenti

42 Terzo criterio di congruenza Consideriamo due triangoli che hanno tre lati uguali Siccome il triangolo è una struttura indeformabile i due triangoli saranno necessariamente uguali Si vede facilmente se li sovrapponiamo A B C A B C Due triangoli sono uguali se hanno tutti e tre i lati congruenti

43 Considerazione sul triangolo isoscele Consideriamo il seguente triangolo isoscele Gli angoli alla base saranno uguali e così i lati AC e BC Tracciamo laltezza I triangoli CDB e CAD saranno uguali perché Il lato AD è in comune I lati AC e CB sono uguali perché lati del triangolo isoscele Essendo langolo ADC = allangolo CDB perché retti per definizione di altezza si ha che = = 180° – 90° – 66,8° = = 180° – 90° – 66,8° Perciò per il primo criterio di congruenza i triangoli CDB e CAD sono uguali Questo risultato è pieno di conseguenze infatti:

44 Proprietà del triangolo isoscele Se i triangoli ACD e CDB sono uguali sia ha che AD = DB cioè D è il punto medio e laltezza è anche mediana Laltezza è la perpendicolare condotta a partire dal punto medio perciò sta sul suo asse Se i triangoli ACD e BCD sono uguali saranno uguali anche e perciò laltezza è anche bisettrice dellangolo in C In un triangolo isoscele laltezza relativa alla base è anche asse, mediana e bisettrice

45 Se tracciamo le altezze troviamo lortocentro Se tracciamo gli assi troviamo il circocentro Se tracciamo le mediane troviamo il baricentro Se tracciamo le bisettrici troviamo lincentro Come ci potevamo aspettare ….. I n u n t r i a n g o l o i s o s c e l e t u t t i i p u n t i n o t e v o l i c a d o n o s u l l a l t e z z a r e l a t i v a a l l a b a s e

46 ….. e se il triangolo è equilatero A voi la parola ……… In che cosa assomiglia al triangolo isoscele? Come saranno le tre altezze relative ai lati Vale per ciascuna di loro ciò che si detto per laltezza del triangolo isoscele? Allora? O Ξ B Ξ C Ξ I

47 ….. e sul triangolo rettangolo? Consideriamo la seguente figura e fissiamo la nostra attenzione sul triangolo A M 1 B Lasse del segmento AB contiene laltezza del triangolo Il triangolo A M 1 B è isoscele AM 1 = M 1 B Ma se M 1 è il punto medio dellipotenusa allora si avrà che …. I n u n t r i a n g o l o r e t t a n g o l o l a m e d i a n a r e l a t i v a a l l i p o t e n u s a è c o n g r u e n t e a l l a m e t à d e l l i p o t e n u s a s t e s s a

48 Triangolo rettangolo particolare … è possibile dire che questo triangolo è la metà di un triangolo equilatero? Provate a riflettere: Quanto vale langolo in C? Quanto valgono gli angoli interni in un triangolo equilatero? Se raddoppio langolo di 30° cosa ottengo? E allora ………..

49 Questa è tosta!!!! Sapresti dimostrare che IL = IK = IH? Pensa al quadrilatero ALIH e al ruolo che ha la bisettrice dellangolo alfa Quanto vale langolo in H? Quanto vale langolo in L? Se considero gli angoli AÎL e HÎL come sono? Perché? E allora...

50 Uguali perché sono retti sono retti Uguali perché angoli generati dalla bisettrice dellangolo η 1 = η 2 = 180° - 90°- ζ 1 (ζ 2 è la stessa cosa perché sono uguali) perché la somma degli angoli interni di un triangolo è di 180° Il lato AI è in comune ai due triangoli Per il secondo criterio di uguaglianza (lato uguale e gli angoli ad essi adiacenti uguali) i triangoli AIK e AIH sono uguali e pertanto IH = IK

51 Ragionamento analogo può essere fatto anche per i quadrilateri LCKI e ABHI perciò abbiamo dimostrato che Il punto I (incentro) è equidistante dai lati del triangolo

52 Come sarà un triangolo rettangolo con un angolo di 45°

53 Perimetro Consideriamo il seguente poligono I lati a, b, c, e d rappresenteranno il contorno del poligono Immaginiamo ora di prenderli uno ad uno e di sommarli (sappiamo già come si fa altrimenti slide successiva) La lunghezza del segmento AA ottenuto sommando questi lati è detta perimetro del poligono Di definisce perimetro di un poligono e si indica con 2P la misura del contorno del poligono

54 Perimetro di un triangolo Se consideriamo un triangolo qualsiasi si ha che 2P = a + b + c Se consideriamo un triangolo isoscele si ha che 2P = b + 2 x lo

55 In un triangolo rettangolo il perimetro è dato da 2P= c1 + c2 + i In un triangolo equilatero il perimetro è dato da: 2p = 3 x l Interessante la versione sullo stesso argomento della professoressa Amelia Vavalli reperibile in questa pagina web


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