La presentazione è in caricamento. Aspetta per favore

La presentazione è in caricamento. Aspetta per favore

GEOMETRIA TRIANGOLI E PARALLELOGRAMMI. CONGRUENZA DEI TRIANGOLI E SUE CONSEGUENZE.

Presentazioni simili


Presentazione sul tema: "GEOMETRIA TRIANGOLI E PARALLELOGRAMMI. CONGRUENZA DEI TRIANGOLI E SUE CONSEGUENZE."— Transcript della presentazione:

1 GEOMETRIA TRIANGOLI E PARALLELOGRAMMI

2 CONGRUENZA DEI TRIANGOLI E SUE CONSEGUENZE

3 FIGURE CONGRUENTI Due triangoli sono congruenti se esiste un moviemnto rigido con il quale essi possono essere sovrapposti in modo da coincidere. Questo movimento farà coincidere i vertici, i lati e gli angoli del primo triangolo con i vertici e gli angoli corrispondenti del secondo triangolo.

4 C C1 AB B1 A1 ABC A1B1C1 AB A1B1, AC A1C1, lati omologhi o corrispondenti BC C1B1, A A1, B B1, angoli corrispondenti C C1 Due triangoli sono congruenti se hanno i sei elementi (3lati e 3 angoli) rispettivamente congruenti (angoli congruenti sono opposti a lati congruenti e viceversa). Ma bastano 3 di queste relazioni di congruenza per dire che i triangoli sono congruenti.

5 PROPRIETA Linverso di un teorema è una proprietà

6 PRIMO CRITERIO DI CONGRUENZA Se due triangoli hanno rispettivamente congruenti due lati e langolo tra loro compreso, essi sono congruenti. OSSERVAZIONE: ad angoli congruenti stanno opposti lati congruenti, e viceversa, a lati congruenti sono opposti angolicongruenti.

7 C C1 AB B1 A1 IPOTESI: AC A1C1lato AB A1B1lato CAB C1A1B1angolo TESI: ABC A1B1C1triangolo Bastano queste 3 relazioni (2 lati ed un angolo congruenti) per dimostrare che i due angoli sono uguali.

8 DIMOSTRAZIONE (verifica sperimentale) Si parte dallangolo: CAB C1A1B1 Se con un movimento rigido sovrappongo i due angoli, anche le due semirette (lati dei triangoli) si sovrapporranno. La semiretta che contiene AC si sovrappone a quella che contiene A1C1. AB si sovrappone ad A1B1. Poiché AC è congruente ad A1C1 ed AB ad A1B1, Ccoincide con C1, il vertice B coincide con B1, è chiaro che il lato BC coincide e si sovrappone con B1C1. Anche langolo in C1 coincide con C e B coincide con B1. Quindi il triangolo ABC coincide con il triangolo A1B1C1.

9 TEOREMA In un triangolo isoscele, gli angoli alla base sono congruenti. C IPOTESI: AC BC TESI: CAB CBA A E B

10 DIMOSTRAZIONE Si considera la bisettrice dellangolo al vertice CE. Consideriamo i due triangoli ACE e CBE, essi hanno: CE in comune CA CB per ipotesi ACE BCE per costruzione, poiché ho creato e tracciato la bisettrice I due triangoli sono congruenti per il 1° criterio dei congruenza, perché hanno 3 elementi congruenti, 2 lati ed un angolo. Il triangolo ACE CBE, quindi langolo CAB ABC, C.V.D.(come volevasi dimostrare)

11 ANGOLI SUPPLEMENTARI Gli angoli supplementari di uno stesso angolo o di angoli congruenti, sono congruenti tra loro. 1.Angoli supplementari di uno stesso angolo. i due angoli supplementari sono uguali π - π - π -

12 2.Angoli supplementari di angoli congruenti, sono complementari tra loro. ab a1b1 o Angoli Anche gli angoli supplementari π - π - saranno congruenti

13 PROPRIETA Somme o differenze di angoli rispettivamente congruenti, sono congruenti

14 TEOREMA Angoli opposti al vertice sono congruenti A B O Angolo AOB Da dimostrare 1. e sono supplementari dello stesso angolo AOB π- AOB= π- AOB= per la definizione di angoli supplementari 2.π π AOB AOB π-AOB π- AOB perché sono differenze di angoli congruenti

15 SECONDO CRITERIO DI CONGRUENZA Se due triangoli hanno rispettivamente due angoli e il lato tra loro compreso congruenti, essi sono congruenti. C C1 D ABA1 B1 IPOTESI: Angolo A A1 Angolo B B1AB A1B1 TESI: Triangolo ABC A1B1C1

16 DIMOSTRAZIONE per assurdo IPOTESI: vera (Nego la TESI) non TESI: vera Se ottengo una contraddizione o un assurdo…non potendo essere vera la non TESI, non TESI: falsa Vuol dire che la TESI è vera TESI: vera

17 DIMOSTRAZIONE 1. IPOTESI: lato AB A1B1angolo CAB C1A1B1 angolo ABC A1B1C1 TESI: triangolo ABC A1B1C1 2.Nego la TESI: ABC non congruente a A1B1C1 AC A1C1 supponiamo che i leti siano diversi AC A1C1 supponiamo che uno dei due angoli sia maggiore dellaltro; esisterà un punto di AC, detto D, tale che AD sia congruente ad A1C1: AD A1C1 Consideriamo il triangolo ABD e quello A1B1C1, essi hanno: AB A1B1 per ipotesi CAB C1A1B1 per ipotesi AD A1C1 per costruzione Hanno due lati ed un angolo compreso congruenti: per il 1° criterio di congruenza. I rispettivi angoli opposti devono essere congruenti: angolo ABD A1B1C1 perché angoli corrispondenti in triangoli congruenti.

18 Angolo CBA C1B1A1ABD A1B1D1 per la proprietà transitiva della congruenza. 3.Ma angolo ABD CBA è un ASSURDO perché langolo ABD è una parte di ABC, preché DB, la semiretta, è interna allangolo ABC. 4.Resta dimostrata la verità della TESI. C C1 D ABA1 B1

19 2° TEOREMA DELLANGOLO ESTERNO E UNA PROPRIETA DEI TRIANGOLI 1.In ogni triangolo un angolo esterno è congruente alla somma dei due angoli interni ad esso non adiacenti. 2.La somma degli angoli interni di un triangolo qualuncue è congruente ad un angolo piatto. - gli angoli acuti di un triangolo rettangolo sono complementari. -in ogni triangolo equilatero ciascun angolo è congruente a 60°. -se due triangoli hanno due angoli rispettivamente congruenti hanno congruenti anche gli angoli rimanenti (per differenze di angoli congruenti)

20 Pag. 79 n° 17 IPOTESI: ABC triangolo DAC angolo esterno TESI: angolo DAC angoli CAB + ACB DIMOSTRAZIONE: Traccio un asemiretta di origine A parallela a BC e interna allangolo CAD. Considero le rette AH//BC tagliate dalla trasversale BD. Esse formano: -gli angoli corrispondenti DAH e ABC per la proprietà delle rette parallele. Considero le rette AH//BC tagliate dalla trasversale AC. Esse formano: -gli angoli alterni interni HAC e BCA per la proprietà delle rette parallele. Essendo gli angoli DAC= angoli DAH+HAC allora, DAC CBA + ACB perché somme di angoli congruenti.

21 LA SOMMA DEGLI ANGOLI INTERNI DI UN TRIANGOLO È CONGRUENTE A 180° La conseguenza è che la somma degli angoli interni di un triangolo è congruente a 180° (pag. 80 n°18): -gli angoli acuti di un triangolo rettangolo sono complementari, per la proprietà del triangolo rettangolo; -In ogni triangolo equilatero ciascun angolo è congruente alla 3^ parte di un angolo piatto, per la proprietà del triangolo equilatero; -Se due triangoli hanno due angoli rispettivamente congruenti, hanno congruenti anche gli angoli rimanenti; per differenza di angoli congruenti. Di conseguenza: abbiamo il 2° criterio generalizzato

22 2° CRITERIO GENERALIZZATO Due triangoli aventi rispettivamente congruenti un lato e due angoli qualsiasi, purché ugualmente disposti, sono congruenti.

23 1° CRITERIO DEL TRIANGOLO ISOSCELE Sapendo che un triangolo ha 2 angoli congruenti, il triangolo è isoscele, per il 1° criterio

24 2° CRITERIO DEL TRIANGOLO ISOSCELE Sapendo che un triangolo ha 2 lati congruenti, il triangolo è isoscele, per definizione

25 2^ PROPRIETA DEL TRIANGOLO ISOSCELE In un triangolo isoscele la bisettrice dellangolo al vertice è pure altezza e mediana relativa alla base.

26 3^ PROPRIETA DEL TRIANGOLO ISOSCELE In un triangolo isoscele la mediana alla base è pure altezza e bisettrice al vertice.

27 4° PROPRIETÀ DEL TRIANGOLO ISOSCELE In un triangolo isoscele laltezza relativa alla base è anche mediana e bisettrice dellangolo al vertice.

28 SOMMA DEGLI ANGOLI INTERNI DI UN POLIGONO La somma degli angoli interni di un poligono convesso è congruente a tanti angoli piatti quanti sono i lati del poligono meno 2.

29 CONGRUENZA DI 2 TRIANGOLI RETTANGOLI Per essere congruenti devono avere: 1.un cateto : secondo il 1° criterio 2.un cateto e langolo acuto adiacente : per il 2° criterio 3.Lipotenusa e un angolo acuto: per il 2° criterio generalizzato 4.un cateto e langolo acuto opposto: per il 2° criterio generalizzato 5.Lipotenusa ed un cateto

30 PARALLELOGRAMMO È un quadrilatero avente i lati opposti paralleli

31 PROPRIETA DEL PALALLELOGRAMMO In ogni parallelogrammo: 1.Ciascuna diagonale divide il parallelogrammo in 2 triangoli congruenti 2.I lati opposti sono congruenti 3.Gli angoli opposti sono congruenti 4.Gli angoli adiacenti a ciascun lato sono supplementari 5.Le due diagonali hanno lo stesso punto medio

32 CRITERI DEL PARALLELOGRAMMO In ogni parallelogrammo: 1.Se le diagonali hanno lo stesso punto medio 2.Se i lati sono congruenti 3.Se gli angoli opposti sono congruenti 4.Se gli angoli adiacenti a ciascun lato sono supplementari 5.Se ha due lati opposti congruenti e paralleli

33 PROPRIETA DEL QUADRATO E DEL RETTANGOLO Parallelogramma avente 4 angoli retti

34 PROPRIETA DEL QUADRATO E DEL RETTANGOLO Le diagonali sono congruenti Il centro è equidistante dai vertici

35 CRITERIO DEL RETTANGOLO Un parallelogramma, avente le diagonali congruenti, è un rettangolo


Scaricare ppt "GEOMETRIA TRIANGOLI E PARALLELOGRAMMI. CONGRUENZA DEI TRIANGOLI E SUE CONSEGUENZE."

Presentazioni simili


Annunci Google