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FUNZIONE: DEFINIZIONE Una FUNZIONE è una RELAZIONE che ad ogni elemento di un dato insieme A, detto DOMINIO, associa uno ed un solo elemento di un altro.

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1 FUNZIONE: DEFINIZIONE Una FUNZIONE è una RELAZIONE che ad ogni elemento di un dato insieme A, detto DOMINIO, associa uno ed un solo elemento di un altro insieme B, detto CODOMINIO RELAZIONE A B x1 x2 x3 y1 y2 y3 y4 f

2 FUNZIONE: DEFINIZIONE Si dice che y1 è IMMAGINE di x1 tramite la funzione f, e così per gli altri elementi Si dice che x1 è CONTROIMMAGINE di y1 tramite f A B x1 x2 x3 y1 y2 y3 y4 f

3 FUNZIONE: DEFINIZIONE Questa è una funzione Questa non lo è A B x1 x2 x3 y1 y2 y3 y4 A B x1 x2 x3 y1 y2 y3 y4

4 FUNZIONE: Rappresentazione Una funzione può essere rappresentata in modo insiemistico coi diagrammi di Wenn: in questo caso la freccia indica la relazione Molto intuitivo ma poco pratico A B x1 x2 x3 y1 y2 y3 y4 f

5 FUNZIONE: Rappresentazione Una funzione può essere rappresentata tramite il suo grafico, se sia A che B sono sottoinsiemi dei numeri reali: la x di un punto del grafico è un elemento del dominio, la y è la sua immagine x1 y1 x2 y2 P Q

6 FUNZIONE: Rappresentazione Una funzione può essere rappresentata tramite unequazione, in cui x è un elemento del dominio, y la sua immagine. QUESTE SONO FUNZIONI QUESTA NON E UNA FUNZIONE PERCHE NON E UNIVOCA: AD OGNI VALORE DI X CORRISPONDONO DUE VALORI DI Y

7 FUNZIONE: Rappresentazione Lequazione di una funzione può essere data sia in forma ESPLICITA y=f(x) Che in forma IMPLICITA F(x,y)=0

8 FUNZIONE: Rappresentazione Una funzione può anche essere definita PER CASI, ovvero può avere formule diverse a seconda del valore di x

9 FUNZIONE: valore assoluto Un esempio è la funzione VALORE ASSOLUTO y=|x|

10 FUNZIONE: Heaviside Un altro è la funzione di Heaviside o funzione a gradino 1 0

11 FUNZIONE: parte intera La funzione parte intera di x, che ad ogni numero associa la sua parte intera

12 FUNZIONE: iniettiva Una funzione si dice INIETTIVA se ogni elemento di B ha al più una controimmagine in A f non è iniettiva perché y3 ha due controimmagini, x3 e x4 A B x1 x2 x3 y1 y2 y3 y4 f x4

13 FUNZIONE: suriettiva Una funzione si dice SURIETTIVA se ogni elemento di B ha almeno una controimmagine in A f non è suriettiva perché y4 non ha controimmagine A B x1 x2 x3 y1 y2 y3 y4 f x4

14 FUNZIONE: biunivoca Una funzione si dice BIUNIVOCA se è iniettiva e suriettiva A B x1 x2 x3 y1 y2 y3 y4 f x4

15 FUNZIONE: classificazione FUNZIONI ALGEBRICHE: sono quelle nella cui espressione si trovano solo le quattro operazioni, lelevamento a potenza, lestrazione di radice FUNZIONI TRASCENDENTI: funzione esponenziale e logaritmica, le funzioni goniometriche e tutte le loro combinazioni

16 FUNZIONE: classificazione FUNZIONI RAZIONALI: sono quelle in cui lincognita x non compare sotto segno di radice FUNZIONI IRRAZIONALI: sono quelle in cui la x compare sotto segno di radice

17 FUNZIONE: classificazione FUNZIONI INTERE: sono quelle in cui la x compare solo al numeratore FUNZIONI FRATTE: sono quelle in cui la x compare al denominatore

18 FUNZIONE: ricerca del dominio Il dominio di una funzione è linsieme di tutti quei valori di x per cui lespressione che definisce la funzione ha significato. La ricerca del dominio dipende dal tipo di funzione

19 FUNZIONE: ricerca del dominio in una funzione FRATTA bisogna porre il denominatore diverso da zero in una funzione IRRAZIONALE con indice pari bisogna porre il radicando maggiore o uguale a zero in una funzione logaritmica bisogna porre largomento maggiore di zero nella funzione tangente largomento deve essere diverso da /2+k

20 FUNZIONE: positività Lo studio del segno (o POSITIVITA) di una funzione è uno degli elementi fondamentali per la determinazione del grafico della funzione. La ricerca della positività della funzione di equazione y=f(x) equivale alla soluzione della disequazione: f(x)0

21 FUNZIONE: positività Ad esempio, la funzione di equazione: È positiva in -2 x 0 e x 2

22 FUNZIONE: positività Graficamente la positività corrisponde a quegli intervalli dellasse x in cui la curva sta al di sopra dellasse. Analogamente, la negatività corrisponde ai valori di x in cui la curva sta sotto lasse

23 FUNZIONE: positività La cosa può essere rappresentata cancellando con un tratteggio la parte di piano sotto lasse x in corrispondenza della positività e sopra lasse x in corrispondenza della negatività, a indicare che in quelle zone la curva non può esistere

24 FUNZIONE: positività La positività della funzione di esempio -2 x 0 x 2 Può essere così rappresentata

25 FUNZIONE: positività Questa rappresentazione rende spesso molto facile tracciare il grafico

26 FUNZIONE: crescente Intuitivamente, una funzione è CRESCENTE quando, allaumentare del valore di x, aumenta anche il valore di y x1 f(x1) x2 f(x2)

27 FUNZIONE: crescente Rigorosamente, una funzione si dice CRESCENTE in un dato intervallo I del dominio se, per ogni coppia di valori x1 e x2 appartenenti ad I, tali che: Allora risulta:

28 FUNZIONE: decrescente Analogamente, una funzione si dice DECRESCENTE in un dato intervallo I del dominio se, per ogni coppia di valori x1 e x2 appartenenti ad I, tali che: Allora risulta:

29 FUNZIONE: monotonia Una funzione che, in un intervallo, risulti o crescente o decrescente, si dice MONOTONA in tale intervallo.

30 FUNZIONE: pari Una funzione si dice PARI se: Il grafico di una funzione pari è simmetrico rispetto allasse y

31 FUNZIONE: dispari Una funzione si dice DISPARI se: Il grafico di una funzione dispari è simmetrico rispetto allorigine

32 FUNZIONE: periodica Una funzione si dice PERIODICA se esiste un numero T>0 tale che Per ogni x del dominio. Il minore dei valori di T si dice PERIODO

33 FUNZIONE: inversa Data una funzione f definita sul dominio A e codominio B, si dice RELAZIONE INVERSA la relazione che ad ogni immagine y di B associa la sua controimmagine x in A A B x1 x2 x3 y1 y2 y3 y4 f -1 x4

34 FUNZIONE: inversa Non e detto che linversa sia una funzione: infatti ad esempio in questo caso non lo è perché non è univoca: a y3 sono associati due elementi, x3 e x4 A B x1 x2 x3 y1 y2 y3 y4 f -1 x4

35 FUNZIONE: inversa In questo caso invece anche linversa è una funzione, infatti è univoca. A B x1 x2 x3 y1 y2 y3 y4 f -1 x4

36 FUNZIONE: funzione invertibile Quando la relazione inversa è una funzione allora la funzione si dice INVERTIBILE e la sua inversa si dice FUNZIONE INVERSA Si usa il simbolo f -1 A B x1 x2 x3 y1 y2 y3 y4 f -1 x4

37 FUNZIONE: funzione invertibile Se una funzione è invertibile allora è univoca da B ad A; ma siccome lo è da A a B per definizione di funzione, allora: UNA FUNZIONE E INVERTIBILE SE E SOLO SE E BIUNIVOCA A B x1 x2 x3 y1 y2 y3 y4 f -1 x4

38 FUNZIONE: invertibilità e monotonia Una funzione crescente sarà anche biunivoca; infatti se x1>x2 allora f(x1)>f(x2), quindi non si verifica mai che assuma due volte lo stesso valore x1 f(x1) x2 f(x2)

39 FUNZIONE: invertibilità e monotonia Lo stesso se la funzione è decrescente. Quindi: SE UNA FUNZIONE E MONOTONA ALLORA E INVERTIBILE x1 f(x1) x2 f(x2)

40 FUNZIONE: invertibilità e monotonia Non vale il viceversa; la funzione nel grafico non è monotona ma è invertibile; infatti non assume mai due volte lo stesso valore

41 FUNZIONE: funzione invertibile Anche se una funzione non è invertibile su tutto il dominio lo può diventare se il dominio viene ristretto. Ad esempio, la funzione y=senx non è invertibile perché assume più volte lo stesso valore, però se ristretta allintervallo [-/2,/2] lo diventa e la sua inversa si chiama arcoseno

42 FUNZIONE: funzioni inverse FunzioneDominio*InversaDominio y=x 2 x0x0y=xx0x0 y=x 3 Ry= 3 xR y=lnxx>0y=e x R y=senx - /2x /2 y=arcsenx-1x1 y=cosx 0x y=arccos-1x1 y=tgx - /2x /2 y=arctgxR *Dominio su cui la funzione è invertibile

43 FUNZIONE: ricerca dellinversa La funzione inversa si trova risolvendo lequazione della funzione: y=f(x) Ovvero trovando x in funzione di y. Se il risultato è univoco allora la funzione è invertibile.

44 FUNZIONE: ricerca del codominio Il codominio di una funzione coincide col dominio dellinversa. Quindi, per determinare il codominio, si può procedere in questo modo: Trovare la relazione inversa Determinarne il dominio

45 FUNZIONE: composte Sia f una funzione definita su A a valori in B tale che: y 1 =f(x 1 ) E sia g una funzione definita su B a valori in C tale che: z 1 =g(y 1 ) Allora la funzione definita su A a valori in C che allelemento x 1 di A associa lelemento z 1 di c si dice FUNZIONE COMPOSTA di f e g

46 FUNZIONE: composte La composta si può così indicare z=g(f(x)) oppure z=gf(x)

47 Grafici: esponenziale

48 Grafici: logaritmo naturale

49 Grafici: seno

50 Grafici: arcoseno

51 Grafici: coseno

52 Grafici: arcocoseno

53 Grafici: tangente

54 Grafici: arcotangente

55 Grafici: quadratica

56 Grafici: cubica

57 Grafici: radice quadrata

58 RELAZIONI: prodotto cartesiano Per dare una definizione rigorosa di relazione è necessario ricorrere alloperazione di prodotto di insiemi Dati due insiemi A, B si dice PRODOTTO CARTESIANO di A e B linsieme di tutte le coppie ordinate il cui primo elemento appartiene ad A e il secondo a B Il simbolo è AXB

59 RELAZIONI: prodotto cartesiano Esempio: A={x1,x2,x3} B= {y1,y2,y3,y4} AXB= {(x1,y1),(x1,y2),(x1,y3)…ecc…}

60 RELAZIONI: prodotto cartesiano Si dice RELAZIONE tra due insiemi A e B un qualunque sottoinsieme del loro prodotto cartesiano. Si dice che la relazione associa al primo elemento della coppia il secondo elemento

61 FUNZIONE: DEFINIZIONE Ad esempio, questa funzione è formata dalle coppie: (x1,y1) (x2,y2) (x3,y3) A B x1 x2 x3 y1 y2 y3 y4 f


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