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Studente Claudia Puzzo. Il motivo per cui si introducono i polinomi ortogonali è legato all'approssimazione ai minimi quadrati di funzioni continue. Problema.

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Presentazione sul tema: "Studente Claudia Puzzo. Il motivo per cui si introducono i polinomi ortogonali è legato all'approssimazione ai minimi quadrati di funzioni continue. Problema."— Transcript della presentazione:

1 Studente Claudia Puzzo

2 Il motivo per cui si introducono i polinomi ortogonali è legato all'approssimazione ai minimi quadrati di funzioni continue. Problema continuo. Trovare il polinomio di grado n assegnato che approssima ai minimi quadrati la funzione f(x), continua sull'intervallo [a,b]. Detto quindi p n (x)=a 0 x n +a 1 x n-1 +a 2 x n-2 +…+a n-1 x+a n il polinomio e, chiamato a=(a 0, a 1, a 2, …, a n-1, a n ) il vettore costituito dai suoi coefficienti, la quantità che ci si propone di minimizzare è la funzione J(a)= Si può dimostrare che, tra tutti i polinomi di grado n assegnato, quello che minimizza la distanza è il polinomio: dove p i (x) sono i primi n+1 polinomi di una famiglia di polinomi ortogonali su [a,b] e i c i sono i coefficienti di Fourier. Allora il polinomio più vicino a ƒ sarà quello che (ammesso che esista, che sia unico), tra tutti i polinomi di grado n, minimizza la distanza tra f e p.

3 Def 1. I polinomi p 0 (x), p 1 (x),…,p n (x)…, ciascuno di grado pari al proprio indice, costituiscono una famiglia di polinomi ortogonali rispetto alla funzione peso w(x) sull'intervallo [a,b] se vale la condizione: i j mentre Def 2. I polinomi p 0 (x), p 1 (x),…,p n (x)…, ciascuno di grado pari al proprio indice, costituiscono una famiglia di polinomi ortonormali rispetto alla funzione peso w(x) sull'intervallo [a,b] se vale la condizione: i j mentre NB. La funzione peso w(x) è continua (e quindi integrabile) su (a,b) e ivi positiva. La denominazione ortogonale proviene dalla fisica; nel senso che, dati due vettori (nello spazio a tre vettori), ad esempio, a (n) = a (n) 1, a (n) 2,a (n) 3 e a (m) = a (m) 1, a (m) 2,a (m) 3 si dicono ortogonali se il loro prodotto interno a (m) * a (n) = a (n) 1 a (m) 1 + a (n) 2 a (m) 2 + a (n) 3 a (m) 3 =0, per cui, passando dal discreto al continuo, si trova una profonda analogia con P n (x).

4 Ortogonalizzazione di Gram-Schmidt Mediante il metodo di Gram-Schmidt è possibile ottenere un sistema di polinomi ortogonali a partire da polinomi linearmente indipendenti. Enunciato Sia {x 1, x 2, …, x n } un insieme di vettori linearmente indipendenti. E possibile costruire una famiglia ortonormale {e 1, e 2, …, e n } in modo tale che, per ogni indice K compreso tra 1 ed n, il vettore e k sia combinazione lineare dei vettori {x 1, x 2, …, x k }, e quindi {x 1, x 2, …, x k }= {e 1, e 2, …, e k }.

5 Il procedimento di ortogonalizzazione consente di generare due successioni di polinomi: sono ortonormali sono ortogonali Poniamo q 0 (x)=1 e definiamo: Per k=1,..,n poniamo: e

6 La successione è costituita da polinomi ortogonali. Pertanto a norma di definizione si ha: La successione è costituita da polinomi ortonormali. Quindi: Scegliendo tali successioni la matrice del sistema di equazioni è diagonale, quindi non più mal condizionata. Il procedimento Gram ammette la seguente conseguenza: se lo spazio V ha dimensione n, dunque possiede una base costituita da n vettori, allora esso possiede anche una base ortogonale costituita da altrettanti vettori.

7 Si tratta di polinomi ortogonali su [-1,1] con peso e sono definiti dalla relazione: Se consideriamo, nellintervallo [-1.1], il cambiamento di variabile otteniamo: Dalle formule sulla somma dei coseni si ha: Da cui segue: E quindi otteniamo la seguente relazione di ricorrenza: ovvero

8 Poichè si tratta di polinomi di grado n, luguaglianza stabilita vale per ogni x є R. Poiché T 0 (x)=1 e T 1 (x)=x vede facilmente che T n (x) є P n per ogni n Tenendo presente che: T 0 (x)=1 e T 1 (x)=x si ha: n=1,2,3,4 T 2 (x)=2x 2 – 1 T 3 (x)=4x 3 – 3x … ed inoltre il coefficiente principale di x n è 2 n-1 Il polinomio T n (x) è ovviamente definito su tutto R, ma soltanto in [-1,1] coincide con la funzione cos(n arccos(x)).

9 Osserviamo che moltiplicare la distanza per una funzione significa richiedere approssimazione molto precisa soprattutto agli estremi dell'intervallo [-1,1]. Infatti la w(x) vale 1 nell'origine, mentre agli estremi dell'intervallo essa tende ad infinito, pur mantenendosi integrabile. Quindi nel minimizzare la funzione J(a) si mantengono i valori della distanza effettiva fra la funzione da approssimare e il polinomio approssimante nella zona centrale dell'intervallo [-1,1] ma si amplificano i valori della distanza agli estremi dell'intervallo stesso.

10 Le radici di T n sono date da: per j= 0…,n-1 e sono tutte reali e semplici ed appartenenti allintervallo] 1, 1[; Tra due radici consecutive del polinomio Tn+1 ne esiste sempre una ed una sola del polinomio T n, precisamente x (n+1) k+1 < x (n) k < x (n+1) k per ogni k = 1,..., n. Due polinomi di Chebyshev consecutivi T n e T n+1 non hanno radici in comune.

11 Cerchiamo n ascisse x j, j=0,…,n-1 tali che T n (x j )=0 cioè Dunque Ritornando alla variabile x otteniamo j= 0,..,n-1 che sono gli zeri distinti di T n (x) I polinomi di Chebyshev sono ortogonali rispetto al peso, e rispetto al seguente prodotto scalare : cioè verificano la seguente relazione:

12 Sia W(x) = i=0:n (x-x i ) P n+1. Tra le possibili scelte dei nodi {x i } i=0:n, X i [-1,1], inoltre ||W|| = max |W(x)| è minima se: W(x) = T n+1 (x)/2 n cioè gli x i sono gli zeri di T n+1 (x). DIMOSTRAZIONE. T n+1 (x) ha il coefficiente di x n+1 dato da 2 n. Allora, tra tutti i polinomi del tipo x n+1 +…, (noti come polinomi monici), è un candidato per il minimo di. Poniamo quindi: con: Si ha: poiché se x Є [-1,1].

13 Se poniamo i =0, …, n+1 si ha e pertanto. Supponiamo ora che non esiste V Є P n+1 monico e tale che. Si avrà: Per i pari Per i dispari Pertanto, Definendo H(x) = V(x) – W(x) si ha che : H(x) Є P n poiché V e W hanno lo stesso x n+1. Ma H(x) ha n+1 zeri, il che è assurdo e da ciò la tesi.

14 function x=cheb(n) n=20; ab=-1:1; if nargin==1 a=-1; b=1; else a=ab(1); b=ab(2); end for i=0:n x(i+1)= (a+b)/2 -(b-a)/2*cos(pi*(2*i+1)/(2*(n+1))); end plot(i,x);

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16 f=inline('exp(x).* sin(2*x)'); a=0;b=2; n=5; for i=0:n x(i+1)= (a+b)/2 -(b-a)/2*cos(pi*(2*i+1)/(2*(n+1))); end ; fx=f(x(i)); % Calcola f sui nodi di griglia p=polyfit(x(i),fx,n); % Costruisce il polinomio di grado 5 xx=0:0.01:2; % Costruisce una griglia grafica pxx=polyval(p,xx); % Valuta il polinomio sulla griglia xx plot(xx,f(xx)); hold; plot(xx,pxx,'g'); % Disegna il grafico del polinomio plot(x(i),fx,'r*'); % Disegna i punti di interpolazione

17 Nodi di Chebishev Nodi equispaziati

18 Ponendo la funzione peso w(x)=1 otteniamo i polinomi di Legendre su [-1,1] definiti dalla relazione ricorsiva: (n + 1) P n+1 (x) = (2n + 1)xP n (x) nP n1 (x). Alcuni polinomi di Legendre con il relativo grafico: Grado – P n (x) 0 -> 1 1 -> x 2 -> 3x 2 /2 – ½ 3 -> 5x 3 /2 – 3/2x … n=1,2,3,4

19 Introduzione Sia f una funzione integrabile sullintervallo [a, b]. Il suo integrale può essere difficile da calcolare (può anche non essere valutabile in forma esplicita). Una formula esplicita che permetta di approssimare I (f ) viene detta formula di quadratura o formula dintegrazione numerica: Gli n+1 punti distinti x i ed i coefficienti a i sono detti, rispettivamente, nodi e pesi della quadratura.

20 Il problema consiste nel determinare x i ed a i in modo che: per una ampia classe di funzioni. Se è un polinomio interpolante la f (x) nei punti x i, avremo: I nodi e i pesi sono scelti in modo da minimizzare lerrore: Una misura di tale errore è data dal grado di precisione o ordine polinomiale. Ogni formula di quadratura interpolatoria che usi n + 1 nodi distinti ha grado di esattezza >=n.

21 Un modo generale per costruire formule di quadratura con grado di precisione fissato è il metodo dei coefficienti indeterminati, che consiste nel determinare i nodi e i pesi imponendo che la formula sia esatta per polinomi del grado dato dallordine polinomiale. Vi sono quindi due diverse strategie: a) fissare i nodi e determinare i pesi oppure b) lasciare entrambe le quantità incognite. Caso a) I pesi si trovano risolvendo il sistema lineare: Caso b) Il sistema è non lineare. Ciò darà luogo alle formule col più alto grado di precisione possibile. Per aumentare la precisione si hanno due alternative: 1) aumentare il numero di nodi, in modo che Q n ( f ) sia integrale di un polinomio interpolante di alto grado (quadrature gaussiane); 2) dividere [a,b] in sottointervalli utilizzando in essi formule di bassa precisione, quindi sommare i risultati (regole di quadratura composte).

22 Una formula di quadratura gaussiana consiste in una formula di tipo interpolatorio che massimizza l'ordine di precisione con un dato numero di nodi. In particolare, scelti n + 1 nodi in modo che siano gli zeri del polinomio di grado n + 1, ortogonale a tutti i polinomi di grado <= n, la formula di quadratura gaussiana ha grado di precisione 2n + 1. Una caratteristica delle formule di quadratura gaussiane è di avere i pesi tutti positivi, il che contribuisce a irrobustire la stabilità della formula. Una quadratura di tipo gaussiano si ottiene risolvendo il sistema non lineare: in cui sia a i che x i sono indeterminati,imponiamo che la formula abbia precisione 2n+1, se n+1 sono i nodi della quadratura. Il sistema risultante avrà 2n+2 incognite.

23 Se n=0 e [a,b]=[-1,1] Per cui si potrà scrivere Imponendo che lerrore sia uguale a 0 possiamo scrivere cioè Per f(x)=1, x si ottiene, rispettivamente: Sostituendo i valori appena trovati, otteniamo: Q 0 (f) = 2 f(x 0 ) Estendendo questo risultato ad un intervallo [a,b] generico, si ha: Per n=1, e [a,b]=[-1,1], imponendo che lerrore e considerando f(x)=1,x,x 2,x 3 otteniamo :

24 Quindi, in generale, si deve risolvere il sistema non lineare: nelle 2n+2 incognite a 0 … a n, x 0 … x n. Nellambito delle formule di quadratura interpolatorie, però, si può trovare unopportuna formula con grado di precisione 2n+1 (che per n+1 nodi è il massimo possibile) senza dover risolvere il sistema non lineare. A tale scopo consideriamo il seguente: Teorema Se è una formula di quadratura di tipo interpolatorio, ovvero dove p n (x)Є P n è un polinomio interpolante la funzione f (x) negli n+1 nodi x 0 … x n, ali nodi sono gli zeri di un polinomio p n+1 (x)Є n+1, insieme dei polinomi ortogonali su [a,b], allora il grado di precisione della formula è 2n+1.

25 Sia Possiamo scrivere f(x) = p n +1(x) q(x) + r (x) con q(x),r (x) Є P n. quindi Pertanto:

26 Per il calcolo dei nodi di una quadratura gaussiana si generano dapprima i polinomi ortogonali, usando le formule di ricorrenza. Dal momento che gli zeri di tali polinomi sono dei valori reali semplici ed interni allintervallo di ortogonalità, per determinarli si può utilizzare il metodo di Newton.

27 Per il calcolo dei pesi, invece, si può utilizzare il metodo dei coefficienti indeterminati, oppure possono essere ricavati da: dove l sono i polinomi fondamentali di Lagrange di grado n. Se lintegrale da calcolare è del tipo: allora la quadratura (cioè i nodi ed i pesi) dipende da w(x). In tal caso si scelgono i polinomi ortonormali in [a,b] rispetto a w(x). a) Polinomi di Jacobi W(x)= (1-x) -p (1+x) -q b) Polinomi di Chebishev W(x) = 1/ (1-x) 2 c) Polinomi di Legendre W(x) = 1


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