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Bellavite Caterina & Salvati Federica. Dato un insieme A si ha una SUCCESSIONE quando tra gli elementi dell insieme dato e quelli dellinsieme dei numeri.

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Presentazione sul tema: "Bellavite Caterina & Salvati Federica. Dato un insieme A si ha una SUCCESSIONE quando tra gli elementi dell insieme dato e quelli dellinsieme dei numeri."— Transcript della presentazione:

1 Bellavite Caterina & Salvati Federica

2 Dato un insieme A si ha una SUCCESSIONE quando tra gli elementi dell insieme dato e quelli dellinsieme dei numeri naturali (R) si ha una CORRISPONDENZA UNIVOCA, ovvero quando ad ogni elemento del dominio corrisponde un solo elemento del codominio. DOMINIOCODOMINIO Esempio di Corrispondenza Univoca

3 Dora in poi considereremo solo le successioni in cui il codominio è numerico… Come si definisce una successione, essendo infinita? N A …e intendiamo con a[n] un elemento della successione. 1234n1234n a[0] a[1] a[2] a[n]

4 La definizione di successione può essere espressa in due modi differenti: Fornendo a[0], primo elemento della successione, e la legge che stabilisce il passaggio da un elemento al suo successivo. Fornendo la legge che ad ogni numero naturale associa il suo corrispondente Esempio 1Esempio 2

5 ESEMPIO di successione 1 Consideriamo, in quanto è il primo elemento della successione e la legge si otterrà: e così per tutti gli infiniti elementi della successione

6 ESEMPIO di successione 2 Consideriamo la legge a[n]=3n si otterrà: a[0]=0 a[1]=3 a[2]=6 e così per tutti gli infiniti elementi della successione

7 Rappresentazione grafica Per rappresentare graficamente una successione si considera un PIANO CARTESIANO e si pongono i valori di N sullasse delle ascisse e quelli di A sullasse delle ordinate. I risultati ottenuti non devono essere uniti in quanto fra due numeri naturali successivi non ne è compreso un terzo.

8 Come si comporta la successione con N che tende allinfinito? Grafico 1 Grafico 3 A[n] tende allinfinitoA[n] tende ad un numero Grafico 4 Grafico 2

9 Limite di a[n] è +infinito per n che tende allinfinito In questo caso anche gli elementi della successione tendono allinfinito e quindi il grafico si sposterà sempre, oltre che verso destra, verso lalto.

10 Limite di a[n] è -infinito per n che tende allinfinito

11 Limite per n che tende allinfinito di a[n] è 3 In questo caso gli elementi della successione tendono ad un numero (3) e quindi tenderanno a raggiungerlo, (limite).

12 Limite per n che tende allinfinito di a[n] è 2

13 Ma che cosè il limite di una successione? Occorre ora dare delle definizioni precise e non intuitive di limite. + Limite finito Limite infinito - Attenzione esistono successioni che non ammettono limite

14 Definizioni di limite infinito Si dice che limite per n che tende allinfinito di a[n] è + e si scrive se Nellesempio se si fissa K uguale a 25 H che dipende da K sarà 6, fissando un tetto K maggiore, H dovrà essere maggiore. Dobbiamo essere in grado di superare un qualsiasi tetto K prefissato a patto di prendere H abbastanza grande.

15 Definizioni di limite infinito Si dice che limite per n che tende allinfinito di a[n] è - e si scrive se Nellesempio se si fissa K uguale a 50 H che dipende da K sarà 8, fissando K maggiore, H dovrà essere maggiore. Dobbiamo essere in grado di oltrepassare un qualsiasi limite inferiore -K prefissato a patto di prendere H abbastanza grande.

16 Definizioni di limite finito Si dice che limite per n che tende allinfinito di a[n] è A (numero finito nellesempio 2) e si scrive se A= A+ A- Fissato un piccolo a piacere è possibile trovare un numero H oltre il quale a[n] è sempre compreso tra A- e A+. Se ciò avviene a[n] si avvicina indefinitivamente (quanto vogliamo) ad A a patto di prendere n abbastanza grande.

17 Successioni che non ammettono limite La successione oscilla tra -1 e 1 senza avvicinarsi a nessun numero in particolare

18 Un limite si può... Calcolare il limite di una successione significa partire dalla legge iniziale e sommare, dividere, moltiplicare o sottrarre i limiti dei singoli elementi fino ad ottenere il limite complessivo. Dimostrare il limite di una successione significa fare dei calcoli algebrici a partire dalla definizione per costatare che essa è vera. Questo modo di procedere non è però conveniente perché per poterlo applicare occorre conoscere il limite a priori. caso di limite finito Calcolare caso di limite infinito Dimostrare

19 ESEMPIO DI DIMOSTRAZIONE NEL CASO DI LIMITE FINITO Vogliamo dimostrare che Si deve di verificare che: Si tratta di trovare la funzione che a un generico fa corrispondere un opportuno H in modo che per ogni n>H si abbia:, osservato che questultima equivale a e cioè al sistema Sempre verificata pertanto H( )

20 ESEMPIO DI DIMOSTRAZIONE NEL CASO DI LIMITE INFINITO Vogliamo dimostrare che Si deve di verificare che: Si tratta di trovare la funzione che a un generico K fa corrispondere un opportuno H in modo che per ogni n>H si abbia: H(k) (approssimato allintero appena maggiore) verificata pero Ininfluente perché n tende a +

21 Calcolo dei limiti 1 teorema 2 teorema 3 teorema Esempio di calcolo I limiti possono anche essere calcolati grazie a tre teoremi che si riferiscono alle diverse operazioni che possono essere coinvolte

22 Teorema 1 Il limite della somma è generalmente uguale alla somma dei limiti Lim a[n]=A Lim b[n]=B Lim ( a[n]+b[n] ) = A+B Lim a[n]=+(-) Lim b[n]=+(-) Lim ( a[n]+b[n] ) = +(-) Lim a[n]=+(-) Lim b[n]=-(+) indecisione ?

23 Teorema 2 Il limite del prodotto è generalmente uguale al prodotto dei limiti (si segue la regola dei segni) Lim a[n]=A Lim b[n]=B Lim ( a[n]*b[n] ) = A*B Lim a[n]=+(-) Lim b[n]=+(-) o A Lim ( a[n]*b[n] ) = +inf Lim a[n]=+(-) Lim b[n]=-(+) Lim ( a[n]*b[n] ) = -inf Lim a[n]=+(-) Lim b[n]= 0 indecisione ?

24 Teorema 3 Il limite del quoziente è generalmente uguale al rapporto tra i limiti ? ? A A A/B indecisione 0 A B 0 Lim a[n] Lim b[n] Lim a[n]/b[n]

25 FORME DI INDECISIONE Capita, durante il calcolo dei limiti, di trovarsi di fronte a dei casi di INDECISIONE. Casi cioè in cui è inizialmente impossibile dare una soluzione. In questi casi, con opportuni accorgimenti di calcolo e semplificazioni, si modifica largomento del limite in modo da ottenere forme più semplici ed immediatamente risolvibili per mezzo dei teoremi.

26 ESEMPIO DI CALCOLO DI LIMITE ok TEOREMA 3 TEOREMA 1 TEOREMA 3 TEOREMA 4


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